Transcript F228-Aula_5_Oscilacoes

Aula-6
Oscilações
Plano de aula
• Movimento Harmônico Simples - MHS
• Movimento Harmônico Amortecido - MHA
• Movimento Harmônico Forçado - MHF
• Ressonância
• Exemplos: outros Pêndulos
Dinâmica do MHS
F=-kx
m
x
0
Força restauradora
F  kx
F  ma
Equação diferencial :
Dinâmica do MHS
2
Resolvendo:
d x
dt
2
k

x
m
Definimos:
2
d x
dt
2
  x
2
k

m
Propomos a solução: x(t) = A cos(t+f)
2
Dinâmica do MHS
Posição:
x(t) = A cos(t + f)
Velocidade: v(t) = -A sin(t + f)
Aceleração: a(t) = -2A cos(t + f)
 
F=-kx
m
x
0
k
m
xMAX = A
vMAX = A
aMAX = 2A
Pêndulo Simples
• Torque - eixo de rotação z :
t = -mgd=-mgL sen mgL
(pequenos )
z
t = Ia,I = mL2
d 
2
 m gL  m L
2
dt
d 
2
dt
2
  
2
2

 
L
g
L
m
 = 0 cos(t + f)
d
mg
Pêndulo Simples: Período
g
 
Independente da MASSA
L
f 
z
1
g
2
L
  2

L
L
g
m
d
mg
Energia Potencial Elástica
Força conservativa:
F   kx
Energia Potencial:
x
U ( x )  U ( 0 )    (  k ) xdx
0
Referência: U(x0 = 0) = 0
U ( x) 
1
2
kx
2
Conservação da Energia
Energia Mecânica Total:
Extremos: x=A e x=-A
m (0) 
2
2
1
k ( A) 
2
2
1
mv 
2
2
kx
2
Energia
Potencial Elástica
2
2
Energia Mecânica do OHS é
proporcional ao quadrado da Amplitude
No ponto de equilíbrio: x = 0
E 
1
2
m v0 
2
1
2
k (0) 
2
= Constante
2
Energia
Cinética
kA
1
energia
E 
1
E 
1
K
1
mv
2
E
2
0
-A
Energia do OHS no ponto de
equilibrio é totalmente cinética
0
U
A
posição
Conservação da Energia
1
2
mv 
2
1
2
kx  E
2
Potenciais Quadráticos
Potencial de
Sistemas reais:
U
U
x0
Expansão de Taylor em torno do
mínimo
x
Potencial APROXIMADAMENTE
quadrático.
U ( x )  U ( x o )  U ( x o )( x  x o ) 
´
xo  0
U ( xo )  0
U ( x) 
1
2
k x
2
x
1
2
U ( x 0 ) ( x  x 0 )  ...
´´
U ( x 0 )  k  cte
´´
2
Dissipação da Energia
F=-kx
m
v
F=-bv
x
0
Na prática sempre existe dissipação de energia :::
ATRITO
Baixas velocidades ::: resistência do fluido ~
proporcional à velocidade do objeto no fluido :::
F=-bv
Oscilador Harmônico
Simples Amortecido
Oscilador Harmônico Amortecido
F  kx  bv  ma
2
m
d x
dt
2
b
dx
 kx  0
dt
Equação diferencial de 2º grau
Oscilador Harmônico Amortecido
2
d x
dt
2

dx
dt
 0 x  0
2
 b
2
0  k
;
m
x (t )  Ce
Propomos a solução:
dx
:
pt
2
 pCe
pt
 px
dt
;
d x
dt
2
 p Ce
p  p   0  0
2
2
2
pt
 p x
2
m
Oscilador Harmônico Amortecido
2
d x
dt
2

dx
dt
 o x  0
Equação diferencial de 2º grau
p  p   0  0
2
2
:
 b
;
m
 k
2
0
Equação diferencial de 2º grau
p  
 
  4
2
2
2
0


2


2
4
 0
2
m
Oscilador Harmônico Amortecido
Equação dinâmica:
F  kx  bv  ma
2
d x
dt
2
dx
b
:



