Transcript Trasformatore Parte II

TRASFORMATORE
(Parte II)
Allievi Ing. Navale
Versione aggiornata al 11/11/ 2013
Equazioni di base del trasformatore
nel dominio del tempo
LKT per i due
avvolgimenti
v1  r1  i1  l 1
v 2  r2  i2  l 2
di 1
dt
di 2
dt
 N1
 N2
Legge di Ampére
R   p  N 1i1  N 2 i 2
d p
dt
d p
dt
Diversi modelli del trasformatore
reale di crescente complessità
• Modello 1: r1  r2  0 , l 1  l 2  0 , ferro
ideale, privo di perdite con riluttanza R
finita e costante;
• Modello 2: r1  r2  0 , l 1  l 2  0 , ferro
reale con perdite;
• Modello 3: avvolgimenti reali ( r1 , r2  0 ),
loro accoppiamento magnetico non
perfetto ( l 1 , l 2  0 ), ferro reale con
perdite, rete equivalente a T.
Modello 1 del trasformatore reale
• Avvolgimenti ideali ( r1
 r2  0)
• Accoppiamento perfetto (
l 1  l 2  0
)
• Ferro ideale, privo di perdite con riluttanza
R finita e costante.
Modello 1
Equazioni di base:
V1  j  N 1   p
V2  j N 2   p
R   p  N 1  I1  N 2  I 2
Riluttanza nel modello 1 (finita e
costante)
La riluttanza è somma del
contributo del ferro e dei
traferri
R 
B
R 

1
p
S
dl
l fe

fe
S

4
0  S
Il ferro ha permeablità
cost.→caratterist. B-H
lineare→area nulla del
ciclo d’isteresi →perdite
per isteresi nulle;
analogamente nulle le
perdite per correnti di
Foucault
Funzionamento a vuoto
avvolgim. second. aperto
i2  0
i10
v1
Il sistema può essere considerato come un
bipolo, la cui caratteristica è:
V1  f ( I 10 )
Modello 1: funzionamento a vuoto
avvolgim. second. aperto
Equazioni
V1  j  N 1   p
 p  N 1  I 10 / R

V1
j  L1
 I 10
R   p  N 1  I 10
V1  j  ( N 1 / R ) I 10  j  L1  I 10
2
dove
2
L1  N 1 / R
Funzionamento a vuoto, confronto
con il trasformatore ideale
La legge di Ampére nel trasformatore ideale
fornisce:
I1  
A vuoto
1
a
I2
I 2  0 → anche
I1  0
→ Il trasformatore ideale a vuoto costituisce un
aperto ideale.
%
Funzionamento a vuoto, confronto con
il trasformatore ideale
Il valore del flusso è imposto dalla
tensione applicata:
V1  j  N 1   p
Il valore finito del flusso, pur in assenza di
correnti i1 e i 2 finite è spiegabile con il
fatto che si è supposta nulla la riluttanza R
R   p  N 1  I1  N 2  I 2


p

0
0
Modello 1 del trasformatore reale;
funzionamento sottocarico
Il flusso  p non varia rispetto al
funzionamento a vuoto essendo sempre
imposto dalla tensione v1 :
V1  j  N 1   p
Il flusso è pertanto costante al variare del
carico del trasformatore
%
Modello 1 del trasformatore reale;
funzionamento sottocarico
R   p  N 1  I1  N 2  I 2
Legge di Ampére
R   p / N 1  I1  I 2 / a ( a 

V1
j  L1
 I 1  I ' 2  I 10
)
N2

1
R
j N
2
1
 ( j N 1  p )  I1  I 2 / a
dove
L1  N / R
2
1
I '2   I 2 / a
LKT
N1
V1  j  N 1   p

V1
V2
 a

V2  j N 2   p
Modello 1, rete equivalente del
trasformat. reale sotto carico
V1
 a
V2
V1
j  L1
I '2

I2
1
a
 I 1  I ' 2  I 10
V1  j  N 1   p
V2  j N 2   p
R   p  N 1  I1  N 2  I 2
Modello 1, rete equivalente del
trasformat. reale sotto carico
Se si divide I e II
membro della legge di
Ampere per N 2 si
ottiene un’altra rete
equiv. La corrente
I ' '1   a I 1
L2  N / R
2
2
rappresenta la
corrente I 1
dal lato 2
vista
Modello 2 del trasformatore reale
• Avvolgimenti ideali ( r1
 r2  0)
• Accoppiamento perfetto (
• Ferro reale con perdite
l 1  l 2  0
)
Comportamento reale del ferro
B è sinusoidale, le
correnti no. Infatti:
2V1  sin(  t )
v1 
v1  N 1
d p
dt
R   p  N 1i1  N 2 i 2
R 

