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Crashkurs Versicherungsmathematik
versicherungsmathematische Grundlagen und Zusammenhänge
• Einführung in die Tarifierung - Mit Beispielen zur Kapitallebens- und
Rentenversicherung
• Gewinnung von Rechnungsgrundlagen – Mit Beispielen zur
Berufsunfähigkeitsversicherung
• Überschussbeteiligungen – Mit Rechenbeispielen zu Zinsüberschüssen
• Beitragskalkulation der Krankenversicherung – Mit Kalkulationsmodell
• Beitragsanpassungen in der Krankenversicherung – Mit
Kalkulationsmodell zur Veränderung der Rechnungsgrundlagen
• Beitragsentwicklung und Maßnahmen zur Limitierung
• Grenzen der Kalkulationsverfahrens der Krankenversicherung
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Crashkurs Versicherungsmathematik
Einführung in die Tarifierung - Mit Beispielen zur Kapitallebensund Rentenversicherung
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Finanzmathematische Grundlagen
Zufall, Wahrscheinlichkeit und Determinismus
Sterbetafeln und Ausscheideordnungen
Prämienkalkulation
Deckungsrückstellung
Anwartschafts- und Kapitaldeckungsverfahren
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Einführung in die Tarifierung – finanzmathematische Grundlagen
P
S
i
r
v
=
=
=
=
=
Barwert oder Anfangswert eines Kapitals
Endwert eines Kapitals
effektiver Zins, der in einem Jahr auf dem Kapital 1 realisiert wird
1 + i Aufzinsungsfaktor
1 / (1+i) Abzinsungs- oder Diskontierungsfaktor
Beispiel: Zins i = 5 % (= 0,05, da 1 % = 1/100), Anfangskapital P = 1000
Aufzinsungsfaktor r = 1 + i = 105 % (= 1,05)
Endkapital nach einem Jahr S = (1 + i) * P = 1,05 * 1000 = 1050
Endkapital nach 2 Jahren: S = (1+i) * (1+i)*P = 1,052 * 1000 =
1,1025 * 1000 = 1102,50
Endkapital nach n Jahren: Sn = (1+i)n P = 1,05n * P; sprich: (1,05 hoch n)
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Einführung in die Tarifierung – finanzmathematische Grundlagen
Zins und Zinseszins
300
250
Betrag
200
Zins
150
Betrag am
Jahresanfang
100
50
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Jahr
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9
10
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Kapital
Verzinsung eines Anfangskapitals
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
6,00%
4,00%
3,50%
2,75%
0
3
6
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24
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Jahre
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Einführung in die Tarifierung – finanzmathematische Grundlagen
Wie hoch ist Ihre Miete, wenn Sie heute als 30Jähriger 777 € monatlich zahlen,
im Alter 80 bei 3 % jährlicher Mietsteigerung?
a)
1.943 €
b)
3.406 €
c)
11.233 €
Wieviel Kapital liegt heute auf dem Postsparbuch von Kolumbus, wenn er 1492
zu 2 % Zins 100 Cent angelegt hat?
a)
1.214 Cent
b)
2.530.976 Cent
c) 124.248.113 Cent
Wie hoch ist der Zinssatz, wenn sich 1000 Euro in 30 Jahren vervierfachen?
a)
10 %
b)
4,73 %
c)
2,91 %
Wenn ein PKV-Beitrag jährlich um 5 % steigt, das Einkommen um 3 %, wie hoch ist
der PKV-Beitrag in Relation zum Einkommen in 60 Jahren, wenn diese Relation heute
7 % beträgt?
a)
13,4 %
b)
22,2 %
c)
79,3 %
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Einführung in die Tarifierung – finanzmathematische Grundlagen
Lösungen:
Wie hoch ist Ihre Miete, wenn Sie heute als 30Jähriger 777 € monatlich zahlen,
50
im Alter 80 bei 3 % jährlicher Mietsteigerung?
b) 1,03 = 4,384;
4,384 * 777 Cent = 3.406 €
Wieviel Kapital liegt heute auf dem Postsparbuch von Kolumbus, wenn er 1492
512
zu 2 % Zins 100 Cent angelegt hat?
b) 1,02
= 25.309,76;
25309,76 * 100 Cent = 2.530.976 Cent
Wie hoch ist der Zinssatz, wenn sich 1000 Euro in 30 Jahren vervierfachen?
30
b)
4,73 %, denn 1,0473 = 4,00
Wenn ein PKV-Beitrag jährlich um 5 % steigt, das Einkommen um 3 %, wie hoch ist
der PKV-Beitrag in Relation zum Einkommen in 60 Jahren, wenn diese Relation
60
60
heute 7 % beträgt?
b) 1,03 = 5,892;
1,05 = 18,679;
(18,679 * 7 %) / (5,892 * 100 %) = 130,753 / 589,2 = 22,2 %
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Einführung in die Tarifierung – finanzmathematische Grundlagen
P
S
i
v
=
=
=
=
Barwert oder Anfangswert eines Kapitals
Endwert eines Kapitals
effektiver Zins, der in einem Jahr auf dem Kapital 1 realisiert wird
1 / (1+i) Abzinsungs- oder Diskontierungsfaktor
Beispiel: Zins i = 3,5 % Endkapital S = 1000
Diskontierungsfaktor v = 1/(1 + i) = 1/1,035 = 0,966184
Barwert P des Endkapitals S in einem Jahr:
P = v * S = 1000/1,035 = 966,18
Barwert P des Endkapital S in 2 Jahren: P = v * v * S = (1/1,035)2 * 1000
= 1/(1,035 2) * 1000 = 1/1,071225 * 1000 = 933,51 (0,966184*0,966184
= 0,933511)
Barwert des Endkapital S in n Jahren: P0 = vn Sn = 1/(1,035n) * Sn
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Einführung in die Tarifierung – finanzmathematische Grundlagen
Kapital
Abzinsung eines Endkapitals
1
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
6,00%
4,00%
3,50%
2,75%
0
3
6
9
12
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Jahre
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Einführung in die Tarifierung – finanzmathematische Grundlagen
Was ist mehr wert: 400 Euro sofort, 1000 Euro in 10 Jahren oder 2000 Euro in 20 Jahren?
Bei einem Zins von 5 %?
Bei einem Zins von 8 %?
Bei einem Zins von 10 %?
