F228-Aula_5_Oscilacoes
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Transcript F228-Aula_5_Oscilacoes
Aula-6
Oscilações
Plano de aula
• Movimento Harmônico Simples - MHS
• Movimento Harmônico Amortecido - MHA
• Movimento Harmônico Forçado - MHF
• Ressonância
• Exemplos: outros Pêndulos
Dinâmica do MHS
F=-kx
m
x
0
Força restauradora
F kx
F ma
Equação diferencial :
Dinâmica do MHS
2
Resolvendo:
d x
dt
2
k
x
m
Definimos:
2
d x
dt
2
x
2
k
m
Propomos a solução: x(t) = A cos(t+f)
2
Dinâmica do MHS
Posição:
x(t) = A cos(t + f)
Velocidade: v(t) = -A sin(t + f)
Aceleração: a(t) = -2A cos(t + f)
F=-kx
m
x
0
k
m
xMAX = A
vMAX = A
aMAX = 2A
Pêndulo Simples
• Torque - eixo de rotação z :
t = -mgd=-mgL sen mgL
(pequenos )
z
t = Ia,I = mL2
d
2
m gL m L
2
dt
d
2
dt
2
2
2
L
g
L
m
= 0 cos(t + f)
d
mg
Pêndulo Simples: Período
g
Independente da MASSA
L
f
z
1
g
2
L
2
L
L
g
m
d
mg
Energia Potencial Elástica
Força conservativa:
F kx
Energia Potencial:
x
U ( x ) U ( 0 ) ( k ) xdx
0
Referência: U(x0 = 0) = 0
U ( x)
1
2
kx
2
Conservação da Energia
Energia Mecânica Total:
Extremos: x=A e x=-A
m (0)
2
2
1
k ( A)
2
2
1
mv
2
2
kx
2
Energia
Potencial Elástica
2
2
Energia Mecânica do OHS é
proporcional ao quadrado da Amplitude
No ponto de equilíbrio: x = 0
E
1
2
m v0
2
1
2
k (0)
2
= Constante
2
Energia
Cinética
kA
1
energia
E
1
E
1
K
1
mv
2
E
2
0
-A
Energia do OHS no ponto de
equilibrio é totalmente cinética
0
U
A
posição
Conservação da Energia
1
2
mv
2
1
2
kx E
2
Potenciais Quadráticos
Potencial de
Sistemas reais:
U
U
x0
Expansão de Taylor em torno do
mínimo
x
Potencial APROXIMADAMENTE
quadrático.
U ( x ) U ( x o ) U ( x o )( x x o )
´
xo 0
U ( xo ) 0
U ( x)
1
2
k x
2
x
1
2
U ( x 0 ) ( x x 0 ) ...
´´
U ( x 0 ) k cte
´´
2
Dissipação da Energia
F=-kx
m
v
F=-bv
x
0
Na prática sempre existe dissipação de energia :::
ATRITO
Baixas velocidades ::: resistência do fluido ~
proporcional à velocidade do objeto no fluido :::
F=-bv
Oscilador Harmônico
Simples Amortecido
Oscilador Harmônico Amortecido
F kx bv ma
2
m
d x
dt
2
b
dx
kx 0
dt
Equação diferencial de 2º grau
Oscilador Harmônico Amortecido
2
d x
dt
2
dx
dt
0 x 0
2
b
2
0 k
;
m
x (t ) Ce
Propomos a solução:
dx
:
pt
2
pCe
pt
px
dt
;
d x
dt
2
p Ce
p p 0 0
2
2
2
pt
p x
2
m
Oscilador Harmônico Amortecido
2
d x
dt
2
dx
dt
o x 0
Equação diferencial de 2º grau
p p 0 0
2
2
:
b
;
m
k
2
0
Equação diferencial de 2º grau
p
4
2
2
2
0
2
2
4
0
2
m
Oscilador Harmônico Amortecido
Equação dinâmica:
F kx bv ma
2
d x
dt
2
dx
b
:
0 x 0
m
dt
2
Solução proposta:
p
2
x (t ) Ce
2
4
0
2
pt
;
k
2
0
m
Oscilador Harmônico Amortecido
x (t ) Ce
SE:
2
pt
0
;
p
2
2
4
2
0
Raiz de número negativo
Amortecimento subcrítico
Amortecimento Subcrítico
x (t ) Ce
pt