1
p
S
dl
Comportamento reale del ferro
L’area del ciclo
rappresenta l’energia di
magnetizzazione per
unità di volume dissipata
in calore. Una relazione
empirica fornisce la
potenza dissipata:
Pi  k  
2
p
K cost del materiale
proporzionale alla
frequenza ed al volume.
%
Comportamento reale del ferro
Perdite per correnti parassite nel ferro (o
correnti di Foucault) in una lastra piana
indefinita di spessore Δ:
f  
2
Pcp  C
2

2
p
fe
C cost. opportuna,  resistività del ferro
Il fenomeno non è portato in conto dalle
eq. di base precedenti.
fe
%
Comportamento reale del ferro
La potenza complessiva dissipata nel ferro
è fornita dalla somma delle perdite per
isteresi e di quelle per correnti parassite:
P fe  Pi  Pcp  k '
e conseguentemente:
P fe  k "V 1
2
2
p
Confronto del model. 2 con il
model. 1 nel funzionam. a vuoto
La potenza assorbita dal trasformatore è nulla.
Tale modello non è quindi in grado di
rappresentare i fenomeni dissipativi nel ferro. La
potenza trasformata in calore nel ferro deve
essere fornita dalla rete di alimentazione
Modello 2 (ferro reale):
funzionamento a vuoto
Si possono trattare
in maniera separata i
problema della non
linearità e della
dissipazione di
potenza nel ferro,
riducendo il ciclo alla
sua linea media e
considerando a parte
le perdite nel ferro.
P fe  k "V 1
2
%
Modello 2 (ferro reale):
funzionamento a vuoto
Si può linearizzare la
linea media del ciclo,
considerando cost. la
riluttanza. Le perdite
2
nel ferro P fe  k "V 1
possono essere
rappresentate da una
resist. in parall. a L1
tale che:
P fe  V 1 / R ' m
2
Modello 2 (ferro reale): rete
equival. nel funzionam. a vuoto
R ' m  V1 / P fe
2
L1  N 1 / R
2
Modello 2 (ferro reale):
funzionamento a vuoto
La corrente a vuoto
risulta pari alla
somma:
I 10  I ' a  I ' 
P fe  V 1 I ' a
Q  V1 I ' 
Modello 2 (ferro reale con perdite):
funzionamento sotto carico
L1  N / R
2
1
R ' m  V1 / P fe
2
%
Modello 2 (ferro reale con perdite):
funzionamento sotto carico
L2  N / R
2
2
R " m  V / P fe
2
2
%
Modello 2 (ferro reale con perdite):
funzionamento sotto carico
Nel trasformatore ideale
I1  
1
I2
a
Nel trasformatore reale
I 1  I ' 2  I 10  
1
I 2  I 10
a
Il rapporto tra le correnti è
diverso da 1/a. Lo
scostamento è prodotto
da I10
%
Modello 2 (ferro reale con perdite):
funzionamento sotto carico
Il trasformat. non è più
trasparente né alla
pot. attiva, né a quella
reattiva. La pot. attiva
assorbita dal primario
è la somma di quella
trasferita al second. e
delle predite nel
ferro. Il rendimento è
diverso da 1.
Riduzione della potenza reattiva Q
e delle perdite nel ferro Pfe
Per ridurre Q occorre
ridurre la riluttanza R,
riducendo i traferri e
aumentando la
permeabilità.
Per ridurre Pfe si
usano lamierini isolati
laminati a freddo di
ferro silicio. Tali
lamierini sono
anisotropi.
Nucleo magnetico
Modello 3 del trasformatore reale
• Avvolgimenti reali ( r1 , r2  0 )
• Accoppiamento non perfetto ( l 1 , l 2  0 )
• Ferro reale con perdite
