1

1. Sinyal Sinusoidal Waktu – kontinu

T=1/F

A

A

cos  0 t

X a

   

A t

cos    2 

Ft

   Sinyal dasar Eksponensial dng α imajiner

X a



Ae j

 

t

  

Ω = 2πF adalah frekuensi dalam rad/s F = frekuensi dalam putaran per sekon (Hz) A= Amplitudo sinusoida θ = fase dalam radian

2

2.Sinyal Sinusoida Waktu-Diskrit

A

X

0  -A

A

cos  

n

     

n

  Dimana ω = 2πf  

frekuensi

(

radian

/

cuplikan

)  f = putaran per cuplikan 

phasa

(

radian

) n 3

Typical real time DSP System

x(t) Input filter ADC with sample & hold x(n) Digital Prosesor y(n) DAC Output filter y(t) 4

Analog to Digital converter

x a

Pencuplikan

x x a

Kuantisasi

x q

Sinyal Analog Sinyal Waktu Diskrit Pengkodeaan

x

Sinyal Terkuantisasi 01011…..

Sinyal Digital 5

Analog to Digital Conversion Process

LPF Sample & Hold Quantizer Encoder X(t) Analog input F 2 B Logic Circuit X(n) Digital output code

Untuk proses gambar diatas ada tiga tipe identifikasi :

• •

Sinyal input analog Sinyal di-sample

: Sinyal kontinu dalam fungsi waktu dan amplitudo.

: Amplitudo Sinyal kontinu didefinisikan sebagai diskrit point dalam waktu.

•

Sinyal digital

: dimana x(n),untuk n=0,1,2,…….Sinyal dalam sumbu poin diskrit dalam waktu dan masing-masing poin akan dihasilkan nilai 2 B.

6

Proses Konversi Analog ke Digital Ada tiga langkah dalam proses konversi : 1. Pencuplikan ( Sampling)

: konversi sinyal analog ke dalam sinyal amplitudo kontinu waktu diskrit.

2. Kuantisasi

: konversi masing-masing amplitudo kontinu waktu diskrit dari sinyal sample dikuantisasi dalam level 2 B , dimana B adalah number bit yang digunakan untuk reprentasi dalam

Analog to Digital Conversion (ADC).

3. Pengkodean

: Setiap sinyal amplitudo diskrit yang dikuantisasi direprentasikan kedalam suatu barisan bilangan biner dari masing-masing bit.

7

Pencuplikan Sinyal Analog

X Sinyal analog a

Pencuplikan periodik atau seragam:

Diskripsi : x(n)=x a (nT), -~< n< ~ (t) X a (t) Fs=1/T Pencuplikan X(n) Fs=1/T, t=nT=n/Fs X(n)=X a (nT) Sinyal waktu diskrit X a (t) X(n)=X a (nT) 0 t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n 8

Sinyal Sinusoida analog

: Xa(t) = A Cos (2  Ft +  ) Pencuplikan periodik dengan laju

Fs=1/T

X



X



ACos

 2 

FnT a

2 

nF X



ACos



Fs

  (cuplikan per sekon ), maka :    Hubungan frekuensi (F) sinyal analog dan frekuensi (f) untuk sinyal diskrit: f =F/Fs ekuivalen :  =  T f = Frekuensi relatif atau ternormalisasi ( f dapat menentukan F dalam Herzt ) Sehingga untuk interval sinusoida waktu kontinu:   < F < ~ <  < ~ Untuk sinusoida waktu diskrit terdapat hubungan sbb : 9

Hubungan Variabel Frekuensi

Sinyal waktu kontinu Sinyal waktu diskrit  = 2  F  = 2  f (Rad/sekon) (Rad/cuplikan)  =  T, f = F/Fs  ≤  ≤  -1/2 ≤ f ≤ 1/2  =  /T , F = f.Fs

 <  <  - ~ < F <   /T ≤  ≤  /T - Fs/2 ≤ F ≤ Fs/2 10

Hubungan variabel Frekuensi sinyal kontinyu dan diskrit

-Fs f 1/2   -Fs/2 -1/2 0  Fs/2 Fs F

Pemakaian hubungan-hubungan frekuensi dicontohkan dengan dua sinyal analog berikut : X 1 (t) = cos 20 π t X 2 (t) = cos 100 π t a.

b.

Tentukan frekuensi kedua sinyal tersebut.

