Model immunologiczny

Co to jest układ immunologiczny?

Układ immunologiczny (odpornościowy) - to system organizmu odpowiedzialny za rozpoznanie i zwalczanie (za pomocą przeciwciał ) infekcji wirusów, bakterii, pierwotniaków, a także zwalczanie obcych tkanek i nowotworów.

Substancje odpowiedzialne za wywołanie reakcji odpornościowej nazywamy

antygenemi.

Przeciwciało – zasadniczy element układu odpornościowego, ma za zadanie rozpoznanie, związanie antygenu i usunięcie go z organizmu

Rodzaje antygenów

• • •

aktywne

(bakterie, grzyby, wirusy,komórki nowotworowe) mają zdolność do aktywnego namnażania się w organizmie;

pasywne

(trucizny, jady) nie mają zdolności samoistnego namnażania się;

własne tzw. autoantygeny

, produkowane przez organizm (antygeny transplantacyjne);

Oznaczenia modelu odpornościowego.

•

F(t)

– stężenie przeciwciał w chwili t •

V(t)

– zagęszczenie antygenu w chwili t Dynamikę procesu zagęszczania namnażania się antygenu opisuje równanie: odpowiednio dla -antygenu aktywnego:

dV/dt = rV

(*) r>0 współczynnik namnażania netto (róznica między wsp. rozrodczości i śmiertelności ) ; -antygenu pasywnego:

dV/dt = rV

, ale r<0; -autoantygenu

dV/dt = p –sV

, s,p>0 p stałe żródło, s- wsp.śmiertelności

Założenia i konstrukcja modelu

Zakładamy, że dany antygen wywołuje reakcję odpornościową .

Szybkość produkcji przeciwciał jest proporcjonalna do ilości przeciwciał, Szybkośc usuwania antygenu z organizmu jest proporcjonalna do iloczynu

V(t)F(t),

Wobec tego w równaniu (*)( uwzględnić kolejny składnik opisujący oddziaływanie antygen przeciwciało

dV/dt = rV

) musimy

dV/dt = r 1 V - c

1 VF

,

c 1

– skuteczność przeciwciał . w zwalczaniu antygenów

Układ odpornościowy aktywuje się po wykryciu antygenu. Przeciwciała giną w trakcie neutralizacji antygenu, zostają wyrugowane wraz z antygenem z organizmu, Dynamikę tego procesu opisuje równanie:

dF/dt = r 2 V - c 2 VF

, Ostatecznie model wygląda następująco (układ równań):

dV/dt = r 1 V - c 1 VF dF/dt = r 2 V - c 2 VF

r

1

,r

2 ,

c

1

,c

2

>0

Rozwiązanie, szukamy punktów stacjonarnych układu równań(#)

dV/dt = 0 => V(r 1 - c 1 F) = 0 dF/dt = 0 => V( r 2 - c 2

więc V=0 lub F= r

1

/

F) = 0

c 1 = a

1

V=0 lub F= r

2

/ c 2 = a

2 szukane punkty krytyczne są postaci (0,F)

Przypadek 1

a= a

1

= a

2

Punkty krytyczne (0,F),(V,a) Każde rozwiązanie zbiega do jednego z rozwiązań stacjonarnych, Z układu równań(#)

dV/dt =

c

1 (

r

1

V/ c

1 -

VF) = c

1 (aV – VF)

-

dF/dt =

c

2 ( r 2

V c

2 -

VF) = c

2 (aV – VF)

równanie orbit

dV / dF =

c

1

/ c

2

(funkcja liniowa) => V = c

1

/ c

2

F + C - Portret fazowy

Przypadek 2

a

1

< a

2

• Każde rozwiązanie zbiega do jednego z rozwiązań stacjonarnych (0,F); • równanie orbit dV/dF= (r1-c1F) / (r2-c2F) ∫dV= ∫ (r1-c1F) / (r2-c2F)df = c1/c2 ∫(r1/c1 – F) / (r2/c2 F) df = ∫(F- a1) / (F- a2)df = ∫dF - ∫1/(F a2)df =c1/c2( F – (a2 - a1) ln(F- a2)) • V= c

1

/ c

2

[ F (a2 - a1) ln(F- a2) ] • Portret fazowy

Interpretacja:

• W tej sytuacji mamy zawsze do czynienia z wyzdrowieniem bez względu na początkową dawkę antygenu. Jeżeli poziom przeciwciał jest dostatecznie duży (

silny układ odpornościowy

antygenu ( ), to zagęszczenie antygenu stale maleje w czasie (wykres 1), a jeżeli jest niezbyt duży w stosunku do początkowej dawki 2 )

słaby antygen

), to w 1 fazie odpowiedzi odpornościowej układ nie może sobie poradzić i V(t) wzrasta, ale po pewnym czasie F(t) wzrasta i V(t) maleje do zera (wykres

Przypadek 3

a

1

> a

2

• Każde rozwiązanie zbiega do jednego z rozwiązań stacjonarnych (0,F), • V= c

1

/ c

2

[ F+( r

2

/ c 2 • portret fazowy: r

1

/ c 1 ) +ln |F r

2

/ c 2 |+C]

Interpretacja:

• Jeżeli antygen Vo jest silny to wyzdrowienie jest możliwe tylko w przypadku dostatecznie dużego początkowego poziomu przeciwciał F 0 > c1 oraz w stosunkowo niewielkiej dawki początkowej antygenu V 0 (wykres 3), • w przeciwnym przypadku organizm nie może poradzić sobie z antygenem (wykres 4)

.

zbyt prosty, aby mógł w odpowiedni sposób odzwierciedlić rzeczywiste procesy. W szczególności w rzeczywistości nie jest możliwe, by nawet bardzo silny układ odpornościowy zawsze poradził sobie z antygenem, bez względu na wielkość dawki początkowej. Do lepszej analizy problemu buduje się bardziej skomplikowane modele.

Koniec

Autor: Paweł Witczak