Transcript Izvodi i tok funkcije

Izvodi višeg reda



Drugi izvod je prvi izvod prvog izvoda
f ’’(x)= f ’(f’(x))
Treći izvod je prvi izvod drugog izvoda
f ’’’(x)= f ’(f ’’(x))
Uopšteno: n-ti izvod je prvi izvod (n-1)-izvoda
za proizvoljan prirodan broj n veći od 1, tj.
(n)
(n-1)
f (x)= f ’(f
(x))
Izvodi višeg reda - primeri





x (n)
x
(e ) = e za proizvoljno n iz N
x (n)
n x
(a ) = (ln a) a za proizvoljno n iz N
-x (n)
-x
(e ) = e za parno n
-x (n)
-x
(e ) = -e za neparno n
(n)
(sin x) = cos x za n=4k+1 , k iz N0
(n)
(sin x) = -sin x za n=4k+2 , k iz N0
(n)
(sin x) = -cos x za n=4k+3 , k iz N0
(n)
(sin x) = sin x za n=4k , k iz N
Prvi izvod i monotonost funkcije

Ako je f ’(x)>0 za x iz (a,b) koji je podskup D,
tada
f(x) raste na (a,b)

Ako je f ’(x)<0 za x iz (a,b) koji je podskup D,
tada
f(x) opada na (a,b)
Prvi izvod i ekstrem funkcije
interval (a,b) je podskup D
Ako prvi izvod funkcije menja znak u tački e iz
(a,b), tada funkcija u e ima ekstrem i to:
minimum ako je
f’ (x)<0 za x iz (a,e) i f’ (x)>0 za x iz (e,b) ;
maksimum ako je
f’ (x)>0 za x iz (a,e) i f’ (x)<0 za x iz (e,b) ;
Izvodi i ekstrem funkcije
e je iz (a,b) koji je podskup D i važi
f ’(e)=0 i f ’’(e) nije 0,
tada funkcija f u e ima ekstrem i to:
 minimum
ako je f ’’(e) > 0
 maksimum ako je f ’’(e) < 0

Izvod i ekstrem funkcije
f ’(e)=0 je potreban (a nije dovoljan) uslov
da diferencijabilna funkcija f(x)
u tački e iz (a,b) koji je podskup D,
ima ekstrem.
Konveksnost, konkavnost i drugi izvod

Ako je f ’’(x)>0 za x iz (a,b) koji je podskup D,
tada je
f(x) konveksna (udubljena) na (a,b)

Ako je f ’’(x)<0 za x iz (a,b) koji je podskup D,
tada je
f(x) konkavna (ispupčena) na (a,b)
Prevoj funkcije i drugi izvod
interval (a,b) je podskup D
Ako drugi izvod funkcije menja znak u
tački p iz (a,b), tada funkcija u p ima
prevojnu tačku.
f ’’(p)=0 je potreban (nije dovoljan) uslov da dva
puta diferencijabilna funkcija f(x) u tački p iz
(a,b), ima prevoj.
Функције-изводи




Табела првих извода елем. функција
Правила за изводе неелементарних
функција
Изводи вишег реда
Примена извода на испитивање:




Раста и опадања
Локалних екстрема
Конкавности и конвексности
Превојних тачака