Tentukan fungsi sinyal diskrit bila dicuplik dengan laju Fs = 40 Hz INGAT cos (2 π ± a) = cos a sin (2 π + a) = sin a sin (2 π - a) = -sin a 12

x 1 ( t )  cos[ 2  ( 10 ) t ] x 2 ( t ) F s   cos[ 40 Hz 2  ( 50 ) t ]   F 1 F 2   10 Hz 50 Hz x 1 ( n ) x 2 ( n )    cos[ 2   10 40   n ]  cos(  2 n ) cos[ 2   50 40 cos( 2    ) n 2 n ]   cos( 5 2  n cos( 2  n  )  2 n )  cos(  2 n )  x 1 ( n ) x 2 (n) identik dengan x 1 (n) F 2 (50 Hz) = alias dari F 1 (10 Hz) 90 Hz, 130 Hz, …. juga alias 10 Hz

TEOREMA PENCUPLIKAN ( SAMPLING ) Sinyal Analog : Xa(t), Fmax = B, Laju cuplikan Fs > 2Fmax



(2B), maka dapat diperoleh kembali dari nilai cuplikan dengan fungsi interpolasi :

X a



n

   

X a

 

n F s

 

g

 

t



n F s

  dimana :

g

 sin 2 

Bt

2 

Bt

Untuk :

Xa(n/Fs) = Xa(nT)



X(n)

merupakan cuplikan-cuplikan dari Xa(t) Laju cuplikan minimum

Fs = 2B

, maka formula penyusunan ulang dari cuplikan menjadi kontinyu adalah :

X a



n

   

X a

  

n

2

B

   sin 2 

B

2 

B



t



t

 

n

/

n

2 / 2

B



B



Laju pencuplikan : F N = 2B = 2F max = Laju Nyquist

14

Syarat Nyquist

: untuk menjamin bahwa seluruh komponen sinusoida sinyal analog menjadi sinyal diskrit adalah Fs ≥ 2 Fmax(analog) Apabila tidak terpenuhi maka akan terjadi aliasing.

15

Frekuensi alias

Misal ada 2 sinal analog : -> x 1 (t) = A sin 2  (10) t -> x 2 (t) = A sin 2  (50) t ….. (a) ……(b) Kedua sinyal dicuplik dengan laju F s = 40 Hz, sehingga sinyal digital (waktu-diskrit) masing-masing: -> x 1 (n) = A sin 2  (10/40)n = sin (  /2) n ……(c) -> x 2 (n) = A sin 2  (50/40)n = sin (5  /2) n …..(d) 16

Karena : sin (5  /2) n = sin (2  n +  n/2 ) = sin  n/2 Maka : Sinyal analog pers (a) dan (b) setelah dicuplik dgn frekuensi F s = 40 Hz akan menghasilkan digital yg sama, sehingga frek. Sinyal analog x 2 (t) merupakan

alias

dari x 1 (t), jadi frekuensi alias terjadi jika :

F

k

= F

o Dengan : k = ± 1, ± 2, …

+ k F

s F k F 0 F s = frekuensi sinyal analog ke k; =50 dicontoh (b) = frekuensi sinyal analog ke dasar,=10 dicontoh (a) = frekuensi sampling, = 40 17

Ilustrasi Pengaliasan pencuplikan yang sama pada 2 sinyal dengan frekuensi berbeda.

F 2 F 1   1 8  Hz 7 8 F 1   7 8 Hz  ( 1 8  1 )  F 2  F kF s s  1 Hz k   1

Perhatikan sinyal analog a) b) c) d)

X

a

(t)= 3 cos 100πt

Tentukan laju pencuplikan minimum yang dibutuhkan untuk menghindari pengaliasan.

Andaikan sinyal tersebut dicuplik dengan laju Fs=200Hz. Berapa sinyal waktu-diskrit yang diperoleh sesudah pencuplikan.

Andaikan sinyal tersebut dicuplik dengan laju Fs=75Hz. Berapa sinyal waktu-diskrit yang diperoleh sesudah pencuplikan.

Berdasarkan hasil sinyal diskrit soal c, Berapa frekuensi dan fungsi dari sinyal sinusoidal berdasar hasil cuplikan Fs=75 Hz. 19

Diketahui sebuah sinyal analog x a (t) = 3 cos 100  t a) Tentukan F s minimum b) Bila F s = 200 Hz, tentukan x(n) c) Bila F s = 75 Hz, tentukan x(n) d) Berapa 0 < F < F s /2 yang menghasilkan x(n) sama dengan c)

Jawab:

a) F = 50 Hz dengan F s

b)

x ( n )  3 cos 100  200 n  3 cos minimum = 100 Hz  2 n

c) x ( n )  3 cos 100  75  3 cos( 2   n  2  ) n 3 4  3 cos  n 3 3 cos( 2  ) n 3 d)

x

(

n

)



3 cos( 2



3 )

n



3 cos( 2



1 3 )

n f

 1 3

f



F o F s F o



f F s



1 3 ( 75 )



25

Hz F k



F o



kF s



25



k

( 75 )

k

 

