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Gedämpfte harmonische Schwingungen
Gedämpfte harmonische Schwingungen
FR = -b ds
dt
b = Dämpfungskonstante
Gedämpfte harmonische Schwingungen
=v
FR = -b ds
dt
b = Dämpfungskonstante
Gedämpfte harmonische Schwingungen
=v
FR = -b ds
dt
F = -Ds - b
ds
dt
b = Dämpfungskonstante
Gedämpfte harmonische Schwingungen
=v
FR = -b ds
dt
F = -Ds - b
b = Dämpfungskonstante
ds
dt
D = w = Kreisfrequenz der ungedämpften Schwingung
0
m
Gedämpfte harmonische Schwingungen
=v
FR = -b ds
dt
F = -Ds - b
b = Dämpfungskonstante
ds
dt
D = w = Kreisfrequenz der ungedämpften Schwingung
0
m
b
2m = d = Abklingkonstante
Gedämpfte harmonische Schwingungen
=v
FR = -b ds
dt
F = -Ds - b
b = Dämpfungskonstante
ds
dt
D = w = Kreisfrequenz der ungedämpften Schwingung
0
m
b
2m = d = Abklingkonstante
d2 s
ds
+
2d
+ w02s = 0
2
dt
dt
Gedämpfte harmonische Schwingungen
=v
FR = -b ds
dt
F = -Ds - b
b = Dämpfungskonstante
ds
dt
D = w = Kreisfrequenz der ungedämpften Schwingung
0
m
b
2m = d = Abklingkonstante
d2 s
ds
+
2d
+ w02s = 0
2
dt
dt
 s(t) = e-dt ^s cos(wdt-j0)
Gedämpfte harmonische Schwingungen
=v
FR = -b ds
dt
F = -Ds - b
b = Dämpfungskonstante
ds
dt
D = w = Kreisfrequenz der ungedämpften Schwingung
0
m
b
exponentiell abnehmende Amplitude
2m = d = Abklingkonstante
d2 s
ds
+
2d
+ w02s = 0
2
dt
dt
 s(t) = e-dt ^s cos(wdt-j0)
Gedämpfte harmonische Schwingungen
=v
FR = -b ds
dt
F = -Ds - b
b = Dämpfungskonstante
ds
dt
D = w = Kreisfrequenz der ungedämpften Schwingung
0
m
b
2m = d = Abklingkonstante
d2 s
ds
+
2d
+ w02s = 0
2
dt
dt
 s(t) = e-dt ^s cos(wdt-j0)
mit wd =
w02 - d2
Kreisfrequenz der gedämpften Schwingung
Gedämpfte harmonische Schwingungen
=v
FR = -b ds
dt
F = -Ds - b
b = Dämpfungskonstante
ds
dt
D = w = Kreisfrequenz der ungedämpften Schwingung
0
m
b
2m = d = Abklingkonstante
d2 s
ds
+
2d
+ w02s = 0
2
dt
dt
w02e-dt s^ coswdt
 s(t) = e-dt ^s cos(wdt-j0)
mit wd =
w02 - d2
Gedämpfte harmonische Schwingungen
=v
FR = -b ds
dt
F = -Ds - b
b = Dämpfungskonstante
ds
dt
D = w = Kreisfrequenz der ungedämpften Schwingung
0
m
b
2m = d = Abklingkonstante
d2 s
ds
+
2d
+ w02s = 0
2
dt
dt
 s(t) = e-dt ^s cos(wdt-j0)
w02e-dt s^ coswdt
-2d2e-dt ^s coswdt - 2dwde-dt ^s sinwdt
mit wd =
w02 - d2
Gedämpfte harmonische Schwingungen
=v
FR = -b ds
b = Dämpfungskonstante
dt
F = -Ds - b
ds
dt
D = w = Kreisfrequenz der ungedämpften Schwingung
0
m
b
2m = d = Abklingkonstante
d2 s
ds
+
2d
+ w02s = 0
2
dt
dt
 s(t) = e-dt ^s cos(wdt-j0)
w02e-dt s^ coswdt
-2d2e-dt ^s coswdt - 2dwde-dt ^s sinwdt
d2e-dt ^s cosw t + dw e-dt s^ sinw t +
d
d
d
mit wd =
w02 - d2
Gedämpfte harmonische Schwingungen
=v
FR = -b ds
dt
F = -Ds - b
b = Dämpfungskonstante
ds
dt
D = w = Kreisfrequenz der ungedämpften Schwingung
0
m
b
2m = d = Abklingkonstante
d2 s
ds
+
2d
+ w02s = 0
2
dt
dt
 s(t) = e-dt ^s cos(wdt-j0)