Lösung:
Diskontierung auf den Barwert zum gleichen Zeitpunkt. Z.B. heute:
10
1/1,05 * 1000 = 0,614 * 1000 = 614
1/1,05 20 * 2000 = 0,377 * 2000 = 754
10
1/1,08 * 1000 = 0,463 * 1000 = 463
20
1/1,08 * 2000 = 0,215 * 2000 = 430
10
1/1,10 * 1000 = 0,386 * 1000 = 386
20
1/1,10 * 2000 = 0,146 * 2000 = 292
0
1/1,10 * 400 = 1,000 * 400 = 400
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Einführung in die Tarifierung – finanzmathematische Grundlagen
Periodische Zahlungen
Renten, hier: jährlich vorschüssige oder jährlich nachschüssige Renten,
jährlich gleich hohe Zahlungen (Jahresrenten), Zeitrente
Bei unbegrenzter Dauer: „ewige Rente“
Zeitrente (über 10 Jahre)
1,2
Rente
1
0,8
0,6
Rente
0,4
0,2
0
1
2
3
4
5
6
7
Jahr
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8
9
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Periodische Zahlungen
Aufgeschobene Zeitrente
aufgeschobene Zeitrente (über 10 Jahre, 5 Jahre aufgeschoben)
1,2
Rente
1
0,8
0,6
Rente
0,4
0,2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Jahr
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11
12
13
14
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Einführung in die Tarifierung – finanzmathematische Grundlagen
Periodische Zahlungen
Aufgeschobene steigende Zeitrente, mit 10 % dynamisiert
aufgeschobene steigende Zeitrente (über 10 Jahre, 5 Jahre
aufgeschoben), jährlich 10 % steigend
2,5
Rente
2
1,5
Rente
1
0,5
0
1
2
3
4
5
6
7
8
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Einführung in die Tarifierung – finanzmathematische Grundlagen
Beispiel: Was ist mehr wert: 7500 Euro sofort,
1000 Euro sofort beginnende jährlich nachschüssige Rente für 10 Jahre oder
2000 Euro 10 Jahre aufgeschobene jährlich nachschüssige Rente für 8 Jahre? –
Bei einem Zins von 5 %?
Lösung:
Diskontierung auf den Barwert zum heutigen Zeitpunkt:
1000 * (1/1,05 1 + 1/1,05 2 + 1/1,05 3 + .... + 1/1,05 9 + 1/1,05 10) =
1000 * (0,952 + 0,907 + 0,864 + ... + 0,645 + 0,0614 ) = 1000 * 7,722 =
7722
2000 * (1/1,0511 + 1/1,0512 + 1/1,0513 + .... + 1/1,0517 + 1/1,0518) =
2000 * (0,585 + 0,557 + 0,530 + ... + 0,436 + 0,416 ) = 2000 * 3,968 =
7936
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Einführung in die Tarifierung – finanzmathematische Grundlagen
Diskontierung einer Zeitrente auf den Barwert zum Beginn des ersten Jahres
jährlich nachschüssige Renten der Höhe 1000 Euro, Zinssatz 5 %: Barwert Gesamt = 7722
nachschüssige jährliche Zeitrente von 1000 Euro (über 10 Jahre), mit
5% diskontiert
1000
Rente
800
600
Rente diskontiert
400
200
0
0
1
2
3
4
5
6
7
Jahr
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Einführung in die Tarifierung – finanzmathematische Grundlagen
Diskontierung einer Zeitrente auf den Barwert zum Beginn des ersten Jahres
jährlich nachschüssige Renten der Höhe 1000 Euro, Zinssatz 5 %: Barwert Gesamt = 7722
Entspricht dem Barwert einer Einmalzahlung von 12.577 am Ende des 10. Jahres:
10
Barwert: 1/1,05 * 12577 = 0,614 * 12577 = 7722
Die beiden Barwerte bleiben auch dann gleich , wenn auf einen anderen (einheitlichen) Zeitpunkt
diskontiert wird. Es ändert sich dadurch nur die absolute Höhe des Barwerts.
Es ist auch gleichgültig, ob es sich um Renten, Prämien, Kapitalanlagen oder sonstige Zahlungen
handelt.
Beispiel: Diskontierung (bzw. Aufzinsung, Zinssatz 5 %) ) einer jährlich nachschüssigen Prämie
von 1000 Euro über 10 Jahre auf das Ende des 10. Jahres: Barwert = 12.577
(vgl. nachfolgende Grafik)
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Einführung in die Tarifierung – finanzmathematische Grundlagen
Aufzinsung einer Zeitrente auf den Barwert zum Ende des 10. Jahres
14000
12000
Rente
10000
8000
Zins
6000
Rate
4000
Kapital
Jahresbeginn
2000
0
1
2
3
4
5Jahr6
7
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Einführung in die Tarifierung – finanzmathematische Grundlagen
Beispiel: Was ist der Barwert einer jährlich nachschüssigen ewigen Rente
der Höhe 1?
a) diskontiert mit Zinssatz 50 %
b) diskontiert mit Zinssatz 5 %
c) diskontiert mit Zinssatz 1 %
nachschüssige jährliche ew ige Rente von 1 Euro, m it 50 % diskontiert
0,4
Rente diskontiert
0,2
Jahr
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49
46
43
40
37
34
31
28
25
22
19
16
13
10
7
4
0
1
Rente
0,6
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Einführung in die Tarifierung – finanzmathematische Grundlagen
Beispiel: Was ist der Barwert einer jährlich nachschüssigen ewigen Rente der Höhe
1? a) 1,0 b) 20 c) 100 (kein Kapitalverzehr, nur Zins!)
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
Jahr
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43
40
37
34
31
28
25
22
19
16
13
10
7
Rente diskontiert
4
1
Rente
nachschüssige jährliche ewige Rente von 1 Euro, mit 5 %
diskontiert
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Einführung in die Tarifierung – finanzmathematische Grundlagen
Zins und Kapitalverzehr einer Zeitrente jährlich nachschüssige Renten der Höhe 1000 Euro,
Zinssatz 5 %: Kapitalverzehr Gesamt = 7722, Zins Gesamt = 2278
Rente
nachschüssige jährliche Zeitrente (10 Jahre) von 1000
Euro, mit 5 % diskontiert
1200
1000
800
600
400
200
0
Kapitalverzehr
Zins
1
2
3
4
5
6
7
Jahr
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Einführung in die Tarifierung – Zufall, Wahrscheinlichkeit und Determinismus
Beispiele:
Welche Augenzahl ist bei einem Wurf mit einem Würfel
wahrscheinlicher? 1, 2, 3, 4, 5, 6 ? Die Wahrscheinlichkeit bei einem idealen Würfel ist jeweils 1/6stel.
Welche Gesamtaugenzahl ist bei 1000 (oder 10.000) Würfen am
„wahrscheinlichsten“?
Wieviel Würfe werden benötigt, damit die durchschnittliche Augenzahl „fast sicher“
zwischen 3,48 und 3,52 liegt?
Was heißt „fast sicher“?, was bedeutet es, dass der „Erwartungswert“ der
durchschnittlichen Augensumme 3,5 ist?
Welche Schlussfolgerung kann daraus gezogen werden, wenn auch nach sehr vielen
Versuchen mit einem realen Würfel der Durchschnitt sich bei 3,4 einpendelt?
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Einführung in die Tarifierung – Zufall, Wahrscheinlichkeit und Determinismus
Wahrscheinlichkeit für
Augensumme x bis x+0,2
Wahrscheinlichkeit für durchschnittliche
Augensumme - Gesetz der großen Zahl
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
wenig Würfe
viele Würfe
sehr viele Würfe
1
6
1,
2
2,
8
2,
4
3,
4
6
4,
2
5,
Augensumme (Schrittweite 0,2)
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8
5,
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Einführung in die Tarifierung – Zufall, Wahrscheinlichkeit und Determinismus
Praxis der Versicherungsmathematik:
1.
Die Erwartungswerte selbst sind nicht bekannt
2.