 0 x  0
m
dt
2
Solução proposta:
p  

2

x (t )  Ce

2
4
 0
2
pt
;
 k
2
0
m
Oscilador Harmônico Amortecido
x (t )  Ce
SE:

2
pt
 0
;
p  

2


2
4

2
0
Raiz de número negativo
Amortecimento subcrítico
Amortecimento Subcrítico
x (t )  Ce
pt
;
SE:
p  

p  

2

2
p  

2


2
i
1

4
2
0
 0
 2 2

  
   0 

4
2


 i

2
1  
 
2
0
 
2
0

2
4

2
4
Amortecimento Subcrítico
x (t )  Ce
x (t )  e


pt
t
2
p  
;
( Ae
i t
e
x (t )  e


2
t
 Be
 i t

 i
2
 i t
;
 
0 
2

2
4
)
 cos(  t )  isen ( t )
 A (cos ( t )  i sen ( t ))  B (cos ( t )  i sen ( t )) 
Solução: Parte Real:
x (t )  Ce


2
t
cos ( t  f )
Amortecimento Subcrítico
x (t )  Ae


2
t
cos ( t  f )
 b
m
 k
2
0

http://lectureonline.cl.msu.edu/~mmp/applist/damped/d.htm
m
0 
2

2
4
Amortecimento Supercrítico
x (t )  Ae
SE:
x (t )  e

2


2
pt
;
( Ae


2
2

4
2
0
Raiz de número positivo
 0
t
p  

Amortecimento supercrítico
t
 Be
t
)
;
 

2
4
 0
2
Amortecimento Supercrítico
x (t )  e


2
t
( Ae
t
 Be
t
)
 

2
4

2
0
Amortecimento
Subcrítico:

2
 0
Supercrítico:
Crítico:

2

2
 0
 0
Oscilações Forçadas
 k
2
0
 b
m
m
: Frequência natural do sistema
: Amortecimento do sistema
Força externa:
F (t )  F0 cos ( ext t )
Oscilações Forçadas
Força externa: F (t )  F0 cos ( ext t )
Sistema oscila com
a frequência da
força externa,
mesmo que esta
seja diferente da
frequência natural
do sistema.
Oscilações Forçadas
2
F m
d x
dt
2
  kx  F0 cos(  t )
Propomos a solução:
Oscilações Forçadas
2
d x
dt
Solução:
2
 x 
2
0
F0
m
cos (  t )
x (t )  A cos ( t  f )
 A  cos ( t  f )  A  cos ( t  f ) 
2
f 0
2
0
(   0 )
Em fase
f  
m
cos ( t )
(   0 )
Fora de fase
com a FORÇA
Fo
A
F0
m 0  
2
2
Oscilações Forçadas
BAIXAS FREQUÊNCIAS:
2
d x
dt
 0 x 
2
2
F0
m
   0
cos ( t )
 A  cos ( t  f )  A  cos ( t  f ) 
2
2
0
x 
f 0
(   0 )
Solução em fase
com a Força
F0
m0
2
Fo
m
cos ( t )
cos ( t )
A
F0
m 
2
0
2
Oscilações Forçadas
ALTAS FREQUÊNCIAS:
2
d x
dt
 0 x 
2
2
F0
m
   0
cos ( t )
 A  cos ( t  f )  A  cos ( t  f ) 
2
2
0
x  
f  
(   0 )
Solução fora de fase
com a Força
F0
m
2
Fo
m
cos ( t )
cos ( t )
A
F0
m 
2
0
2
Oscilações Forçadas
2
F m
d x
dt
2
  kx  F0 cos(  t )
Solução particular
SOLUÇÃO GERAL =
+
solução da eq. homogênea
B e f0 constantes - condições iniciais
Oscilações Forçadas
x (t ) 
(
F0
m 0  
2
2
)
cos ( t )  B cos ( 0 t  f 0 )
condições iniciais
SE :

x (0 ) 
 B cos (f 0 )  0 
F0
2
2
m 0  
 B 
2
2
m 0  
v (0 )    0 sen (f 0 )  0  f 0  0 
(
F0
)
(
)
Oscilações Forçadas
 cos ( 0 t )  cos ( t ) 
x (t )  


( 0   )
m ( 0   ) 

