Transcript P11 Wellen
2. Wellen 2. Wellen Schwingung s(t) = A sin(wt - j0) 2. 2. Wellen Wellen Schwingung s(t) = A sin(wt - j0) Anstelle der Schwingungen mit gleichem Nullphasenwinkel j0 = konst. 2. 2. Wellen Wellen Schwingung s(t) = A sin(wt - j0) Anstelle der Schwingungen mit gleichem Nullphasenwinkel j0 = konst. nun Schwingungen mit ortsabhängigen Nullphasenwinkeln j0(x) 2. 2. Wellen Wellen Schwingung s(t) = A sin(wt - j0) Anstelle der Schwingungen mit gleichem Nullphasenwinkel j0 = konst. nun Schwingungen mit ortsabhängigen Nullphasenwinkeln j0(x) = kx und konstanter Phasendifferenz s(x,t) = A sin(wt - kx) 2. 2. Wellen Wellen Schwingung s(t) = A sin(wt - j0) Anstelle der Schwingungen mit gleichem Nullphasenwinkel j0 = konst. nun Schwingungen mit ortsabhängigen Nullphasenwinkeln j0(x) = kx und konstanter Phasendifferenz s(x,t) = A sin(wt - kx) Phasengeschwindigkeit = Wellenlänge / Schwingungsdauer c = lf 2. 2. Wellen Wellen Schwingung s(t) = A sin(wt - j0) Anstelle der Schwingungen mit gleichem Nullphasenwinkel j0 = konst. nun Schwingungen mit ortsabhängigen Nullphasenwinkeln j0(x) = kx und konstanter Phasendifferenz s(x,t) = A sin(wt - kx) Phasengeschwindigkeit = Wellenlänge / Schwingungsdauer c = lf s = konst. für wt - kx = konst. dx/dt = w/k 2. 2. Wellen Wellen Schwingung s(t) = A sin(wt - j0) Anstelle der Schwingungen mit gleichem Nullphasenwinkel j0 = konst. nun Schwingungen mit ortsabhängigen Nullphasenwinkeln j0(x) = kx und konstanter Phasendifferenz s(x,t) = A sin(wt - kx) Phasengeschwindigkeit = Wellenlänge / Schwingungsdauer c = lf s = konst. für wt - kx = konst. dx/dt = w/k Durch Kopplung der Oszillatoren ergibt sich die oben künstlich eingestellte Phasendifferenz (grüne Welle) auf natürliche Weise. Die Welle ist ein zeitlich und räumlich veränderlicher Zustand Die Welle ist ein zeitlich und räumlich veränderlicher Zustand Voraussetzungen: # Elastisches Medium (Rückstellkraft) # Deformation in einem Punkt (Erregungszentrum) Die Welle ist ein zeitlich und räumlich veränderlicher Zustand Voraussetzungen: # Elastisches Medium (Rückstellkraft) # Deformation in einem Punkt (Erregungszentrum) Folge: # Transport von Energie ohne Materietransport # Ausbreitung mit der Phasengeschwindigkeit Die Welle ist ein zeitlich und räumlich veränderlicher Zustand Voraussetzungen: # Elastisches Medium (Rückstellkraft) # Deformation in einem Punkt (Erregungszentrum) Folge: # Transport von Energie ohne Materietransport # Ausbreitung mit der Phasengeschwindigkeit Wellenarten: # gerichtete Größen (Vektoren: Weg, Feldstärke) Seilwellen, Wasserwellen, Licht Die Welle ist ein zeitlich und räumlich veränderlicher Zustand