Nutzung des „Gesetzes der großen Zahl“: je größer die Zahl der Versuche (der
Versicherten, des „Kollektivs“, der Beobachtungsjahre etc.), desto näher liegen
die Durchschnitte an den eigentlichen Erwartungswerten
3.
Die Beobachtungswerte (z. B. Anzahl Gestorbener in einem Jahr je 1000
Versicherte Männer im Alter 70 am Jahresbeginn) dient als Ausgangswert, um
daraus eine durchschnittliche Zahl („rohe“ Sterbequote 70jährige Männer) zu
ermitteln
4.
Erkannte statistische Schwankungen bzw. Extremwerte werden ausgeglichen,
nach statistischen Grundsätzen eine gewisse Sicherheit hinzugefügt und damit
„rechnungsmäßige“ Berechnungsgrundlagen für die Prämien gewonnen
5.
Dann erfolgt ein Übergang zum „Determinismus“: mit den gewonnenen
Berechnungsgrundlagen wird so gerechnet, als ob diese genauso eintreten
werden, die Zufälligkeit bleibt in den Prämienberechnungen meist unbeachtet.
Beispiel: von 1000 zum Jahresbeginn versicherten 70jährigen Männern werden im
nächsten Jahr 18,683 Promille, also 18,683 Personen sterben und am Jahresende
noch 981,318 vorhanden sein, die im nächsten Jahr 71jährig sind ....
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Einführung in die Tarifierung – Zufall, Wahrscheinlichkeit und Determinismus
Determinismus (von lateinisch: determinare abgrenzen, bestimmen) ist eine
philosophische Denkrichtung, die davon ausgeht, alle Ereignisse liefen nach vorher
festgelegten Gesetzen ab. Deterministen vertreten die Meinung, dass bei bekannten
Naturgesetzen und bekanntem Anfangszustand der weitere Ablauf aller Ereignisse
prinzipiell vorausberechenbar sei. Es gibt verschiedene Varianten des
Determinismus, die mehr oder minder streng die Vorausberechenbarkeit aller
Ereignisse vertreten. Auffassung, derzufolge ein Geschehen gesetzmäßig bestimmt
abläuft. Die stillschweigende Anwendung des Determinismus ist Voraussetzung
jeder Wissenschaft.
Zufall Man spricht von Zufall, wenn ein Ereignis nicht notwendig oder nicht
beabsichtigt auftritt. Umgangssprachlich bezeichnet man ein Ereignis auch als
zufällig, wenn es nicht absehbar, vorhersagbar oder berechenbar ist. Zufälligkeit und
Unberechenbarkeit oder Unvorhersehbarkeit sind jedoch nicht dasselbe.
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Einführung in die Tarifierung – Zufall, Wahrscheinlichkeit und Determinismus
Gegensatz: Kausalität: ein Ereignis wird von einem vorangegangenen bedingt.
Für die Praxis liegt ein Zufall auch vor, wenn – auch aus subjektiver Sicht – keine
ausreichenden Informationen bekannt waren – oder nicht ausgewertet werden
konnten – um das Ereignis vorherzusagen.
Beispiel 1: eine nicht erkennbare Infektion vor Reiseantritt führt während der Reise
zwangsläufig zu einer – unvorhergesehenen - Krankheit, für die die Reisekrankenversicherung leistet.
Beispiel 2: Der Versicherte reicht wie von Beginn an beabsichtigt alle drei Jahre eine
Rechnung für eine neue Brille ein – so wie die Versicherungsbedingungen dies
zulassen. Für den Versicherten ist dies kein Zufall, jedoch aus Sicht des
Versicherers – er kann dies nicht vorhersehen.
Die versicherungsmathematische Prämienberechnung arbeitet mit einer
deterministischen Gesetzmäßigkeit – für Kollektive, nicht für Einzelne.
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Einführung in die Tarifierung – Zufall, Wahrscheinlichkeit und Determinismus
Worin liegt der Unterschied zwischen einem deutschen und einem sizilianischen
Versicherungsmathematiker:
Der deutsche Versicherungsmathematiker weiß, wieviele Versicherte jeden Alters im
nächsten Jahr sterben werden, aber nicht, welche dies zufällig sind. Der sizilianische
Versicherungsmathematiker kennt auch die Namen, die voraussichtlichen Todesursachen und –termine.
Problematisch ist, wenn der Versicherte selbst den Eintritt eines Schadenereignisses
bei Abschluss der Versicherung vorhersehen kann. Wenn Zeitpunkt des Schadeneintritts und die Schadenhöhe exakt vorhersehbar sind, ist die Prämie zwar
besonders gut berechenbar – determiniert - aber die Versicherung macht kaum mehr
Sinn. Die Prämien wären nämlich etwa so hoch wie der Schaden, es liegt also nur ein
„Geldwechselgeschäft“ oder ein „Sparvorgang“ vor.
Manche Versicherungsprodukte haben jedoch solche Elemente.
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Einführung in die Tarifierung – Sterbetafeln und Ausscheideordnungen
Sterbetafeln
x
lx
dx
qx
=
=
=
=
Alter einer Person in Jahren
Lebende x-Jährige zu Beginn des Jahres
rechnungsmäßig Sterbende eines Jahres zwischen Alter x und x+1
dx / lx Wahrscheinlichkeit eines x-Jährigen, zwischen Alter x und x+1 zu
sterben, Sterbewahrscheinlichkeit (in Promille) - Mortalität
Eine Sterbetafel ist eine Tabelle mit einer Sterbewahrscheinlichkeit qx zu jedem
Alter x
Beispiel: PKV-Sterbetafel 2004, Männer: Absterbeordnung lx
l70
l71
l71
= 887.859, q70 = 12,711 0/00 = 0,012711, d70 = 11.286
= l70 – d70 = 887.859 – 11.286 = 876.573 oder alternativ:
= (1 – qx) * l70 = 0,987289 * 887.859 = 876.573
1 – qx ist die Überlebenswahrscheinlichkeit
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Einführung in die Tarifierung – Sterbetafeln und Ausscheideordnungen
PKV-Sterbetafel 2004 Männer
x
qx
x
20
0,000410
21
0,000425
22
0,000426
23
0,000415
24
0,000398
25
0,000380
26
0,000364
27
0,000352
28
0,000347
29
0,000348
30
0,000355
31
0,000365
32
0,000378
33
0,000393
34
0,000411
35
0,000432
36
0,000459
37
0,000492
38
0,000532
39
0,000583
40
0,000644
41
0,000717
42
0,000801
qx
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
x
0,000894
0,000995
0,001101
0,001211
0,001324
0,001446
0,001581
0,001736
0,001915
0,002122
0,002353
0,002601
0,002860
0,003121
0,003380
0,003641
0,003917
0,004234
0,004616
0,005089
0,005670
0,006367
0,007180
qx
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
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81
82
83
84
85
86
87
88
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x
0,008098
0,009110
0,010211
0,011406
0,012711
0,014156
0,015780
0,017688
0,020141
0,022982
0,026253
0,029990
0,034228
0,039011
0,044385