Modello 3 (avvolgim. + accoppiam.
magnet. reali, ferro senza perdite)
Eq. di base nel dominio del tempo:
v1  e p 1  r1  i1  l 1
e p1   N 1
di 1
dt
d p
dt
R   p  N 1i1  N 2 i 2
v 2  e p 2  r2  i 2  l 2
ep2   N 2
d p
dt
di 2
dt
Modello 3 (avvolgim. + accoppiam.
magnet. reali, ferro senza perdite)
Eq. di base nel dominio dei fasori
V 1  E p 1  ( r1  j  l  1 ) I 1
E
p1
  j N 1 
p
R   p  N 1  I1  N 2  I 2
V 2  E p 2  ( r2  j  l  2 ) I 2
E
p2
  j N 2 
p
Modello 3 (avvolgim. + accoppiam.
magnet. reali, ferro senza perdite)
LKT
E
p1
V1E
p1
 ( r1  j  l  1 ) I 1
  j N 1 
p
E
p2
V2E
  j N 2 
p
p2
 ( r2  j  l  2 ) I 2
R   p  N 1  I1  N 2  I 2
Modello 1, rete equivalente del
trasformat. reale sotto carico
L1  N 1 / R
2
V1  j  N 1   p
V2  j N 2   p
R   p  N 1  I1  N 2  I 2
Modello 3: rete equivalente (ferro
senza perdite)
L1  N / R
2
1
Modello 3: rete equivalente (ferro
reale con perdite)
L1  N 1 / R
2
Modello 2: rete equivalente
L 2  N / R  L1 / a
2
2
2
R " m  V 2 / P fe  R ' m / a
2
2
Modello 3: rete equivalente (ferro
reale con perdite)
L 2  N / R  L1 / a
2
2
2
R " m  V 2 / P fe  R ' m / a
2
2
Modello 3: rete equivalente a T
Nel trasformatore ideale
2
z ' 2  a  z 2
%
Modello 3: rete equivalente a T
2
z ' 2  a  z 2
z u
%
Modello 3: rete equivalente a T
dove
I '2   I 2 / a
r ' 2  a r2
V ' 2  z 'u I ' 2  ( a z u )( 
2
2
1
a
l ' 2  a l  2
2
z ' u  a  z u
I 2 )  a (  z u I 2 )  a V
2
2
%
Modello 3: rete equivalente a T
Impedenze
z1  r1  j  l  1
z ' 2  r ' 2  j  l ' 2
z1
z ' m
z ' 2
z ' m  ( j  L1 ) // R ' m
Modello 3: deduzione rete
equivalente a L
LKT
LKC
V 1  ( r1  j  l 1 ) I 1  ( r ' 2  j  l ' 2 ) I ' 2  V ' 2
I 1  I ' 2  I 10
%
Modello 3: deduzione rete
equivalente a L
LKT
dove
V 1  ( r1  j  l  1 ) I 10  ( r ' eq  j  l ' eq ) I ' 2 V ' 2
r ' eq  r1  r ' 2
l '  eq  l  1  l '  2
%
Modello 3: deduzione rete
equivalente a L
Trascurando ( r1  j  l 1 ) I 10
I 1  I ' 2  I 10
→ V 1  ( r ' eq  j  l ' eq ) I ' 2 V ' 2
Bilancio delle potenze
P fe  V 1 / R ' m
2
Pcu  r ' eq I ' 2
2
Bilancio delle potenze
Potenze
Potenza assorbita
Pass  V1 I 1 cos  1
Potenza utile
Put  V 2 I 2 cos  2
Invarianza delle potenze rispetto al
lato del trasformatore
Pot. Utile
essendo
Put  V 2 I 2 cos  2  V ' 2 I ' 2 cos  2
I ' 2  (1 / a ) I 2
V '2  a V 2
Pcu  r ' eq I ' 2  r " eq I 2
P fe  V 1 / R ' m  V / R " m
2
essendo
2
2
2
R"m  R 'm / a
2
r " eq  r ' eq / a
2
2
Funzionamenti a rendimento nullo
Rendimento= Put / Pass = 0 se
.
Put  0
Put  V 2 I 2 cos  2
Put  0 se I 2  0 (funzionamento a
vuoto) o se V 2  0 (funzionamento in
corto circuito)
Pass  Pcu  P fe
Prova a vuoto
Schema di misura
W
V
1
f
P  P fe  r1 I
A
T
V
2
10
V
trascurabi le
2
r1 I 10
20
I 10  10
2
I 1n
Prova a vuoto; determinazione
parametri verticali circuito ad L
W A
V
1
f
V
R 'm  V
T
V
2
/W
 L1  V / I ' 
20
I 'a  V / R 'm
I ' 
I 10  I ' a 
2
2
A  I 'a
2
2
Prova in corto circuito
Schema di misura
P  Pcu  P fe  Pcu  V cc / R ' m
2
2
V cc / R ' m trascurab .
2
V cc  10 V1 n
Prova in corto circuito