Voraussetzungen: # Elastisches Medium (Rückstellkraft) # Deformation in einem Punkt (Erregungszentrum) Folge: # Transport von Energie ohne Materietransport # Ausbreitung mit der Phasengeschwindigkeit Wellenarten: # gerichtete Größen (Vektoren: Weg, Feldstärke) Seilwellen, Wasserwellen, Licht # ungerichtete Größen (Skalare: Druck, Dichte) Schallwellen Die Welle ist ein zeitlich und räumlich veränderlicher Zustand Voraussetzungen: # Elastisches Medium (Rückstellkraft) # Deformation in einem Punkt (Erregungszentrum) Folge: # Transport von Energie ohne Materietransport # Ausbreitung mit der Phasengeschwindigkeit Wellenarten: # gerichtete Größen (Vektoren: Weg, Feldstärke) Seilwellen, Wasserwellen, Licht # ungerichtete Größen (Skalare: Druck, Dichte) Schallwellen # Transversalwellen (polarisierbar) Die Welle ist ein zeitlich und räumlich veränderlicher Zustand Voraussetzungen: # Elastisches Medium (Rückstellkraft) # Deformation in einem Punkt (Erregungszentrum) Folge: # Transport von Energie ohne Materietransport # Ausbreitung mit der Phasengeschwindigkeit Wellenarten: # gerichtete Größen (Vektoren: Weg, Feldstärke) Seilwellen, Wasserwellen, Licht # ungerichtete Größen (Skalare: Druck, Dichte) Schallwellen # Transversalwellen (polarisierbar) # Longitudinalwellen Beschleunigung ~ Rückstellkraft Beschleunigung ~ Rückstellkraft ~ Krümmung Beschleunigung ~ Rückstellkraft ~ Krümmung Beschleunigung ~ Rückstellkraft ~ Krümmung ~ s´´ Beschleunigung ~ Rückstellkraft ~ Krümmung ~ s´´ d2s dt 2 ~ d2s dx2 Beschleunigung ~ Rückstellkraft ~ Krümmung ~ s´´ d2s dt ~ 2 x = const d2s dx2 t = const Beschleunigung ~ Rückstellkraft ~ Krümmung ~ s´´ 2s t2 ~ 2s x2 Beschleunigung ~ Rückstellkraft ~ Krümmung ~ s´´ 2s t2 ~ .. s ~ s´´ 2s x2 Beschleunigung ~ Rückstellkraft ~ Krümmung ~ s´´ 2s t2 ~ .. s ~ s´´ - 1 .. s + s´´ = 0 2 c 2s x2 Beschleunigung ~ Rückstellkraft ~ Krümmung ~ s´´ 2s t2 ~ .. s ~ s´´ - 1 .. s + s´´ = 0 2 c 2s 1 2s - 2 2 + x2 c t =0 2s x2 Beschleunigung ~ Rückstellkraft ~ Krümmung ~ s´´ 2s t2 ~ 2s x2 .. s ~ s´´ - 1 .. s + s´´ = 0 2 c 2s 1 2s - 2 2 + x2 c t =0 Wellengleichung Wichtigste Lösungen: Harmonische Wellen s(x,t) = s^ sin(wt - kx) oder s(x,t) = s^ cos(wt - kx) - 1 .. s + s´´ = 0 2 c 2s 1 2s - 2 2 + x2 c t =0 Wellengleichung Wichtigste Lösungen: Harmonische Wellen s(x,t) = s^ sin(wt - kx) oder s(x,t) = s^ cos(wt - kx) s = s^ für x = t = 0 s = 0 für x = t = 0 - 1 .. s + s´´ = 0 2 c 2s 1 2s - 2 2 + x2 c t =0 Wellengleichung Wichtigste Lösungen: Harmonische Wellen s(x,t) = s^ sin(wt - kx) - 1 .. s + s´´ = 0 2 c 2s 1 2s - 2 2 + x2 c t =0 Wellengleichung Wichtigste Lösungen: Harmonische Wellen s(x,t) = s^ sin(wt - kx) 2s x2 = -k2s - 