0,050408
0,057153
0,064700
0,073139
0,082550
0,093055
0,104793
0,117919
qx
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
0,132619
0,149026
0,167269
0,187403
0,205532
0,222571
0,234870
0,243250
0,251290
0,258960
0,266210
0,273020
0,279340
0,285140
0,285140
Crashkurs Versicherungsmathematik
Einführung in die Tarifierung – Sterbetafeln und Ausscheideordnungen
PKV-Sterbetafel 2004 Männer
Sterbewahrscheinlichkeit
0,300000
0,250000
0,200000
0,150000
PKV-Sterbetafel 2004
0,100000
0,050000
0,000000
20
30
40
50
60
70
80
90 100
Alter
Peter Schramm, Aktuar DAV
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Crashkurs Versicherungsmathematik
Einführung in die Tarifierung – Sterbetafeln und Ausscheideordnungen
PKV-Sterbetafel 2004 Männer vs. 94R/94T
Sterbewahrscheinlichkeit
0,600000
0,500000
0,400000
PKV-Sterbetafel 2004
94T
94R
0,300000
0,200000
0,100000
0,000000
20 30 40 50 60 70 80 90 100
Alter
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Crashkurs Versicherungsmathematik
Einführung in die Tarifierung – Sterbetafeln und Ausscheideordnungen
0,060000
0,040000
PKV-Sterbetafel 2004
94T
94R
0,020000
90
10
0
80
70
60
50
40
30
0,000000
20
Sterbewahrscheinlichkeit
PKV-Sterbetafel 2004 Männer vs. 94R/94T
Alter
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Crashkurs Versicherungsmathematik
Einführung in die Tarifierung – Sterbetafeln und Ausscheideordnungen
Sterbetafeln:
- Bevölkerungssterbetafeln (z. B. vom Statistischen Bundesamt veröffentlicht)
- Versichertensterbetafeln (z. B. von der Deutschen Aktuarvereinigung veröffentlicht)
Für die Kalkulation von Versicherungsprämien in der Lebens- und Krankenversicherung sind
die besonderen Verhältnisse in Versichertenkollektiven relevant, die vom Geschlecht, der
Tarifart, Bestandszusammensetzung, Risikoprüfung oder z. B. einer eingetretenen
Invalidisierung (Invalidensterbetafeln) u. a. beeinflusst werden.
Bei Versicherungen mit Todesfallcharakter (z. B. Risikolebensversicherung) wird
sicherheitshalber mit erhöhten Sterblichkeiten (94T) gerechnet, bei Versicherungen mit
Erlebensfallcharakter (Rentenversicherung und PKV) mit vorsichtshalber niedrigeren
Sterbewahrscheinlichkeiten.
Periodentafeln – wie PKV-Sterbetafel 2004 oder 94T – gehen in allen Altern von den
Sterbewahrscheinlichkeiten des aktuellen Zeitraums – Periode – aus.
Generationentafeln – wie 94R – basieren auf den hochgerechneten Sterblichkeiten einer
Generation – z. B. Geburtsjahrgang 1955 – mit Anpassung für andere Generationen.
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Crashkurs Versicherungsmathematik
Einführung in die Tarifierung – Sterbetafeln und Ausscheideordnungen
Entwicklung der Sterblichkeit
Der langfristige Sterblichkeitstrend geht – teilweise sogar beschleunigt – zu niedrigeren
Sterblichkeiten und damit verbundener längerer Lebenserwartung.
In der Todesfall- und Kapitallebensversicherung führt dies zu Entlastungen, weil weniger
Todesfalleistungen erbracht werden müssen.
In der privaten Rentenversicherung wird der Sterblichkeitstrend bereits eingerechnet – durch
Verwendung von Generationentafeln. Diese müssen jedoch auch angepasst werden, wenn der
tatsächliche Trend den zunächst in den Tafeln berücksichtigten übertrifft – zuletzt von
Sterbetafel 87R auf 94R und derzeit auf 2004R.
In der privaten Krankenversicherung müssen die verwendeten Periodentafeln regelmäßig an
den Trend angepasst werden, da die im Alter steigenden Leistungen für immer längere Zeit
erbracht werden müssen. Durch die Möglichkeit der Beitragsanpassung muss nicht von
vornherein so vorsichtig wie in der Rentenversicherung gerechnet werden.
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Crashkurs Versicherungsmathematik
Einführung in die Tarifierung – Sterbetafeln und Ausscheideordnungen
Sterbewahrscheinlichkeiten Männer (PKV)
0,300000
Sterbewahrscheinlichkeit
0,250000
0,200000
ST 87R
St 2000
St 2001
St 2004
0,150000
0,100000
0,050000
0,000000
20
30
40
50
60
70
Alter
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80
90
100
Crashkurs Versicherungsmathematik
Einführung in die Tarifierung – Sterbetafeln und Ausscheideordnungen
Sterbewahrscheinlichkeiten Männer (PKV)
0,007000
Sterbewahrscheinlichkeit
0,006000
0,005000
0,004000
St 87R
St 2000
St 2001
0,003000
St 2004
0,002000
0,001000
0,000000
20
25
30
35
40
Alter
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45
50
Crashkurs Versicherungsmathematik
Einführung in die Tarifierung – Sterbetafeln und Ausscheideordnungen
Beispiel Absterbeordnung lx M PKV-Sterbetafel 2001/2004
1000000,00
900000,00
800000,00
Lebende
700000,00
600000,00
500000,00
St 2001 M
St 2004 M
400000,00
300000,00
200000,00
100000,00
0,00
20
30
40
50
60
70
Alter
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80
90
100
Crashkurs Versicherungsmathematik
Einführung in die Tarifierung – Sterbetafeln und Ausscheideordnungen
Lebenserwartung
Die durchschnittliche fernere Lebenserwartung eines x-Jährigen ist die durchschnittliche
Anzahl von Jahren, die ein x-Jähriger noch lebt – hier aus der Absterbeordnung berechnet:
ex

= (lx + lx+1 + l x+2 + ... + l) / lx - 0,5
bezeichnet das Endalter (z. B. 100 oder 103)
Abzug von ½ Jahr, da Todeszeitpunkt durchschnittlich zur Jahresmitte
Beispiel e90 =
(l90 + l91 + l92 + ... + l100) / l90 - 0,5
Dafür eine einfache mathematische Formel:

ex = (  li / lx ) - 0,5
 : mathematisches Summenzeichen
i=x
-
vgl. in Excel z. B. : = Summe(L90 : L100)
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Crashkurs Versicherungsmathematik
Einführung in die Tarifierung – Sterbetafeln und Ausscheideordnungen
Fernere Lebenserwartung Männer PKVSterbetafel 87R - 2004
Fernere Lebenserwartung
70,0
60,0
50,0
St 87 R M
St 2000 M
St 2001 M
St 2004 M
40,0
30,0
20,0
10,0
0,0
20
30
40
50
60
Alter
70
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80
90
100
Crashkurs Versicherungsmathematik
Einführung in die Tarifierung – Sterbetafeln und Ausscheideordnungen
Ausscheideordnungen
Die Absterbeordnung der Lebenden lx ist eine Ausscheideordnung mit dem
einzigen Grund Tod.