1 ,



2 ,



0



F



F s

2



75 2



37 , 5

F



F o

 25

Hz

Sinyal Analog : X a (t) = 3 cos 2000  t + 5 sin 6000  t + 10 cos 12000  t a) Berapa laju Nyquist ?

b) Jika laju pencuplikan Fs = 5000 cuplikan/detik. Berapa sinyal waktu diskrit yang diperoleh setelah pencuplikan?

c) Berapa sinyal analog yang dapat dibentuk ulang dengan Fs=5000cuplikan/detik Hal. 29-30 22

Diketahui sebuah sinyal analog x a (t) = 3 cos (2000  t) + 5sin(6000  t) + 10 cos (12000  t) a) Tentukan frekuensi Nyquistnya b) Bila F s = 5000 Hz, tentukan x(n) c) Tentukan x a (t) dari x(n) pada b) bila proses D/A Cnya sempurna

Jawab:

a)

F

1  1

kHz F

2  3

kHz B



F maks

 6

kHz F

3  6

kHz F N

 2

B

 12

kHz

b)

F s

 5

kHz



x

(

n

)



3 cos 2000



5000

F

2

s

 2 , 5

kHz n



5 sin 6000



5000

n



10 cos 12000



5000



3 cos( 2



1 5 )

n



5 sin( 2



3 5 )

n



10 cos( 2



6 5 )

n n x

(

n

)  3 cos[ 2  ( 1 5 )

n

]  5 sin[ 2  ( 1  2 )

n

] 5  10 cos[ 2  ( 1  1 5 )

n

]

x

(

n

)  3 cos[ 2  ( 1 5 )

n

]  5 sin[ 2  (  2 5 )

n

]  10 cos[ 2  ( 1 5 )

n

]

x

(

n

)  3 cos[ 2  ( 1 5 )

n

]  5 sin[ 2  (  2 5 )

n

]  10 cos[ 2  ( 1 5 )

n

]

x

(

n

)  13 cos[ 2  ( 1 5 )

n

]  5 sin[ 2  ( 2 5 )

n

]

c)

y a

(

t

)



13 cos( 2000



t

)



5 sin( 4000



t

)

KUANTISASI SINYAL AMPLITUDO-KONTINU KUANTISASI :

Proses pengkonversian suatu sinyal amplitudo-kontinu waktu diskrit menjadi sinyal digital dengan menyatakan setiap nilai cuplikan sebagai suatu angka digit, dinyatakan dengan :

X q



Q



X

  X(n) merupakan hasil pencuplikan,  Q[X(n)] merupakan proses kuantisasi :  X q ( n) merupakan deret cuplikan terkuantisasi 26

Konsep kuantisasi (lanj.)

27

28

29

KESALAHAN KUANTISASI/

Kebisingan Kuantisasi /Galat Kuantisasi/

Error Kuantisasi ( e

q

(n) )

  Diperoleh dari kesalahan yang ditampilkan oleh sinyal bernilai kontinu dengan himpunan tingkat nilai diskrit berhingga.

Sec Matematis, merupakan deret dari selisih nilai terkuantisasi dengan nilai cuplikan yang sebenarnya.

e q (n) = X q (n) – X (n)

30

 0 -2  -3  -4  0 4  3 

KUANTISASI SINYAL SINUSOIDA

Sampel analog Aslinya Xa(t) Sampel Diskritsasi waktu Terkuantisasi 2   T Cuplikan Terkuantisasi X 2T 3T q (nT) 4T 5T 6T 7T 8T 9T t Diskritsasi amplitudo Tingkat kuantisasi  Langkah kuantisasi Interval Pengkuanti sasi 31

Hal 33 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0 1 1 2 2 X a 3 3 X(n)=0,9 (t)=0,9 4 4 t 5 5 n X q 6 (n) 6 7 7 Xa(t)=0,9 T 8 T=1s 8 t n Tingk. Kuantisasi  L=jml tingkatan kuantisasi Langkah  kuantisasi 

X

max

L

 

X

1 min n 32

n

Tabel . Ilustrasi Numerik kuantisasi dengan 1 digit

X(n) Sinyal diskrit Xq(n) (bulat ke bawah) Xq(n) (bulat ke atas) eq(n)=Xq(n)-X(n) (bulat ke atas) 0 1 1.0 1.0 0.0

1 0.9 0.9 0.9 0.0

2 0.81 0.8 0.8 -0.01

3 0.729 0.7 0.7 -0.029

4 0.6561 0.6 0.7 0.439

5 0.59049 0.5 0.6 0.00951

6 0.531441 0.5 0.5 -0.031441 7 0.4782969 0.4 0.5 0.021031 8 0.43046721 0.4 0.4 -0.03046721 9 0.387420489 0.3 0.4 0.012579511 33