1 .. s + s´´ = 0 2 c 2s 1 2s - 2 2 + x2 c t =0 Wellengleichung Wichtigste Lösungen: Harmonische Wellen s(x,t) = s^ sin(wt - kx) 2s x2 = -k2s - 1 .. s + s´´ = 0 2 c 2 1 2s - 2 2 + -k s = 0 c t Wellengleichung Wichtigste Lösungen: Harmonische Wellen s(x,t) = s^ sin(wt - kx) 2s x2 = -k2s - 1 .. s + s´´ = 0 2 c 2 1 2s - 2 2 + -k s = 0 c t Wellengleichung Wichtigste Lösungen: Harmonische Wellen s(x,t) = s^ sin(wt - kx) 2s x2 = -k2s 2s t2 = -w2s - 1 .. s + s´´ = 0 2 c 2 1 2s - 2 2 + -k s = 0 c t Wellengleichung Wichtigste Lösungen: Harmonische Wellen s(x,t) = s^ sin(wt - kx) 2s x2 = -k2s 2s t2 = -w2s - - 1 .. s + s´´ = 0 2 c 1 (-w2s) -k2s + =0 2 c Wellengleichung Wichtigste Lösungen: Harmonische Wellen s(x,t) = s^ sin(wt - kx) 2s x2 = -k2s 2s t2 = -w2s - - 1 .. s + s´´ = 0 2 c 1 (-w2s) -k2s + =0 2 c k2 = w2/c2 Wellengleichung Wichtigste Lösungen: Harmonische Wellen s(x,t) = s^ sin(wt - kx) 2s x2 = -k2s 2s t2 = -w2s w = 2p/T = 2pf - Kreisfrequenz 1 .. s + s´´ = 0 2 c 2s 1 2s - 2 2 + x2 c t k2 = w2/c2 =0 Wellengleichung Wichtigste Lösungen: Harmonische Wellen s(x,t) = s^ sin(wt - kx) 2s x2 = -k2s 2s t2 = -w2s k2 = w2/c2 w = 2p/T = 2pf Kreisfrequenz k = 2p/l Kreiswellenzahl - 1 .. s + s´´ = 0 2 c 2s 1 2s - 2 2 + x2 c t =0 Wellengleichung Wichtigste Lösungen: Harmonische Wellen s(x,t) = s^ sin(wt - kx) 2s x2 = -k2s 2s t2 = -w2s k2 = w2/c2 w = 2p/T = 2pf Kreisfrequenz k = 2p/l Kreiswellenzahl c = l/T = lf Phasengeschwindigkeit - 1 .. s + s´´ = 0 2 c 2s 1 2s - 2 2 + x2 c t =0 Wellengleichung Wellenart Medium Transversalwelle Saite Phasengeschwindigkeit c Fa/rA Wellenart Medium Phasengeschwindigkeit c Transversalwelle Saite Fa/rA Longitudinalwelle Festkörper E/r Wellenart Medium Phasengeschwindigkeit c Transversalwelle Saite Fa/rA Longitudinalwelle Festkörper E/r Longitudinalwelle Flüssigkeit 1/re Wellenart Medium Phasengeschwindigkeit c Transversalwelle Saite Fa/rA Longitudinalwelle Festkörper E/r Longitudinalwelle Flüssigkeit 1/re Longitudinalwelle Gas kp/r Wellenart Medium Phasengeschwindigkeit c Transversalwelle Saite Fa/rA Longitudinalwelle Festkörper E/r Longitudinalwelle Flüssigkeit 1/re Longitudinalwelle Gas kp/r Transversalwellen können in Flüssigkeiten und Gasen nicht auftreten. Wellenart Medium Phasengeschwindigkeit c Transversalwelle Saite Fa/rA Longitudinalwelle Festkörper E/r Longitudinalwelle Flüssigkeit 1/re Longitudinalwelle Gas kp/r Transversalwellen können in Flüssigkeiten und Gasen nicht auftreten. Flüssigkeiten: Kompressibilität bei konstanter Temperatur e = -1 V V p T = const Wellenart Medium Phasengeschwindigkeit c Transversalwelle Saite Fa/rA Longitudinalwelle Festkörper E/r Longitudinalwelle Flüssigkeit 