trascurabi le I 10

Prova in corto circuito
W A
V
1 cc
f
T
V
r ' eq  W / I 1 n  W / A
2
 l ' eq 
V1cc / I 1 n  V / A  z eq 
2
(V / A )  r ' eq
2
2
R ' eq  ( l ' eq )
2
2
Rendimento del trasformatore,
determinazione diretta
 
Put
Pass

W2
W1
Inconvenienti
• Notevole influenza
degli errori di misura
dei wattmetri
• Difficile determinare
la variabilità del
rendimento con il
carico
Rendimento convenzionale e sua
determinazione indiretta
Diversa formulazione del rendimento:
 
Put
Put  P fe  Pcu
La sua traduzione operativa comporta la determinazione
di Put, Pfe e Pcu.
P utile Put  V 2 I 2 cos  2
ipotizzata e non misurata
Pfe e Pcu misurate nelle prove a vuoto ed in corto
circuito
Andamento del rendimento in
funzione del carico
Rendimento convenz.
 
V 2 I 2 cos  2
V 2 I 2 cos  2  P fe  req I 2
"
2
Se V2 è supposta
costante, trascurando
le cadute di tensione,
si ottiene il diagr.
dove per I2= I2p le
perdite nel ferro e nel
rame sono eguali

I 2
0
per
I2  I2p 
I 2 p  0 .6  0 .9 I 2 n
P fe
"
req

Rendimento in energia
Ci si riferisce alle energie invece che alle
potenze:
w 
W ut
W ut  W
fe
 W cu
essendo l’energia data da
t 0 
W 
 vidt
t0
Ci riferisce ad un prefissato intervallo  : si ha
così il rendim. giornaliero, mensile, etc.
Rendimento in energia
t 0 
W 
 vidt
t0
Se in  il carico è costante ( I 2 e
costanti):
W ut  V 2 I 2 cos  2
W fe  P fe
V2
W cu  Pcu 
e i rendimenti in potenza ed energia sono
eguali.
Rendimento giornaliero
Se si esprime
l’energia in Wh si ha:
Put
w 
Put  V 2 I 2 cos  2
h
24
V 2 I 2 cos  2 h
V 2 I 2 cos  2 h  P fe 24  req I 2 h
"
2
Andamento del rendim. in energia
in funzione del carico
L’andamento è
analogo a quello del
rendim. in potenza. Si
ha il massimo quando
l’en. persa nel ferro è
eguale all’en. persa
nel rame → per I 2
dato da:
I 2w 
P fe 24
r " eq h

24
h
I2p
Caduta di tensione
I 10
V1n
I2  0
V 20
Si definisce caduta di
tensione la quantità:
 V  V 20  V 2
I1
V1n
I2
V2
Caduta di tensione: funzionamento
a vuoto
0
E
V
 E
, trascurando la caduta di
tensione dovuta a I 10 →
p2
E
p1
20
p1
/a
 V 1 n  V 20  V 1 n / a  V 2 n
 V  V 20  V 2  V 2 n  V 2

Calcolo della caduta di tensione
V 1 n  ( r 'eq  j  l ' eq ) I ' 2 V ' 2
dove
I '2  I 2 / a
(conv.gener.)
r ' eq  r1  a r2
2
l '  eq  l  1  a l  2
2
Dividendo per a →
V 2 n  V 20  ( r " eq  j  l " eq ) I 2  V 2
dove
r " eq 
r ' eq
a
2

r1
a
2
 r2 l "  eq 
l ' eq
a
2

l 1
a
2
 l 2
Calcolo approssimato della caduta
di tensione
FG perpendicolare a
BG
V 2 n  V 20  ( r " eq  j  l " eq ) I 2  V 2
ΔV=BK, trascurando
CK, ΔV=BC=BH+HC
BH  r " eq I 2 cos  2 HC   l "  eq I 2 sin  2

 V  r " eq I 2 cos  2   l " eq I 2 sin  2