mit wd =
w02 - d2
w02e-dt s^ coswdt
-2d2e-dt ^s coswdt - 2dwde-dt ^s sinwdt
d2e-dt ^s coswdt + dwde-dt s^ sinwdt + dwde-dt ^s sinwdt - wd2e-dt ^s coswdt
Gedämpfte harmonische Schwingungen
=v
FR = -b ds
dt
F = -Ds - b
b = Dämpfungskonstante
ds
dt
D = w = Kreisfrequenz der ungedämpften Schwingung
0
m
b
2m = d = Abklingkonstante
d2 s
ds
+
2d
+ w02s = 0
2
dt
dt
 s(t) = e-dt ^s cos(wdt-j0)
mit wd =
w02 - d2
w02e-dt s^ coswdt
-2d2e-dt ^s coswdt - 2dwde-dt ^s sinwdt
d2e-dt ^s coswdt + dwde-dt s^ sinwdt + dwde-dt ^s sinwdt - wd2e-dt ^s coswdt
Gedämpfte harmonische Schwingungen
=v
FR = -b ds
dt
F = -Ds - b
b = Dämpfungskonstante
ds
dt
D = w = Kreisfrequenz der ungedämpften Schwingung
0
m
b
2m = d = Abklingkonstante
d2 s
ds
+
2d
+ w02s = 0
2
dt
dt
 s(t) = e-dt ^s cos(wdt-j0)
w02e-dt s^ coswdt
-2d2e-dt ^s coswdt
d2e-dt ^s coswdt - wd2e-dt ^s coswdt
mit wd =
w02 - d2
Gedämpfte harmonische Schwingungen
=v
FR = -b ds
b = Dämpfungskonstante
dt
F = -Ds - b
ds
dt
D = w = Kreisfrequenz der ungedämpften Schwingung
0
m
b
2m = d = Abklingkonstante
d2 s
ds
+
2d
+ w02s = 0
2
dt
dt
mit wd =
w02
-2d2
d2
 s(t) = e-dt ^s cos(wdt-j0)
- wd2
w02 - d2
d < w0: schwache Dämpfung
wd reell
s(t) = e-dt ^s cos wdt
mit wd =
w02 - d2
d < w0: schwache Dämpfung
d = w0: aperiodischer Grenzfall
wd reell
wd = 0
s(t) = e-dt ^s cos wdt
mit wd =
w02 - d2
d < w0: schwache Dämpfung
d = w0: aperiodischer Grenzfall
d > w0: starke Dämpfung
wd reell
wd = 0
wd imaginär
s(t) = e-dt ^s cos wdt
mit wd =
w02 - d2
d < w0: schwache Dämpfung
wd reell
wd < w0
s(t) = e-dt ^s cos wdt
mit wd =
w02 - d2
d < w0: schwache Dämpfung
wd reell
wd < w0
Die Schwingungsdauer Td wird größer als im ungedämpften Fall.
s(t) = e-dt ^s cos wdt
mit wd =
w02 - d2
d < w0: schwache Dämpfung
wd reell
wd < w0
Die Schwingungsdauer Td wird größer als im ungedämpften Fall.
s(t) = e-dt ^s cos wdt
mit wd =
w02 - d2
d < w0: schwache Dämpfung
wd reell
wd < w0
Die Schwingungsdauer Td wird größer als im ungedämpften Fall.
s
t
s(t) = e-dt ^s cos wdt
mit wd =
w02 - d2
d < w0: schwache Dämpfung
wd reell
wd < w0
Die Schwingungsdauer Td wird größer als im ungedämpften Fall.
Exponentiell abnehmende Amplitude: Faktor e-dt
s
t
s(t) = e-dt ^s cos wdt
mit wd =
w02 - d2
d < w0: schwache Dämpfung
wd reell
wd < w0
Die Schwingungsdauer Td wird größer als im ungedämpften Fall.
Exponentiell abnehmende Amplitude: Faktor e-dt
Für jeden Zeitpunkt (Td + t ) ist die
momentane Auslenkung s(Td + t )
s
um den Faktor e-dTd kleiner als
eine Periodendauer Td = 2p/wd
zuvor.
t
s(t) = e-dt ^s cos wdt
mit wd =
w02 - d2
d < w0: schwache Dämpfung
wd reell
wd < w0
Die Schwingungsdauer Td wird größer als im ungedämpften Fall.
Exponentiell abnehmende Amplitude: Faktor e-dt
Für jeden Zeitpunkt (Td + t ) ist die
momentane Auslenkung s(Td + t )
s
um den Faktor e-dTd kleiner als
eine Periodendauer Td = 2p/wd
zuvor.
