Transcript Analizadores de Fourier_Rev3
UTN FRBA Medidas Electrónicas II
Unidad Temática Nro.4
Analizadores de Fourier
Rev.3 – 22/06/2009
UTN FRBA Medidas Electrónicas II
Introducción
• Una señal puede ser definida por su forma en el dominio temporal o por su composición espectral, indistintamente. • La relación que existe entre estos dos dominios (tiempo y frecuencia), está determinada por la Transformada de Fourier de forma genérica.
• Un analizador de Fourier mostrará la representación de la señal en el dominio frecuencial, a partir de su muestreo en el dominio temporal.
• Dicho espectro se obtendrá aplicando la DFT (Discrete Fourier Transform) o su versión computacionalmente más eficiente, FFT (Fast Fourier Transform) a las muestras.
• La utilización de técnicas computacionales para lograrlo, impone limitaciones propias entre las que se destacan: - Valores representables discretos (para amplitud, tiempo y frecuencia) - Cantidad de memoria limitada - Errores de cálculo por redondeo o truncamiento - Tiempo de cálculo para hallar el espectro a partir de las muestras - Limitaciones de frecuencia para evitar el efecto de Alias
Diagrama funcional Básico
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fs • El diagrama funcional de una analizador de Fourier muestra un gran parecido con un osciliscopio digital de almacenamiento (DSO), así como la gran mayoría de los sistemas de adquisición de datos.
• El filtro pasa bajos de entrada es requisito indispensable para evitar el Alias. No todos los analizadores de Fourier lo incorporan, por lo tanto en esos casos es responsabilidad del operador garantizar que la señal de entrada no provoque Alias conociendo la fs utilizada • El conversor ADC es el elemento necesario para poder digitalizar la señal para su posterior procesamiento. Sobre este bloque se ajusta la fs deseada.
• La memoria almacenará una cantidad N de muestras consecutivas para su procesamiento, así como el resultado del procesamiento matemático necesario para obtener el espectro • El bloque indicado como FFT es típicamente un DSP que realiza las operaciones matemáticas del caso, con un rendimiento mucho mayor al de un procesador tradicional • El display es obviamente el área de visualización para el operador (LCD, CRT, etc)
Muestreo visto en el dominio de la frecuencia
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• La señal de entrada tiene una sola componente en su especto, siendo en el dominio del tiempo una señal senoidal pura (sin distorsión armónica) • Luego de ser muestreada a una frecuencia fs, el espectro resultante pasa a ser periódico con período fs. La repetición del mismo no aporta información y es una consecuencia del muestreo.
• En cada período, el mismo presenta simetría. Para el primer caso, puede verse que se tiene respecto a fs/2. • Si se normaliza el espectro respecto a fs, haciendo F = f/fs, la información útil va hasta F = ½ • Se concluye que una señal muestreada tiene un espectro periódico, y que si se cumple que (Teorema Nyquist), el espectro de la señal muestreada se conserva
Muestreo visto en el dominio de la frecuencia
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• La señal de entrada ahora tiene una composición espectral continua, pero sigue cumpliendo con la condición • Luego de ser muestreada a una frecuencia fs, el espectro resultante (al igual que antes) pasa a ser periódico con período fs. • Puede verse ahora que una señal que tiene un espectro continuo, al ser muestreada y pasar a ser una señal discreta temporalmente, presenta un espectro continuo y periódico.
• También ahora por cumplirse con el teorema de Nyquist, la forma del espectro original se conserva inalterado.
Muestreo visto en el dominio de la frecuencia
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• La señal de entrada ahora tiene una composición espectral continua, pero ya no cumple con la condición de Nyquist • Luego de ser muestreada a una frecuencia fs, el espectro resultante se solapa entre si deformándose de manera irreversible. • Ahora por no cumplirse con el teorema de Nyquist, la forma del espectro original se ha perdido y no hay forma de volver a recuperarlo, por el efecto del Alias.
•De nuevo, no cumplir con el teorema de Nyquist implica que el espectro que vamos a visualizar no se corresponde realmente con el de la señal de entrada, cometiendo un error grosero en la medición que no debe dejarse pasar.
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Señales periódicas de tiempo continuo
• Las señales periódicas de tiempo continuo son aquellas presentes a la entrada del analizador de Fourier y por lo tanto son aquellas de interés pasa nosotros.
• El proceso de digitalización ya se ha evaluado con anterioridad y con profundidad en los DSO • Las señales periódicas en tiempo continuo, tienen descomposición en Serie de Fourier por lo tanto su espectro es por naturaleza discreto.
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Señales periódicas de tiempo continuo
• Cabe destacar que la denominación de Serie hace referencia a una sumatoria de armónicos, que como se muestra en la señal típica de abajo, a medida que se agregan más armónicos a la sumatoria, más es la similitud con la señal original.
