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Transcript LISTA3parteII
Lista 3 - parte 2
12. Considere duas partículas A e B cada uma com massa m conectadas por
uma mola de constante elástica k e comprimento natural. Cada partícula está
ligada a dois suportes C e D por duas molas com as mesmas características da
primeira mola.Os dois suportes são separados por uma distância 3b, como
mostrado na figura (a). Em um dado instante de tempo t o deslocamento das
partículas A e B é x e y a partir da posição de equilíbrio resultando nas forças
mostradas na figura.
Calcule as frequências de oscilação do sistema.
2
m
d x1
dt
2
kx1 k c ( x 2 x1 ) 0
2
m
d x2
dt
2
kx 2 k c ( x1 x 2 ) 0
2 equações acopladas
2
d x1
dt
2
(
m
2
d x2
dt
2
k kc
(
k kc
m
) x1
) x2
kc
m
kc
m
x2 0
x1 0
d
2
dt
q1 q 2
x2
2
d
2
dt
d
2
dt
q1
2
q2
2
2
2
x2
dt
2
d
x1
x1
(
q1 q 2
k kc
m
(
k kc
m
2
2 q2
) x2
m
kc
m
x2 0
x1 0
Desacoplando as 2 equações
2
2
1 q1
) x1
kc
0
0
d
2
dt
q1
2
1 q1 0
11
x1
x2
2
kk
mm
d
2
dt
2 2
q2
2
2 q2 0
2
( k (23kkc ))
mm
q1 q 2
2
q1 q 2
2
q 1 ( t ) C 1 cos 1 t C 2 sin 1 t
q 2 ( t ) C 3 cos 2 t C 4 sin 2 t
Modo Anti - Simétrico
Modo Simétrico
11. Duas partículas de mesma massa, igual a 250 g, estão suspensas do teto
por barras idênticas, de 0,5 m de comprimento e
massa desprezível, e estão ligadas uma à outra por uma mola de constante
elástica 25 N/m. No instante t = 0, a partícula 2 (figura abaixo) recebe um
impulso que lhe transmite uma velocidade de 10 cm/s.
Determine os deslocamentos x1(t) e x2(t) das posições de equilíbrio das duas
partículas (em cm) para t > 0.
R: x1(t) = 1,13 sen(4,43t) − 0,34 sen(14,8t)
x2(t) = 1,13 sen(4,43t) + 0,34 sen(14,8t)
F mola k ( x1 x 2 )
FGrav. - mg -mgx/ -m 0 x
2
2
d x1
dt
2
2
0 x1
2
0 x 2
K ( x1 x 2 )
2
0
g /l
2
d x2
dt
2
K ( x1 x 2 )
K k/m
2
d x1
dt
2
2
0
x1 K ( x1 x 2 )
q1
1
2
2
d x2
dt
2
2
0 x2
K ( x1 x 2 )
2
d q1
dt
2
2
0 q1
2
2 q2
0
dt
2
0
1
2
x2
x1 x 2
0
g
2
0
2
d q2
q2
x1
2K
2
d q1
2
dt
0 q 1 0 q 1 ( t ) A1 cos( 0 t 1 )
2
2
d q2
dt
2
2 q 2 0 q 2 ( t ) A 2 cos( 2 t 2 )
2
q1
1
2
x1
x2
x1 ( t ) q 1 ( t ) q 2 ( t )
q2
2
x1
x2
x 2 (t ) q 1 (t ) q 2 (t )
m 250 g 0 , 250 k
k 25 N / m
1
0 ,5 m
dx 2 ( 0 )
dt
10 cm / s 0 ,10 m / s
24. Uma corda, submetida a uma tensão de 200 N e presa em ambas as extremidades,
oscila no segundo harmônico de uma onda estacionária.
O deslocamento da corda é dado por:
y = (0, 10) sen(x/2) sen(12t) onde x = 0 numa das extremidades da corda, x é dado
em metros e t em segundos.
(a) Qual é o comprimento da corda? y = (0, 10) sen(x/2) sen(12t)
(b) Qual é a velocidade escalar das ondas na corda? y = (0, 10) sen(x/ 2) sen(12 t)
(c) Qual é a massa da corda?
y = (0, 10) sen(x/2) sen(12t)
(d) Se a corda oscilar num padrão de onda referente ao terceiro harmônico,qual será o
período de oscilação?
y = (0, 10) sen(x/2) sen(12t)
R: (a) L = 4 m, (b) v = 24 m/s, (c) μ = 0, 347 kg/m e (d) T = 0, 11 s
y1 A cos( n t xk n )
y 2 A cos( n t xk n )
y y1 y 2 A cos( n t xk n ) A cos( n t xk n )
cos( a ) cos( b ) 2 cos[ 1 / 2 ( a b )] cos[ 1 / 2 ( a b )]
y 2 A cos[ 1 / 2 ( 2 xk n )] cos[ 1 / 2 ( 2 n t )]
y = (0, 10)cos(x/2 + /2))cos(12t + /2)
y 2 Asen ( xk 2 ) sen ( 2 t )
Ondas estacionárias numa corda segundo harmônico.
y 2 Asen ( xk 2 ) sen ( 2 t )
y = (0, 10) sen(x/2) sen(12t)
Qual o valor de L ?l
kn n
2
L
2
2
L
L 4m
y 2 Asen ( xk 2 ) sen ( 2 t )
y = (0, 10) sen(x/2) sen(12t)
Qual o valor de v ?l
12 2
L
v v 24m/s
y 2 Asen ( xk 2 ) sen ( 2 t )
y = (0, 10) sen(x/2) sen(12t)
Qual o valor de m?