Andere Ausscheidegründe sind z. B.:
- Storno (in der PKV)
- Invalidisierung bzw. Reaktivierung (in der Berufsunfähigkeits- und
Erwerbsunfähigkeitsversicherung)
- Wiederverheiratung (in der Witwenrentenversicherung)
- Eintritt der Pflegebedürftigkeit (in der Pflegerentenversicherung)
Beispiel Storno in der PKV: Das sind alle vorzeitigen Abgänge bis auf den Grund
Tod (Stornowahrscheinlichkeit):
wx = Wahrscheinlichkeit, zwischen Alter x und x+1 zu stornieren.
Die Ausscheidewahrscheinlichkeit insgesamt ist damit:
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q x + wx
Crashkurs Versicherungsmathematik
Einführung in die Tarifierung – Sterbetafeln und Ausscheideordnungen
Stornowahrscheinlichkeit
Stornowahrscheinlichkeiten Wahrscheinlichkeitstafeln der BaFin 2001
Männer - Normalversicherte
0,150
0,140
0,130
0,120
0,110
0,100
0,090
0,080
0,070
0,060
0,050
0,040
0,030
0,020
0,010
0,000
Storno (BaFin 2001)
20 30 40 50 60 70 80 90 100
Alter
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Crashkurs Versicherungsmathematik
Einführung in die Tarifierung – Sterbetafeln und Ausscheideordnungen
Storno und Sterblichkeit M PKV-Stt 2004
Storno- bzw.
Sterbewahrscheinlichkeit
0,300
0,250
0,200
St 2004 M
Storno (BaFin 2001)
Gesamt
0,150
0,100
0,050
0,000
20 30 40 50 60 70 80 90 100
Alter
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Crashkurs Versicherungsmathematik
Einführung in die Tarifierung – Sterbetafeln und Ausscheideordnungen
1000000
900000
800000
700000
600000
500000
400000
300000
200000
100000
0
Lebende
ohne Storno
Alter
80
90
10
0
60
70
Lebende
ungekündigt
40
50
20
30
Lebende bzw.
ungekündigte
Ausscheideordnung mit und ohne Storno - Lebende und nicht
stornierte Männer PKV-Stt 2004, Storno BaFin 2001
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Crashkurs Versicherungsmathematik
Einführung in die Tarifierung – Prämienkalkulation
Prämienkalkulation
-
Äquivalenzprinzip
Prospektive Kalkulation
Barwerte von Prämien und Leistungen
Kostendeckung und Zillmerung
Die Kalkulation der Neuzugangsprämien erfolgt zunächst Netto – also ohne Einrechnung
von Kosten für Abschluss, Verwaltung oder Schadenregulierung.
Das versicherungsmathematische Äquivalenzprinzip besagt, zu Versicherungsbeginn eines
Versicherten ist:
Barwert aller künftigen Versicherungsleistungen = Barwert aller künftigen
(Netto-)Prämien
Die Diskontierung erfolgt mit einem Rechnungszins, d. h. einem Zins, von dem man
annimmt, dass er voraussichtlich sicher aus den Kapitalanlagen zu erwirtschaften ist.
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Crashkurs Versicherungsmathematik
Einführung in die Tarifierung – Prämienkalkulation - Deckungsrückstellung
Prämien und Versicherungsleistungen entsprechen sich nicht Jahr für Jahr im weiteren
Versicherungsverlauf. So werden in der Lebensversicherung die Prämien als konstant
kalkuliert, während die Sterbewahrscheinlichkeit mit dem Alter zunimmt. Das
versicherungsmathematische Äquivalenzprinzip besagt dann:
Barwert aller künftigen Versicherungsleistungen
=
Barwert aller künftigen (Netto-)Prämien +
Deckungsrückstellung (bzw. Alterungsrückstellung)
Anders ausgedrückt ist die Deckungsrückstellung die Differenz:
Barwert aller künftigen Versicherungsleistungen Barwert aller künftigen (Netto-)Prämien
Zum Versicherungsbeginn ist noch keine Deckungsrückstellung vorhanden, daher sind die
beiden Barwerte für die Ermittlung der Neuzugangsprämien zum Eintrittsalter gleich.
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Crashkurs Versicherungsmathematik
Einführung in die Tarifierung – Prämienkalkulation - Deckungsrückstellung
Zu Versicherungsbeginn sind die laufenden Prämien in der Regel höher als die Leistungen.
Die Deckungsrückstellung wird vereinfacht ausgedrückt aus den Beitragsteilen aufgebaut und
mit dem Rechnungszins verzinst, die zunächst noch nicht für Leistungen benötigt
werden.
Man könnte daher Jahr für Jahr die (kalkulierten) Leistungen von den Nettoprämien abziehen
und den Betrag jeweils unter Verzinsung mit dem Rechnungszins aufaddieren und
weiterrechnen. Dies wäre eine sogenannte Retrospektive Kalkulation, weil sie auf dem
Vertragsverlauf in der Vergangenheit aufsetzt. In Ausnahmefällen kann dies zur Anwendung
kommen.
In aller Regel werden Deckungsrückstellungen jedoch aus den Annahmen für den zukünftigen
Vertragsverlauf berechnet – wie dies auch in den Barwertdifferenzen zum Ausdruck kommt:
dies bezeichnet man als Prospektive Kalkulation.
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Crashkurs Versicherungsmathematik
Einführung in die Tarifierung – Prämienkalkulation
Beispiel:
Sofort beginnende Leibrente ab Alter x – lebenslänglich jährlich vorschüssig, Höhe 1
Mit der Sterbetafel 94R (qx) für die Rentenversicherung ergibt sich die entsprechende
Absterbeordnung lx
Zu Beginn sind lx Versicherte vorhanden. Im nächsten Jahr vermindert sich diese Zahl durch
Todesfälle auf
lx+1 = (1 – qx) * lx
Die Renten werden auf den Rentenbeginn diskontiert. Der jeweilige Barwert einer Zeitrente
n
beträgt also v für die im Alter x+n gezahlte Rente.Der Barwert der Leibrente – je zu Beginn
n
vorhandenem Renner - berücksichtigt, dass sie nur im Erlebensfall gezahlt wird: lx+n * v / lx
Barwert der lebenslänglichen Leibrenten je x-jährigen Rentner (Ax für „Leistungsbarwert“):
Ax = (lx * v0 + lx+1 * v1 + ... + l102 * v102-x ) / lx
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(mit „Endalter“ 102)
Crashkurs Versicherungsmathematik
Einführung in die Tarifierung – Prämienkalkulation
1000000
900000
800000
700000
600000
500000
400000
300000
200000
100000
0
Lebende
0
10
Alter
95
90
85
80
75
Lebende diskontiert
70
65
gezahlte Renten
Leibrente ab Alter 65 - Männer Sterbetafel 94R,
Rechnungszins 2,75 %
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Crashkurs Versicherungsmathematik
Einführung in die Tarifierung – Prämienkalkulation
Noch Beispiel:
Sofort beginnende Leibrente ab Alter x = 65 – lebenslänglich jährlich vorschüssig, Höhe 1
Die obere Line stellt die Absterbeordnung mit der Sterbetafel 94R dar: Lebende lx+i
Die untere Linie ist das Produkt lx+i
jedes Alter.