;
SE:
p
p
2
2
p
2
2
i
1
4
2
0
0
2 2
0
4
2
i
2
1
2
0
2
0
2
4
2
4
Amortecimento Subcrítico
x (t ) Ce
x (t ) e
pt
t
2
p
;
( Ae
i t
e
x (t ) e
2
t
Be
i t
i
2
i t
;
0
2
2
4
)
cos( t ) isen ( t )
A (cos ( t ) i sen ( t )) B (cos ( t ) i sen ( t ))
Solução: Parte Real:
x (t ) Ce
2
t
cos ( t f )
Amortecimento Subcrítico
x (t ) Ae
2
t
cos ( t f )
b
m
k
2
0
http://lectureonline.cl.msu.edu/~mmp/applist/damped/d.htm
m
0
2
2
4
Amortecimento Supercrítico
x (t ) Ae
SE:
x (t ) e
2
2
pt
;
( Ae
2
2
4
2
0
Raiz de número positivo
0
t
p
Amortecimento supercrítico
t
Be
t
)
;
2
4
0
2
Amortecimento Supercrítico
x (t ) e
2
t
( Ae
t
Be
t
)
2
4
2
0
Amortecimento
Subcrítico:
2
0
Supercrítico:
Crítico:
2
2
0
0
Oscilações Forçadas
k
2
0
b
m
m
: Frequência natural do sistema
: Amortecimento do sistema
Força externa:
F (t ) F0 cos ( ext t )
Oscilações Forçadas
Força externa: F (t ) F0 cos ( ext t )
Sistema oscila com
a frequência da
força externa,
mesmo que esta
seja diferente da
frequência natural
do sistema.
Oscilações Forçadas
2
F m
d x
dt
2
kx F0 cos( t )
Propomos a solução:
Oscilações Forçadas
2
d x
dt
Solução:
2
x
2
0
F0
m
cos ( t )
x (t ) A cos ( t f )
A cos ( t f ) A cos ( t f )
2
f 0
2
0
( 0 )
Em fase
f
m
cos ( t )
( 0 )
Fora de fase
com a FORÇA
Fo
A
F0
m 0
2
2
Oscilações Forçadas
BAIXAS FREQUÊNCIAS:
2
d x
dt
0 x
2
2
F0
m
0
cos ( t )
A cos ( t f ) A cos ( t f )
2
2
0
x
f 0
( 0 )
Solução em fase
com a Força
F0
m0
2
Fo
m
cos ( t )
cos ( t )
A
F0
m
2
0
2
Oscilações Forçadas
ALTAS FREQUÊNCIAS:
2
d x
dt
0 x
2
2
F0
m
0
cos ( t )
A cos ( t f ) A cos ( t f )
2
2
0
x
f
( 0 )
Solução fora de fase
com a Força
F0
m
2
Fo
m
cos ( t )
cos ( t )
A
F0
m
2
0
2
Oscilações Forçadas
2
F m
d x
dt
2
kx F0 cos( t )
Solução particular
SOLUÇÃO GERAL =
+
solução da eq. homogênea
B e f0 constantes - condições iniciais
Oscilações Forçadas
x (t )
(
F0
m 0
2
2
)
cos ( t ) B cos ( 0 t f 0 )
condições iniciais
SE :
x (0 )
B cos (f 0 ) 0
F0
2
2
m 0
B
2
2
m 0
v (0 ) 0 sen (f 0 ) 0 f 0 0
(
F0
)
(
)
Oscilações Forçadas
cos ( 0 t ) cos ( t )
x (t )
( 0 )
m ( 0 )
F0
Quando o
Para
x (t )
o
F0
2m0
:
:
tsen ( 0 t )
Oscilações Forçadas
RESSONÂNCIA
o
x (t )
F0
2m0
t sen ( 0 t )
Oscilações forçadas amortecidas
2
d x
dt
2
dx
0 x
2
dt
F0
m
cos ( t )
Propomos solução: x (t ) A cos
( t f )
De maneira similar ,
para amortecimento fraco
0
podemos obter :
A ( )
2
m
2
((
F0
2
0
2
2
)
2
2
2
)
f ( ) arc tan 2
2
0
Oscilações forçadas amortecidas
A ( )
2
m
2
((
RESSONÂNCIA
o
A() máxima
F0
2
0
2
2
)
2
2
2
)
Ressonância
A ( )
2
m
2
((
F0
2
0
2
2
)
2
2
2
)
Ressonância
Desastre na Tacoma Narrows Bridge, 1940
Exemplos
Túnel Centro da Terra
Um túnel reto é construído
de Campinas ao outro lado
da Terra passando pelo
centro da Terra.