2 2
200 N
4m
12 0 . 347 Kg / m e a massa 12.056,32K
g
y 2 Asen ( xk 3 ) sen ( 3 t )
y = (0, 10) sen(x/2) sen(12t)
Terceiro harmônico
T3 = ?
n
2
Tn
n
L
V
2
T3
3
4m
24 m / s 0 ,11 s
Ondas estacionárias numa corda terceiro harmônico.
A velocidade do som e a temperatura do gás(caso gás ideal).
Variação da velocidade do som com a temperatura
A velocidade do som em um gás não é constante, e sim que depende da temperatura.
Da equação de um gás ideal pV=nRT ou então,
= Cp/Cv - processo adiabático
A fórmula da velocidade do som é expressa em função da temperatura t do gás em graus
centígrados.
Para obter esta expressão aproximada, tomamos os dois primeiros termos do
desenvolvimento de (1+t/T0)1/2 do binômio de Newton
Sabendo que T0=273.15 K, γ=1.4, R=8.314 J/(K·mol) e M=28.95·10-3 kg/mol, temos que
vs≈331.4+0.61·t
onde 331.4 m/s é a velocidade do som no ar a 0ºC.
O caso do Batimento
TONNN.iiii....
Toonnnnnn.iii.....
O afinador compara o som da corda do
piano com um diapasão e por batimento
ele acerta a nota desejada.
TOINHoIIIIINHOIIIIIIINHOIIII...!
y y 1 y 2 A cos( 1 t xk 1 ) A cos( 2 t xk 2 )
cos( a ) cos( b ) 2 cos[ 1 / 2 ( a b )] cos[ 1 / 2 ( a b )]
y ( x , t ) 2 A cos[(
k
x
2
t )] cos[
2
( 1 2 ) ( 1 2 )
A ( x ,t )
1
2
( k1 k 2 ) x
1
2
( 1 2 ) t )]
k ( k 1 k 2 ) ( k 1 k 2 ) k
1
1
y ( x , t ) 2 A cos[
( k x t )] cos[
( k x t )]
2
2
Duas oscilações(TONNNNN e TOoNNNNN) com pequena diferença
nas suas freqüências quando somadas, produzem o fenômeno do:
BATIMENTO!!! - TOINHoIINHIINHoIINHoIIII....!
A ( x ,t )
1
1
y ( x , t ) 2 Asen [ ( kx t )] cos[ ( k x t )]
2
2
TONNN.iiii....
Toonnnnnn.iii.....
TOINHoIIIIINHOIIIIIIINHOIIII...!
16. Um pulso, que se desloca com uma velocidade de 50m/s em uma corda de
10m de comprimento, é descrito pela função
y(x, t) = 2e−2(x−vt)2 + e−2(x+vt)2
(SI) .
(a) Qual o valor de x para o qual a velocidade transversal da corda seja
extremal em t = 0?
(b) Se a massa da corda for 1kg, qual a tensão nesta?
R: (a) x = 0, 5m
(b) 250N
y(x, t) = 2e−2(x−vt)2 + e−2(x+vt)2
dy(x, t=0)/dt = 0Se v=50m/s x=0,5m
v
F
F
1 Kg
10
m
50 m / s
F 10 m / 1kg F 250 N
Várias ondas, quando convenientemente somadas podem
tomar a forma de um pulso:
+
+
+ .... =
+
Análise de Fourier
an = 0
bn = 2 (-1)n+1 / n.
Como cada onda tem diferente freqüência, a sua velocidade de
propagação será diferente e, com o tempo, o pulso perde a sua
amplitude original.
O fenômeno da dispersão de um pulso pode não ocorrer devido a não
linearidades. Aí temos um SÓLITON que também é um pulso dispersivo mas
neste caso há uma compensação.
18. Determine a amplitude da onda resultante da combinação de duas ondas
senoidais que se propagam no mesmo sentido, possuem mesma frequência,
têm amplitudes de 3, 0 cm e 4, 0 cm e diferença de fase de /2 rad
R: y(x, t) = 0, 05 sen(kx − t + 0, 64)
A 1 = 3 sen(kx − t + /2)
A 2 = 4 sen(kx − t)
A 1 = 3 sen(kx − t + /2)
A 2 = 4 sen(kx − t)
A
2
A1
2
A2
2 A1 A 2 cos( 2 1 )
A 1 = 3 sen(kx − t + /2)
A 2 = 4 sen(kx − t)
A2
arcsen
sen ( 2 1 )
A
A 1 = 3 sen(kx − t + /2)
A 2 = 4 sen(kx − t)
X ( t ) A cos( kx t 1 )
A
2
A1
2
A2
2 A1 A 2 cos( 2 1 )
A2
arcsen
sen ( 2 1 )
A
y = Ysen(n t)
Figuras de Lissajus
x = Xsen(n´ t)
Para tratar de oscilações em placa temos que usar a equação de d´Alembert bidimencional
2
A
x
2
A solução da equação de d´Alembert necessita
do conhecimento das condições de contorno
seus valores iniciais.
2
A
y
2
2
v
2
A
t
2
Quando são dadas as condições de contorno para a livre
oscilação teremos situações em que os máximos e mínimos
serão regidos por suas freqüências harmônicas características ou tons e
também sobretons.
Você sabe o que é superheterodinagem?
Neste caso multiplicamos dois sinais:
Dr. Sebastião Simionatto
FEP 2196 - 2009