* vi aus Lebenden und diskontierter Rentenhöhe für
Die Summe der Werte der unteren Linie (13.103.262) ist noch durch l65 (887.626) zu
dividieren:
Ax = (lx * v0 + lx+1 * v1 + ... + l102 * v102-x ) / lx
= 13103262 / 887626 = 14,762
Dieser Leistungsbarwert – bzw. „Rentenbarwert“ bedeutet, dass ein Versicherter im Alter
65 bei einem Rechnungszins von 2,75 % für einen Einmalbeitrag (netto ohne Kosten) von
14.762 Euro eine lebenslange Rente von jährlich im Voraus 1000 Euro versichern kann.
Einmalbeitrag (an den Versicherer) und laufende Rente an den Versicherten sind gleich viel
wert – d. h. haben bei einem Rechnungszins von 2,75 % den gleichen Barwert.
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Crashkurs Versicherungsmathematik
Einführung in die Tarifierung – Prämienkalkulation
Eine mathematische Vereinfachung:
0
1
102-x
Die Formel
Ax = (lx * v + lx+1 * v + ... + l102 * v
) / lx
x
wird im Nenner und Zähler mit v multipliziert, wodurch sich das Ergebnis nicht
ändert – auch die Multiplikationszeichen werden einfach weggelassen:
Ax = (lx vx + lx+1 vx+1 + ... + l102 * v102 ) / ( lx vx )
Das hat den Vorteil, dass jeder Wert lx nur mit einem Diskontierungsfaktor multipliziert
werden muss: es reicht also für die Berechnungen eine altersabhängige Tabelle der
sogenannten Diskontierten Lebenden:
D x = lx v x
Damit vereinfacht sich die Formel für den Rentenbarwert zu:
-x
Ax = ( 
Dx+i ) / Dx
i=0
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Crashkurs Versicherungsmathematik
Einführung in die Tarifierung – Prämienkalkulation
Barwert einer n = 30 Jahre aufgeschobenen jährlich vorschüssigen Rente 1 für einen 35Jährigen (ohne Beitragsrückgewähr u. ä.):
Der Barwert im Alter 65 war:
102-65
A65 = ( 
D65+i ) / D65 = 2.246.779 / 152.199 = 14,762
i=0
Im Alter 65 sind noch l65 = 887.626 Lebende vorhanden, im Alter 35 waren es noch l35 =
991.713. Zusätzlich ist noch weitere 30 Jahre – über die Aufschubzeit – zu diskontieren, also
30
mit v = 0,443144. Der Barwert der aufgeschobenen Rente im Alter 35 ist also:
102-65
A35(30J aufg.) = A35,30 = (v l65 / l35) ( 
30
D65+i ) / D65
i=0
= (0,443144 * 887626 / 991713 ) * 14,762 = 5,855
102-65
=
D65 / D35 * ( 
102-65
D65+i ) / D65 = (  D65+i ) / D35
i=0
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i=0
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Einführung in die Tarifierung – Prämienkalkulation
Diskontierte Lebende Männer Sterbetafel 94R
x
Dx
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
x
581251
565538
550215
535254
520676
506490
492688
479258
466188
453464
441071
429001
417244
405785
394612
383727
373128
362815
352781
343016
333505
324235
315191
306357
297725
289282
Dx
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
x
281015
272924
265009
257270
249701
242301
235067
227991
221054
214242
207544
200953
194466
188088
181826
175686
169666
163757
157941
152199
146507
140846
135212
129607
124035
Dx
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
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x
118491
112967
107447
101914
96349
90747
85119
79479
73838
68213
62621
57088
51649
46347
41231
36354
31763
27500
23595
20067
16923
14156
11752
9684
7921
Dx
96
97
98
99
100
101
102
6430
5178
4137
3279
2577
2008
1548
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Einführung in die Tarifierung – Prämienkalkulation
Oder vereinfacht:
102-65
=
D65 / D35 * ( 
102-65
D65+i ) / D65 = (  D65+i ) / D35
i=0
i=0
= 2246779 / 383727 = 5,855
Wie hoch ist der Barwert einer jährlich vorschüssigen Leibrente ab Alter 35 bis Alter 64?
Offenbar die Differenz zwischen dem Barwert einer lebenslangen vorschüssigen Rente ab
Alter 35 und dem Barwert einer 30 Jahre aufgeschobenen Rente im Alter 35:
30a35
=
102-35
102-65
i=0
i=0
(  D35+i ) / D35 - (  D65+i ) / D35
64-35
=
(  D35+i ) / D35 =
7788267 / 383727 = 20,296
i=0
Das ist auch gleichzeitig der Barwert 30a35 von 30 jährlichen Prämien 1 ab Alter 35 bis 64
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Crashkurs Versicherungsmathematik
Einführung in die Tarifierung – Prämienkalkulation
Wie hoch ist der Einmalbeitrag eines 35-jährigen für eine 30 Jahre aufgeschobene
jährliche vorschüssige Rente 12.000 (also ab Alter 65) – netto :
12000 * A35,30
= 12000 * 5,855 = 70.260
Wie hoch ist die jährliche Prämie P für diese Rente, wenn diese von Alter 35 an jährlich
vorschüssig 30 Jahre lang gezahlt wird?
Barwert der Prämien = Barwert der Leistungen, also:
P * 30a35 = 12000 * A35,30
P * 20,296 = 12000 * 5,855
P = 70.260 / 20,296 = 3.462
Die (Netto-)Prämie für die Rente 1 beträgt:
P = A35,30 / 30a35 =
0,288
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Einführung in die Tarifierung – Prämienkalkulation
1,2
1
0,8
0,6
Netto-Prämie
0,4
Leibrente
0,2
Alter
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90
95
10
0
75
80
85
60
65
70
50
55
0
35
40
45
Prämie bzw. gezahlte
Renten
Prämie / aufgeschobene Leibrente Männer
Sterbetafel 94R, Rechnungszins 2,75 %
Crashkurs Versicherungsmathematik
Einführung in die Tarifierung – Prämienkalkulation
1,2
1
0,8
Netto-Prämie * lx/l35
0,6
Leibrente * lx/l35
0,4
0,2
0
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90
95
10
0
Prämie bzw. gezahlte
Renten
Prämie / aufgeschobene Leibrente Männer
Sterbetafel 94R, Rechnungszins 2,75 %
Alter
Peter Schramm, Aktuar DAV
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Einführung in die Tarifierung – Prämienkalkulation
Prämie / aufgeschobene Leibrente Männer
Sterbetafel 94R, Rechnungszins 2,75 %
0,8
0,6
Netto-Prämie * Dx/D35
0,4
Leibrente *Dx/D35
0,2
0
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90
95
10
0
Prämie bzw.
gezahlte Renten
1
Alter
Peter Schramm, Aktuar DAV
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Crashkurs Versicherungsmathematik
Einführung in die Tarifierung – Prämienkalkulation
Wie hoch ist der Einmalbeitrag eines 35-jährigen für eine Todesfallversicherung
(Leistung 1) mit Laufzeit 30 Jahre? – netto :
Vorsichtshalber wird angenommen, dass die Versicherten jeweils zum Jahrebeginn
sterben – die Sterbewahrscheinlichkeit ist qx – aus der Sterbetafel 94T.