L = dTd: logarithmisches Dekrement
t
s(t) = e-dt ^s cos wdt
mit wd =
w02 - d2
d < w0: schwache Dämpfung
wd reell
wd < w0
Die Schwingungsdauer Td wird größer als im ungedämpften Fall.
Exponentiell abnehmende Amplitude: Faktor e-dt
Für jeden Zeitpunkt (Td + t ) ist die
momentane Auslenkung s(Td + t )
um den Faktor e-dTd kleiner als
eine Periodendauer Td = 2p/wd
zuvor.
s
t
L = dTd: logarithmisches Dekrement
Aus der Messung des logarithmischen Dekrementes L und der Schwingungsdauer Td
lassen sich bei bekannter Masse die Parameter D und b des Systems bestimmen.
d < w0: schwache Dämpfung
wd reell
wd < w0
Die Schwingungsdauer Td wird größer als im ungedämpften Fall.
Exponentiell abnehmende Amplitude: Faktor e-dt
Für jeden Zeitpunkt (Td + t ) ist die
momentane Auslenkung s(Td + t )
um den Faktor e-dTd kleiner als
eine Periodendauer Td = 2p/wd
zuvor.
s
t
L = dTd: logarithmisches Dekrement
Aus der Messung des logarithmischen Dekrementes L und der Schwingungsdauer Td
lassen sich bei bekannter Masse die Parameter D und b des Systems bestimmen.
b = 2md = 2mL/Td
d < w0: schwache Dämpfung
wd reell
wd < w0
Die Schwingungsdauer Td wird größer als im ungedämpften Fall.
Exponentiell abnehmende Amplitude: Faktor e-dt
Für jeden Zeitpunkt (Td + t ) ist die
momentane Auslenkung s(Td + t )
um den Faktor e-dTd kleiner als
eine Periodendauer Td = 2p/wd
zuvor.
s
t
L = dTd: logarithmisches Dekrement
Aus der Messung des logarithmischen Dekrementes L und der Schwingungsdauer Td
lassen sich bei bekannter Masse die Parameter D und b des Systems bestimmen.
b = 2md = 2mL/Td
w0 =
wd2 + d2 =
D/m
d < w0: schwache Dämpfung
wd reell
wd < w0
Die Schwingungsdauer Td wird größer als im ungedämpften Fall.
Exponentiell abnehmende Amplitude: Faktor e-dt
Für jeden Zeitpunkt (Td + t ) ist die
momentane Auslenkung s(Td + t )
s
um den Faktor e-dTd kleiner als
eine Periodendauer Td = 2p/wd
zuvor.
t
L = dTd: logarithmisches Dekrement
Aus der Messung des logarithmischen Dekrementes L und der Schwingungsdauer Td
lassen sich bei bekannter Masse die Parameter D und b des Systems bestimmen.
b = 2md = 2mL/Td
w0 =
wd2 + d2 =
D/m
 D=m
4p2 + L2
Td2
d = w0: aperiodischer Grenzfall
wd = 0
d = w0: aperiodischer Grenzfall
einfachste Lösung
s(t) = e-dt ^s
wd = 0
d = w0: aperiodischer Grenzfall
wd = 0
einfachste Lösung
s(t) = e-dt ^s
Anwendung: Vermeidung von Schwingungen
d = w0: aperiodischer Grenzfall
wd = 0
einfachste Lösung
s(t) = e-dt ^s
Anwendung: Vermeidung von Schwingungen
d > w0: starke Dämpfung (Kriechfall)
wd imaginär
Wie beim aperiodischen Grenzfall fehlt auch bei der starken Dämpfung das
wesentliche Kennzeichen einer Schwingung, nämlich die Reproduktion des
vorhergehenden Zustands.
d = w0: aperiodischer Grenzfall
wd = 0
einfachste Lösung
s(t) = e-dt ^s
Anwendung: Vermeidung von Schwingungen
d > w0: starke Dämpfung (Kriechfall)
wd imaginär
Wie beim aperiodischen Grenzfall fehlt auch bei der starken Dämpfung das
wesentliche Kennzeichen einer Schwingung, nämlich die Reproduktion des
vorhergehenden Zustands.
Wegen der formalen Analogie zur schwach gedämpften Schwingung spricht
man jedoch auch hier von einer (stark) gedämpften Schwingung.
[2.20] Ein gedämpft schwingendes Federpendel mit der Federkonstante
D = 1 N/m erreicht nacheinander die Amplituden
1,000 Skalenteile; 0,368 Skt; 0,135 Skt; ? Skt.
Die Schwingungsdauer Td beträgt 1,00 s.
Wie groß ist die Dämpfungskonstante b?