1/re Longitudinalwelle Gas kp/r Transversalwellen können in Flüssigkeiten und Gasen nicht auftreten. Flüssigkeiten: Kompressibilität bei konstanter Temperatur e = Gase: Adiabatenexponent k = cp/cV -1 V V p T = const Wellenart Medium Phasengeschwindigkeit c Transversalwelle Saite Fa/rA Longitudinalwelle Festkörper E/r Longitudinalwelle Flüssigkeit 1/re Longitudinalwelle Gas kp/r Transversalwellen können in Flüssigkeiten und Gasen nicht auftreten. Flüssigkeiten: Kompressibilität bei konstanter Temperatur e = Gase: Adiabatenexponent k = cp/cV Festkörper: F = Ds -1 V V p T = const Wellenart Medium Phasengeschwindigkeit c Transversalwelle Saite Fa/rA Longitudinalwelle Festkörper E/r Longitudinalwelle Flüssigkeit 1/re Longitudinalwelle Gas kp/r Transversalwellen können in Flüssigkeiten und Gasen nicht auftreten. Flüssigkeiten: Kompressibilität bei konstanter Temperatur e = Gase: Adiabatenexponent k = cp/cV Festkörper: F = Ds, F/A= (Dl/A)s/l -1 V V p T = const Wellenart Medium Phasengeschwindigkeit c Transversalwelle Saite Fa/rA Longitudinalwelle Festkörper E/r Longitudinalwelle Flüssigkeit 1/re Longitudinalwelle Gas kp/r Transversalwellen können in Flüssigkeiten und Gasen nicht auftreten. Flüssigkeiten: Kompressibilität bei konstanter Temperatur e = Gase: Adiabatenexponent k = cp/cV Festkörper: F = Ds, F/A= (Dl/A)s/l s = E d -1 V V p T = const Wellenart Medium Phasengeschwindigkeit c Transversalwelle Saite Fa/rA Longitudinalwelle Festkörper E/r Longitudinalwelle Flüssigkeit 1/re Longitudinalwelle Gas kp/r Transversalwellen können in Flüssigkeiten und Gasen nicht auftreten. Flüssigkeiten: Kompressibilität bei konstanter Temperatur e = -1 V V p Gase: Adiabatenexponent k = cp/cV Festkörper: F = Ds, F/A= (Dl/A)s/l s = E d Elastizitätsmodul E = Dl/A T = const 2 [3 .0 7 ] D u rch e in e n M e ta llsta b d e r Q u e rsch n ittsflä ch e A = 1 cm ve rlä u ft e in e W e lle d e r F re q u e n z f = 2 5 5 0 H z u n d d e r A m p litu d e s ^ = 0 ,1 cm . W ie vie l E n e rg ie e n th ä lt d e r S ta b p ro L ä n g e ? G e g e b e n : c = (E /r) 1 /2 7 2 = 5 1 0 0 m /s, E = 2 . 1 0 N /cm . 2 [3 .0 8 ] a ) E in D ra h t a u s E d e lsta h l b e s itzt d e n Q u e rsc h n itt 1 m m , d ie L ä n g e 1 0 m u n d d ie 3 D ich te 8 0 0 0 kg /m . E r ist m it d e r K ra ft F a = 8 0 N g e sp a n n t. W ie la n g e d a u e rt d ie F o rtp fla n zu n g e in e r A u sle n ku n g b is a n s a n d e re E n d e ? (Q u e rw e lle ) b ) E in m a ssiv e r S ta b a u s d e m se lb e n M a te ria l b e sitzt d e n E la stizitä tsm o d u l E = 2 0 0 0 0 0 2 N /m m . W ie g ro ß ist d ie P h a se n g e sch w in d ig ke it d a rin ? (L ä n g s w e lle )