Mit der entsprechenden Absterbeordnung lx ergibt sich also in jedem Alter die Zahl der Toten:
dx = qx * lx und diskontiert: Cx = dx * vx = qx * Dx
Die diskontierten Todesfalleistungen in der Vertragslaufzeit sind nun noch aufzusummieren
und durch die Zahl der (diskontierten) Lebenden im Alter 35 zu dividieren:
29
30A35
= (  C35+i ) / D35 = (C35 + C36 + ... + C64) / D35 =
i=0
52445 / 378359 = 0,1386
(100000 € Todesfallschutz kosten einmalig 13.860 €)
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Crashkurs Versicherungsmathematik
Einführung in die Tarifierung – Prämienkalkulation
Sterbetafel 94T Männer, diskontierte Lebende und Tote, Rechnungszins 2,75%
x
qx
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
lx
0,001476
0,001476
0,001476
0,001476
0,001476
0,001476
0,001476
0,001476
0,001476
0,001476
0,001476
0,001476
0,001489
0,001551
0,001641
0,001747
0,001869
0,002007
0,002167
0,002354
0,002569
0,002823
0,003087
0,003387
0,003726
0,004100
Dx
1000000
998524
997050
995579
994109
992642
991177
989714
988253
986794
985338
983883
982431
980968
979447
977839
976131
974307
972351
970244
967960
965474
962748
959776
956525
952961
Cx
581251
564859
548930
533450
518406
503787
489580
475773
462356
449318
436647
424333
412367
400732
389402
378359
367589
357082
346828
336814
327028
317457
308089
298917
289932
281121
858
834
810
787
765
744
723
702
682
663
644
626
614
622
639
661
687
717
752
793
840
896
951
1012
1080
1153
Summe Dx Summe Cx
16065335
155438
15484085
154580
14919226
153747
14370296
152936
13836847
152149
13318440
151384
12814654
150640
12325074
149918
11849301
149215
11386944
148533
10937627
147870
10500980
147225
10076647
146599
9664280
145985
9263548
145363
8874145
144724
8495787
144063
8128198
143376
7771116
142660
7424288
141908
7087475
141115
6760447
140275
6442990
139379
6134901
138428
5835984
137415
5546052
136335
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Einführung in die Tarifierung – Prämienkalkulation
Sterbetafel 94T Männer, diskontierte Lebende und Tote
x
qx
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
lx
0,004522
0,004983
0,005508
0,006094
0,006751
0,007485
0,008302
0,009215
0,010195
0,011236
0,012340
0,013519
0,014784
0,016150
0,017625
0,019223
0,020956
0,022833
0,024858
0,027073
0,029552
0,032350
0,035632
0,039224
0,043127
Dx
949054
944763
940055
934877
929180
922907
915999
908394
900024
890848
880838
869969
858208
845520
831865
817203
801494
784698
766781
747720
727477
705979
683140
658799
632958
Cx
272475
263983
255638
247426
239336
231358
223481
215694
207986
200356
192803
185327
177929
170607
163359
156185
149083
142052
135093
128209
121400
114659
107981
101346
94765
1232
1315
1408
1508
1616
1732
1855
1988
2120
2251
2379
2505
2630
2755
2879
3002
3124
3243
3358
3471
3588
3709
3848
3975
4087
Summe Dx Summe Cx
5264931
135183
4992456
133950
4728473
132635
4472835
131227
4225409
129719
3986073
128103
3754715
126372
3531234
124516
3315541
122529
3107554
120408
2907198
118157
2714395
115778
2529068
113272
2351139
110642
2180532
107887
2017173
105007
1860989
102005
1711906
98881
1569854
95637
1434761
92279
1306551
88808
1185151
85221
1070492
81511
962512
77664
861166
73689
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Einführung in die Tarifierung – Prämienkalkulation
Sterbetafel 94T Männer, diskontierte Lebende und Tote
x
qx
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
lx
0,047400
0,052110
0,057472
0,063440
0,070039
0,077248
0,085073
0,093534
0,102662
0,112477
0,122995
0,134231
0,146212
0,158964
0,172512
0,186896
0,202185
0,218413
0,235597
0,253691
0,272891
0,293142
0,314638
0,337739
0,362060
Dx
605660
576952
546887
515456
482756
448944
414264
379021
343570
308298
273622
239968
207757
177380
149183
123447
100375
80081
62590
47844
35707
25963
18352
12578
8330
Cx
88251
81818
75479
69237
63109
57118
51295
45675
40295
35190
30396
25944
21861
18165
14868
11974
9476
7357
5597
4164
3024
2140
1472
982
633
4183
4264
4338
4392
4420
4412
4364
4272
4137
3958
3739
3483
3196
2888
2565
2238
1916
1607
1319
1056
825
627
463
332
229
Summe Dx Summe Cx
766401
69602
678150
65419
596332
61155
520854
56817
451617
52425
388508
48005
331390
43593
280095
39229
234420
34957
194125
30820
158934
26862
128538
23123
102593
19641
80733
16444
62568
13557
47699
10992
35725
8754
26250
6838
18892
5231
13296
3912
9132
2856
6108
2031
3968
1404
2496
940
1514
609
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Crashkurs Versicherungsmathematik
Einführung in die Tarifierung – Prämienkalkulation
Sterbetafel 94T Männer, diskontierte Lebende und Tote
x
qx
96
97
98
99
100
101
lx
0,388732
0,419166
0,452008
0,486400
0,527137
1,000000
Dx
5314
3248
1887
1034
531
251
Cx
393
234
132
70
35
16
153
98
60
34
19
16
Summe Dx Summe Cx
881
380
488
227
254
129
122
69
51
35
16
16
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Crashkurs Versicherungsmathematik
Einführung in die Tarifierung – Prämienkalkulation
Wie hoch ist der Jahresbeitrag eines 35-jährigen für die Todesfallversicherung
(Leistung 1) mit Laufzeit 30 Jahre? – netto :
Der Barwert der Leistungen (Leistungsbarwert) und damit der Einmalbeitrag war
29
= (  C35+i ) / D35 = 0,1386
30A35
i=0
Der Barwert (Rentenbarwert) der 30 vorschüssigen Jahresprämien (Höhe 1) beträgt
29
30a35
=
(  D35+i ) / D35
= 7.439.384 / 378.359 = 19,662
i=0
P
=
30A35 / 30a35 = 0,1386 / 19,662 = 0,00705
(d. h.: 100000 € Todesfallschutz kosten jährlich – netto – 705 €)
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Crashkurs Versicherungsmathematik
Einführung in die Tarifierung – Deckungsrückstellung
Wie hoch ist bei dem vorangegangenen Beispiel die Deckungsrückstellung der
Todesfallversicherung gegen laufenden Beitrag (Leistung 1) nach m = 10 Jahren:
Die Deckungsrückstellung Vx,m ist allgemein die Differenz
Barwert der künftigen Leistungen – Barwert der künftigen Prämien
Nach 10 Jahren hat der Kunde das Alter 45 und die Versicherung läuft noch 20 Jahre:
V35,10 =
20A45
- (20a45 * P)
= 0,1567 – (14,625 * 0,00705) =
0,1567 – 0,1031 = 0,0536
Die Deckungsrückstellung für z. B. 100.000 € Todesfalleistung beträgt also nach 10
Jahren (bei Netto-Jahresprämie 705 €) 5.360 €.