Señales periódicas de tiempo continuo
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Señales aperiódicas de tiempo continuo
• Las señales aperiódicas de tiempo continuo son aquellas que también pueden estar presentes a la entrada del analizador de Fourier, principalmente producto de transitorios, respuestas impulsionales de sistemas, y por lo tanto son también de interés pasa nosotros.
• El proceso de digitalización ya se ha evaluado con anterioridad y con profundidad en los DSO • Las señales aperiódicas en tiempo continuo, tienen Transformada de Fourier y por lo tanto su espectro es por naturaleza continuo.
Señales aperiódicas de tiempo continuo
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Consideraciones sobre la Transformada de Fourier en tiempo Discreto
La Transformada de Fourier de señales aperiódicas en tiempo discreto es:
X
( )
n
x
(
n
)
e
j
n x
(
n
) 2 1 2
X
( )
e j
n d
• El mayor inconveniente que presenta esta transformación es que parte de una señal discreta pero el resultado es una señal continua, es decir, no puede utilizarse esta expresión en un DSP para realizar los cálculos para el analizador de Fourier. • Lo que se necesita es una expresión que dé como resultado también una señal discreta.
• La realidad es que el espectro de la señal a visualizar es discreto o continuo según sea la característica de la propia señal. Habrá que ver que implicancias trae el considerarla siempre como un espectro discreto.
•No debe confundirse la Transformada de Fourier en Tiempo Discreto con la DFT, que nos da el espectro discreto de la Transformada de Fourier
Consideraciones para el espectro de señales discretizadas
x a
(
t
)
x
(
n
) cos(
x a
t
) (
n
Ts
) cos(
n
Ts
)
x
(
n
) cos( si llamamos 2
f
n Fs
a 2 ) cos( 2
F
tendre
F
mos
n
)
x
(
n
) con
F
cos(
f Fs
(frecuenci
n
) a discreta normalizad Si por ejemplo tenemos
x
0 (
n
)
x
1 (
n
) Por lo tanto
x
1 (
n
) 1 0 cos( 0
n
) 2 cos( 0 cos(( 0
n
) y
x
1 (
n
) 2 )
n
) cos( 1 cos( 0
n
)
n
2
n
) a)
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Generaliza ndo para la exponencia l compleja se tiene : e j
t
que si se pasa a tiempo discreto se convierte en e j
n
Ts
e j 2 Si nuevamente y al igual se hace la considerac que antes tendremos e ión j 1
n
de tener 1 0 e j ( 0 2 ) 2
n
e j 0
n
f
e j 2
n Fs
e j
n
n
e j 0
n
Por lo tanto en tiempo discreto el espectro es periódico, con periodicid ad tal que : o de forma equivalent e como 2
Fs
1 2
F
1 2
Consideraciones para el espectro de señales discretizadas
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Nota: Tener cuidado con la nomenclatura, porque están usados distinto , Ω y F
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Discrete Fourier Transform (DFT), la solución necesaria
La Transformada de Fourier Discreta es la herramienta fundamental de todo analizador de Fourier. Es la que nos permite pasar de un dominio frecuencial continuo a uno discreto.
Partiendo de la Transforma da de Fourier para una señal aperiódica discreta se tiene que
X
( )
n
x
(
n
)
e
j
n
, si ahora la muestramos con 2
N
se tiene
X
( 2
N
k
)
n
x
(
n
)
e
j
2
N
k
n
con
k
0,1,...,
N
1 luego si consideram os la señal aperiódica de longitud L y tal que N L se tiene
X
(
k
)
n L
1 0
x
(
n
)
e
Al muestrear
j
2
N
k
n
con
k
el espectro desde π a 0,1,...,
N
1 π , con N puntos se tiene una resolución en frecuencia de la forma : 2 N ,
k
que también Como se expresa como ejemplo, si se tiene
fs fs
f
N 1000
Hz
y
N
1 000
f
1
Hz
Discrete Fourier Transform (DFT), la solución necesaria
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• Intuitivamente y sin entrar en los pormenores matemáticos*, puede apreciarse que al hacer un muestreo en el dominio de la frecuencia, se está convolucionando con un peine de deltas en el domino del tiempo la señal aperiódica original.
• De esta manera se obtiene un espectro discreto, cuya señal temporal correspondiente tiene la forma original pero periódica.
*Para mayor profundidad consultar autores como Oppenheim o Proakis en sus respectivos libros
Discrete Fourier Transform (DFT), la solución necesaria
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• Al igual que se vió al revisar la teoría de muestreo, ahora debe cumplirse el espaciamiento temporal necesario entre los períodos que se solapar para no tener Alias en el dominio del tiempo • Debe notarse que el alias temporal no es un tema que sea de interés en un analizador de Fourier Alias Temporal
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Consideraciones en el muestreo del espectro
• Cuando se aplica la DFT se hace sobre una captura de N muestras (o Frame completo). Implícitamente existe una ventana por la cual se estaría multiplicando toda la señal existente para obtener solamente aquella que se capturó, que en principio es rectangular.