Um estudante de F228 pula
no túnel ao meio-dia.
A que horas ele retorna a
Campinas?
Túnel Centro da Terra
FG (R )
FG (R )
FG
R
RT
MR
FG (RT )
2
R MT
R 3
3
RT3
4
3
2
M R RT
4
MT
FG (R )
R
2
FG (RT )
MR
GmM R
3
2
2
3
T
R RT
R R
R
RT
Túnel Centro da Terra
FG (R )
FG (RT )
FG
R
RT
MR
R
RT
Túnel Centro da Terra
k
mg
RT
FG
R
k
m
g
RT
RT
g = 9,81 m/s2
RT = 6,38 x 106 m
MR
T=
2
= 0,00124 s-1
= 5067 s
84 min
Túnel Centro da Terra
O estudante
retorna à
Campinas
após 84 min,
as 13:24 h.
Túnel Centro da Terra
• O período de
oscilação não requer
que o túnel passe
pelo centro da terra.
• Qualquer túnel reto
dá o mesmo
resultado, desde que
não haja atrito e que
a densidade da terra
seja constante.
Prove!
Túnel Centro da Terra
• Um objeto em órbita
próximo à superfície da
Terra também tem
período idêntico ao do
túnel.
a = 2 RT = g
g
RT
Pêndulo Físico
• Calcular a freqüência de
oscilação para pequenos
deslocamentos de um
pêndulo que consiste de uma
barra de comprimento L e
massa m pendurada por uma
de suas extremidades.
x CM
mg
O Pêndulo Físico
Torque em relação ao eixo de rotação 0:
0
Para ângulos pequenos:
x CM
mg
O Pêndulo Físico
• Que comprimento deve ter um
pêndulo simples para ter o mesmo
período de um pêndulo físico?
LS
LR
O Pêndulo Físico
LS
S
S = R
g
LS
R
LR
LS
2
3
LR
3g
2 LR
O Pêndulo Físico
Pêndulo físico de forma arbitrária
com massa M e centro de massa CM
pendurado em um eixo fixo 0
com momento de inércia I relativo ao eixo.
0
R
xCM
Torque para ângulos pequenos:
d
Mg
O Pêndulo Físico
Um pêndulo consiste de um bambolê de diâmetro D e
massa m pendurado por um prego.
Calcular a frequência de oscilação do bambolê para
pequenos ângulos.
pivô / prego
I aroCM MR
2
m
D
O Pêndulo Físico
mgR
I
Freqüência angular de
oscilação do bambolê para
pequenos deslocamentos
Teorema dos eixos paralelos:
CM
x R
Pêndulo de torção
Um objeto é suspenso por um
fio preso no seu CM. O sistema
tem um momento de inércia I em
torno do fio que serve de eixo de
rotação.
O fio torcido age como uma
mola gerando um torque que se
opõe à torção e pode ser
aproximado por:
t k
fio
t
I
Pêndulo de torção
d
2
t k I
dt
fio
2
t
I
2
d
dt
2
2
k
I