Die folgende Grafik zeigt den Verlauf der Deckungsrückstellung während des
Vertrages:
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Crashkurs Versicherungsmathematik
Einführung in die Tarifierung – Deckungsrückstellung
Deckungsrückstellung, Prämie und Sterbewahrscheinlichkeit, Männer Sterbetafel 94T, Zins 2,75 %
Prämie und
Deckungsrückstellun
g
0,1
Deckungsrück
stellung
0,08
0,06
Sterbewahrsc
heinlichkeit =
1jährige
Risikoprämie
Netto-Prämie
0,04
0,02
0
35
40
45
50
Alter
55
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Crashkurs Versicherungsmathematik
Einführung in die Tarifierung – Prämienkalkulation
Wie berechnet sich die Prämie eines 35-jährigen für eine (gemischte) Kapitallebensversicherung mit Ablaufleistung = Todesfalleistung Höhe 1, Laufzeit 30 Jahre? – netto :
Die Prämie für die Todesfalleistung wurde schon berechnet, fehlt also noch die
Ablaufleistung. Diese wird nur an die überlebenden (l65) ausgezahlt:
A35,30 = (l65 / l35) * v30 = D65 / D35 = 128209 / 378359 = 0,33886
Dies wäre der Einmalbetrag (ohne Todesfalleistung). Die Jahresprämie ist dann:
P = A35,30 / 30a35 =
0,33886 / 19,662 = 0,01723
Dazu kommt die Jahresprämie für die reine Todesfalleistung (0,00705), ergibt
zusammen 0,02428. Eine gemischte Kapitallebensversicherung auf Endalter 65
mit Leistung 100.000 € kostet also – netto für den 35-Jährigen 2.428 € jährlich.
Die nachfolgende Grafik zeigt den Verlauf der Deckungsrückstellung dieser
gemischten Kapitallebensversicherung.
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Crashkurs Versicherungsmathematik
Einführung in die Tarifierung – Deckungsrückstellung
Prämie und
Deckungsrückstellung
Deckungsrückstellung KLV, Prämie und Sterbewahrscheinlichkeit, Männer Sterbetafel 94T, Zins 2,75 %
1
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
Deckungsrück
stellung
Sterbewahrsc
heinlichkeit =
1jährige
Risikoprämie
Netto-Prämie
35
40
45
50
Alter
55
60
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Crashkurs Versicherungsmathematik
Einführung in die Tarifierung – Prämienkalkulation - Kostendeckung
Bisher wurden nur Nettoprämien ohne Kosten betrachtet. Kosten sind z. B.:
-
Abschlusskosten
Verwaltungskosten
Schadenregulierungskosten
Die Kosten werden z. B. einmalig zu Beginn oder laufend in die Beiträge eingerechnet.
Maßstab kann z. B. relativ zur Prämie, zur Versicherungssumme oder pro Kopf sein.
Zusammen mit den Kostenzuschlägen ergibt sich aus der Nettoprämie die Bruttoprämie.
Wegen der Vielfalt der Varianten soll hier nur speziell das Thema Zillmerung der
Abschlusskosten angesprochen werden. Die Nettoprämie ist – vereinfacht
P = Ax / ax
z
Bei Zillmerung wird die (sogenannte gezillmerte) Netto-Prämie P aus der Summe von
Leistungsbarwert und Zillmerbetrag Z (bspw. 4 % der Versicherungssumme) errechnet:
Pz = (Ax + Z) / ax
Die Netto-Prämie wird also um den „Zillmerzuschlag“
0,04 / 19,662 = ,00203 auf 0,02631.
Z / ax erhöht, z. B.: von 0,02428 um
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Crashkurs Versicherungsmathematik
Einführung in die Tarifierung – Zillmerung – gezillmerte Deckungsrückstellung
Der Barwert der Leistungen (Leistungsbarwert Ax ) wird durch die Zillmerung nicht
verändert. Die (sogenannte) gezillmerte Deckungsrückstellung wird jedoch mit der erhöhten
gezillmerten Nettoprämie gerechnet:
Vx,m = Ax+m - (ax+m * P)
(ungezillmert)
Vzx,m = Ax+m - (ax+m * Pz)
(ungezillmert)
Zum Versicherungsbeginn gilt z. B.
Vzx,0 = Ax - (ax * Pz) = Ax - (ax * (Ax + Z) / ax) =
Ax - (Ax + Z) = - Z
Die gezillmerte Deckungsrückstellung ist also zu Beginn um den Zillmerbetrag Z negativ.
Die folgende Grafik zeigt einen Verlauf der gezillmerten Deckungsrückstellung im Vergleich
zur ungezillmerten:
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Crashkurs Versicherungsmathematik
Einführung in die Tarifierung – Zillmerung – gezillmerte Deckungsrückstellung
Deckungsrückstellung
Deckungsrückstellung KLV, gezimmert vs.
ungezillmert, Männer Sterbetafel 94T, Zins 2,75 %
1
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
-0,1
Deckungsrück
stellung
ungezillmert
gezillmert
35
40
45
50
Alter
55
60
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Crashkurs Versicherungsmathematik
Einführung in die Tarifierung – Kapitaldeckung und Anwartschaftsdeckung
Kapitaldeckung und Anwartschaftsdeckung sind unterschiedliche versicherungsmathematische Verfahren, wenn diese Begriffe auch teilweise synonym verwendet werden.. Jedes kann
für sich bestehen, aber auch – wie in der Lebensversicherung – gemeinsam. Kapitaldeckungsverfahren ohne Anwartschaftsdeckung gibt es noch z. B. im Rahmen der betrieblichen
Altersversorgung; sie waren vor dem reinen Umlageverfahren auch in der gesetzlichen
Rentenversicherung üblich.
Bei der reinen Kapitaldeckung in der Rentenversicherung werden während der Aktivenzeit
für die Versicherten keine Deckungsrückstellungen (Anwartschaftsrückstellungen)
gebildet. Erst bei Renteneintritt wird für den Versicherten der Barwert seiner künftigen
Renten als Deckungsrückstellung zurückgestellt.
Da aber während der Aktivenzeit keine Rückstellungen gebildet wurden, muss der für diese
Kapitaldeckung erforderliche Betrag woanders herkommen. Bei der gesetzlichen Rentenversicherung wurden die Kapitaldeckung für die Rentenverpflichtungen der jeweiligen
Neurentner durch Umlage aus Beiträgen aller Aktiven aufgebracht. Im reinen Kapitaldeckungsverfahren sind zwar alle laufenden Renten durch Kapital gedeckt. Es ist jedoch - wie
ein reines Umlageverfahren – demografieanfällig, weil z. B. der letzte Neurentner das gesamte
Kapital für seine Rente bei Rentenbeginn selbst aufbringen müsste.
Peter Schramm, Aktuar DAV
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