F0
Quando    o
Para
x (t ) 
  o
F0
2m0
:
:
tsen ( 0 t )
Oscilações Forçadas
RESSONÂNCIA
  o
x (t ) 
F0
2m0
t sen ( 0 t )
Oscilações forçadas amortecidas
2
d x
dt
2

dx
 0 x 
2
dt
F0
m
cos ( t )
Propomos solução: x (t )  A cos
( t  f )
De maneira similar ,
para amortecimento fraco   
0
podemos obter :
A ( ) 
2
m
2
((
F0
2
0

2
2
)
2
 
2
2
)
 
f ( )   arc tan  2
2



 0




Oscilações forçadas amortecidas
A ( ) 
2
m
2
((
RESSONÂNCIA
  o
A() máxima
F0
2
0

2
2
)
2
 
2
2
)
Ressonância
A ( ) 
2
m
2
((
F0
2
0

2
2
)
2
 
2
2
)
Ressonância
Desastre na Tacoma Narrows Bridge, 1940
Exemplos
Túnel Centro da Terra
Um túnel reto é construído
de Campinas ao outro lado
da Terra passando pelo
centro da Terra.
Um estudante de F228 pula
no túnel ao meio-dia.
A que horas ele retorna a
Campinas?
Túnel Centro da Terra
FG (R )  
FG (R )
FG
R
RT
MR

FG (RT )

2
R MT
R 3
3
RT3
4
3

2
M R RT
4
MT
FG (R )
R
2
FG (RT )
MR
GmM R
3
2
2
3
T
R RT
R R

R
RT
Túnel Centro da Terra
FG (R )
FG (RT )
FG
R
RT
MR

R
RT
Túnel Centro da Terra
k 
mg
RT
FG

R
k
m

g
RT
RT
g = 9,81 m/s2
RT = 6,38 x 106 m
MR
T=
2

 = 0,00124 s-1
= 5067 s
 84 min
Túnel Centro da Terra
O estudante
retorna à
Campinas
após 84 min,
as 13:24 h.
Túnel Centro da Terra
• O período de
oscilação não requer
que o túnel passe
pelo centro da terra.
• Qualquer túnel reto
dá o mesmo
resultado, desde que
não haja atrito e que
a densidade da terra
seja constante.
Prove!
Túnel Centro da Terra
• Um objeto em órbita
próximo à superfície da
Terra também tem
período idêntico ao do
túnel.
a = 2 RT = g

g
RT
Pêndulo Físico
• Calcular a freqüência de
oscilação para pequenos
deslocamentos de um
pêndulo que consiste de uma
barra de comprimento L e
massa m pendurada por uma
de suas extremidades.

x CM
mg
O Pêndulo Físico
Torque em relação ao eixo de rotação 0:
0
Para ângulos pequenos:

x CM
mg
O Pêndulo Físico
• Que comprimento deve ter um
pêndulo simples para ter o mesmo
período de um pêndulo físico?
LS
LR
O Pêndulo Físico
LS
S 
S = R
g
LS
R 
LR
LS 
2
3
LR
3g
2 LR
O Pêndulo Físico
Pêndulo físico de forma arbitrária
com massa M e centro de massa CM
pendurado em um eixo fixo 0
com momento de inércia I relativo ao eixo.
0
R

xCM
Torque para ângulos  pequenos:
d
Mg
O Pêndulo Físico
Um pêndulo consiste de um bambolê de diâmetro D e
massa m pendurado por um prego.
Calcular a frequência de oscilação do bambolê para
pequenos ângulos.
pivô / prego
I aroCM  MR
2
m
D
O Pêndulo Físico

mgR
I
Freqüência angular de
oscilação do bambolê para
pequenos deslocamentos
Teorema dos eixos paralelos:
CM
x R
Pêndulo de torção
Um objeto é suspenso por um
fio preso no seu CM. O sistema
tem um momento de inércia I em
torno do fio que serve de eixo de
rotação.
O fio torcido age como uma
mola gerando um torque que se
opõe à torção e pode ser
aproximado por:
t  k
fio

t
I
Pêndulo de torção
d 
2
t  k  I
dt
fio
2

t
I
2
d 
dt
2
2
  

k
I