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Consideraciones en el muestreo del espectro
• Luego de multiplicar la señal de entrada por la función de ventana, se calcula la DFT de la señal resultante.
• En el ejemplo siguiente se da la particularidad que la señal de entrada es periódica (espectro discreto), y el tiempo de captura es múltiplo de dicho período. De esta manera los puntos muestreados del espectro (bins) coinciden con los ceros del Sinc excepto en el máximo. Este caso es muy poco frecuente pero es el que más deseable porque no se deforma el espectro
Fs/2
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Consideraciones en el muestreo del espectro
• En los casos reales, no se produce esta coincidencia entre el tiempo de captura y el período de la señal (a menos que se realice un muestreo sincronizado que sería un caso especial).
• Ahora el muestreo ya no coincide exactamente con el inicio y fin del período, por lo tanto existe un problema adicional en la consideración de periodicidad implícita de la DFT.
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Spectral Leakage
• Como se aprecia en los gráficos, al considerar la señal periódica, existe un salto de fase que no existía en la señal original y que altera el espectro de la misma • Al ver el espectro resultante se aprecia que la energía que tenía la señal original se distribuye alrededor de la componente principal, pero ya no coincide con ésta. Este efecto se denomina ‘Spectral Leakage’ y trae asociado entre otras cosas error en la medición de amplitud
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Spectral Leakage
• Como se mostró en gráficos anteriores, cuando no se da la coincidencia temporal de la captura con un numero entero de ciclos de la señal de entrada, para la interpretación que se hace con la DFT, dicha señal tiene una discontinuidad que “desparrama” parte de su energía en otras componentes que originalmente no existían Señal con coincidencia en la captura Captura de señal sin coincidencia Repetición periodica de la captura tal como lo interpreta la DFT Espectro con leakage por la discontinuidad presente en la captura Espectro cuando hay coincidencia en la captura
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Efecto Estacas (Picket-fence)
• Este efecto provoca un error máximo en la medición de amplitud cuando el espectro resultante cae entre 2 bins adyacentes.
• Si se opta por aumentar N para incrementar la resolución frecuencial y acercar los bins, esto trae como consecuencia inmediata un ensanchamiento directo de la ventana rectangular.
• Este ensanchamiento de la ventana rectangular acerca los ceros del Sinc tanto como se aumente N por lo tanto compensa este efecto, haciendo que el error permanezca constante
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Efecto Estacas (Picket-fence)
• Cuando se muestrea el espectro con la DFT, se cae en el problema de no conocer realmente que es lo que pasa entre los puntos muestreados • Este efecto se denomina Picket-Fence, por su similitud a mira el espectro a través de una “cerca de estacas”, donde sólo podemos conocer lo que hay detrás entre las maderas • El analizador de Fourier desconoce lo que hay en los faltantes y sólo puede unirlo mediante una interpolación lineal o dejar los puntos.
• La pérdida de amplitud asociada con este efecto se denomina Scallop-Loss
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Ventanas
• Para disminuir el efecto del ‘Leakage’, se opta por utilizar ventanas que no son rectangulares (excepto algún casos especial) • Este tipo de ventana generalmente tienen la característica de poseer valor cero (o cercano) en los extremos • Esta característica hace que cuando se ‘ventanea’ una captura, la misma tiende a cero en los extremos y por lo tanto cuando se aplica la DFT, la periodicidad implicita ya no provoca una discontinuidad importante dado que todos los períodos arrancan y terminan cerca del cero
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Ventanas
• La forma de la ventana es importante ya que naturalmente también modifica la forma del espectro resultante. Como se ve a continuación la alteración del espectro es inevitable
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Ventanas
• La forma de la ventana es importante ya que naturalmente también modifica la forma del espectro resultante. Como se ve a continuación la alteración del espectro es inevitable
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Ventanas y sus aplicaciones
• Cada ventana tiene su aplicación particular, basada en como altera la señal original.
• Como ejemplos, para medición de amplitudes se logra la mayor exactitud con Flat-Top • Para resolver señales con componentes en frecuencia cercanas, principalmente se utiliza la ventana de Hanning
Ventanas y sus aplicaciones
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Ventanas y sus aplicaciones
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Respuesta con valor lejano al real por el efecto de Picket-Fence Mucha energía “desparramada” -Amplitud “Plana” (muy próxima al valor real) -Ancho considerable (Poca resolución) - Poca energía “desparramada”
Ventanas y sus aplicaciones
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Respuesta con valor lejano al real por el efecto de Picket-Fence Mucha energía “desparramada” - Amplitud inexacta - Angosto (Buena resolución espectral) - Poca energía “desparramada” (no oculta otras componentes cercanas)