Pada gambar persamaan Sinyal Sinusoida analog :

X a

  

A

cos  0

t

Daya Kesalahan Kuadrat Rata-rata P q

P q

  1 0  

e

2

q

 

dt

Karena :

e q

    / 2  

t

, dim

ana

  

t

  , maka : 

P q

  1  0  menunjukkan waktu X a maka langkah kuantisasi :  2  2

t

2

dt

(t) berada dalam tingkatan kuantisasi Jika Pengkuantisasian b bit dan interval keseluruhan 2A, = 2A/2 b   2 12 . Jadi :

P q



A

2 / 2 2

b

3 •

Daya rata-rata sinyal Xa(t) :

P x

 1

T T

0 

p



A

cos  0

t

 2

dt



A

2 2 34

Gambar . Galat Kuantisasi Eq(t) penentu Daya Kesalahan Pq

e q (t)   /2  /2   /2 0  0  t  t

Signal Quantitation to Noise Ratio ( SQNR ) : nilai kualitas keluaran ADC yang ditentukan oleh Rasio daya sinyal terhadap daya kebisingan (noise).

SQNR



P x P q

 3 2 .

2 2

b SQNR



10 log

10

SQNR



1 , 76



6 .

02

b

35

 Rumus SQnR(dB) menunjukkan bahwa nilai ini bertambah kira-kira 6dB untuk setiap bit yang ditambahkan kepada panjang kata.

 Contoh pada proses CD recorder menggunakan Fs = 44,1 Khz dan resolusi sampling 16 bit, yang menyatakan SQNR lebih dari 96 dB.

 Semakin tinggi nilai SQNR --- semakin baik proses konversi dari ADC tersebut.

36

Pengkodean

 Setiap sinyal amplitudo diskrit yang dikuantisasi direprentasikan kedalam suatu barisan bilangan biner dari masing-masing bit.

  Sinyal digital yang dihasilkan ADC berupa bilangan basis 2 (0 dan 1). Idealnya output sinyal tersebut harus dapat merepresentasikan kuantitas sinyal analog yang diterjemahkannya. Representasi ini akan semakin baik ketika ADC semakin sensitif terhadap perubahan nilai sinyal analog yang masuk.

37

 Jika nilai 0-15 volt dapat diubah menjadi digital dengan skala 1 volt, artinya rentang nilai digital yang diperoleh berupa 16 tahap (dari 0 bertahap naik 1 volt hingga nilai 15 atau setara dengan 0000 atau 1111).

Tahapan sejumlah ini dapat diperoleh dengan membuat rangkaian ADC 4bit (karena jumlah bit (n) merepresentasikan 2 n nilai skala, sehingga 2 4 =16 skala).

 Misal kita ingin menaikan jumlah bit menjadi 8, maka nilai 0-15 volt dapat di representasikan oleh 2 yang terbaca. 8 (256) skala atau setara dengan skala 62.5mV, Hasilnya rangkaian semakin sensitif terhadap perubahan sinyal analog Jadi, dapat disimpulkan semakin besar jumlah bit ,maka semakin sensitif atau semakin tinggi resolusi rangkaian ADC.

RESOLUSI

Adalah jumlah bit output pada ADC. Sebuah rentang sinyal analog dapat dinyatakan dalam kode bilangan digital.

Sebuah sinyal analog dalam rentang 16 skala (4 bit) adalah lebih baik resolusinya dibanding membaginya dalam rentang 8 skala (3 bit). Karena besar resolusi sebanding 2 bagus .

n .

semakin besar jumlah bit , resolusi akan semakin

Contoh pada ADC 0804

 Untuk operasi normal, menggunakan Vcc = +5 Volt sebagai tegangan referensi. Dalam hal ini jangkauan masukan analog mulai dari 0 Volt sampai 5 Volt (skala penuh), karena IC ini adalah SAC 8-bit, resolusinya akan sama dengan : Artinya : setiap kenaikan 1 bit, kenaikan tegangan yang dikonversi sebesar 19,6 mVolt 40

The End

41

TUGAS

Diketahui sebuah sinyal analog x a (t) = 3 cos (50  t) + 10 sin(300  t) - cos (100  t) a) Tentukan laju pencuplikan minimum yang dibutuhkan untuk menghindari pengaliasan b) Bila sinyal tersebut dicuplik dengan laju 100 pencuplikan/sekon, berapa sinyal waktu diskrit yang diperoleh sesudah pencuplikan c) Bila sinyal tersebut dicuplik dengan laju 200 pencuplikan/sekon, berapa sinyal waktu diskrit yang diperoleh sesudah pencuplikan