Transcript COMBINATORIA_

EN EL RESTAURANTE
En la carta de un restaurante hay cinco primeros platos,
tres segundos platos y cuatro postres.
Un menú consta de un primer plato, un segundo y un postre.
¿Cuántos menús diferentes de tres platos podemos hacer?
EN EL RESTAURANTE
En la carta de un restaurante hay cinco primeros platos,
tres segundos platos y cuatro postres.
Un menú consta de un primer plato, un segundo y un postre.
¿Cuántos menús diferentes de tres platos podemos hacer?
5*3*4 = 60 Platos.
CAMINOS.
Un camionero quiere ir de Sevilla a Morón siguiendo siempre el sentido
que indican las flechas en el plano adjunto.
Describe todas las rutas que puede hacer el camionero.
S ev illa
A lca lá de G ua daira
Do s He rm a nas
L os P alacio s
E l Ara hal
Ut rera
M or ón
S ev illa
A lca lá de G ua daira
Do s He rm a nas
L os P alacio s
E l Ara hal
Ut rera
M or ón
SE-AL-AR-MO
SE-AL-UT-MO
SE-AL-MO
SE-AL-DH-LP-UT-MO
SE-AL-DH-UT-MO
SE-DH-AL-AR-MO
SE-DH-AL-UT-MO
SE-DH-AL-MO
SE-DH-LP-UT-MO
SE-DH-UT-MO
En una bolsa hay cuatro bolas numeradas del 1 al 4.
Una extracción consiste en sacar una bola de la bolsa.
Diremos que la extracción es “con devolución” si, tras la extracción, se devuelve
la bola a la bolsa.
En caso contrario diremos que la extracción es “sin devolución”.
Se realizan tres extracciones consecutivas.
1) ¿Cuántos casos posibles tendremos si las extracciones las
hacemos con devolución?
2) ¿Y si las extracciones son sin devolución?
En una bolsa hay cuatro bolas numeradas del 1 al 4.
Una extracción consiste en sacar una bola de la bolsa.
Diremos que la extracción es “con devolución” si, tras la extracción, se devuelve
la bola a la bolsa.
En caso contrario diremos que la extracción es “sin devolución”.
Se realizan tres extracciones consecutivas.
1) ¿Cuántos casos posibles tendremos si las extracciones las
hacemos con devolución?
2) ¿Y si las extracciones son sin devolución?
CON DEVOLUCIÓN
“Las que empiezan por 1”
111
121 131
141
112
122
….
….
113
123
114
124
….
….
En total: 16*4 = 64
SIN DEVOLUCIÓN
“Las que empiezan por 1”
123
132 142
124
134 143
En total: 6*4 = 24
A proponer: Enumeración en árbol
POLÍGONOS.
Los vértices de un polígono se unen todos de dos en dos mediante segmentos.
Si el polígono tiene 6 vértices a) ¿Cuántos segmentos se pueden formar?
De éstos, ¿cuántos serán diagonales?
b) Si hubiese 45 segmentos en total, ¿Cuántos vértices tendría el polígono?
A
B
F
C
E
D
POLÍGONOS.
Los vértices de un polígono se unen todos de dos en dos mediante segmentos.
Si el polígono tiene 6 vértices a) ¿Cuántos segmentos se pueden formar?
De éstos, ¿cuántos serán diagonales?
b) Si hubiese 45 segmentos en total, ¿Cuántos vértices tendría el polígono?
A
B
F
C
E
D
a) Se toman los vértices de dos en dos; no importa el orden.
Desde el vértice A:
AB, AC, AD, AE y AF
De cada vértice salen 5 segmentos: 6*5=30. Como se repiten de dos en dos (AB=BA)
tendremos 30/2=15 lados.
Número de diagonales: 15 – número de lados = 15 – 6 = 9
POLÍGONOS.
Los vértices de un polígono se unen todos de dos en dos mediante segmentos.
Si el polígono tiene 6 vértices a) ¿Cuántos segmentos se pueden formar?
De éstos, ¿cuántos serán diagonales?
b) Si hubiese 45 segmentos en total, ¿Cuántos vértices tendría el polígono?
A
B
F
C
E
D
a) Las diagonales pueden contarse independientemente
Desde el vértice A: AC, AD, AE
De cada vértice salen 3 diagonales: 6*3=18. Como se repiten de dos en dos (AC=CA)
tendremos 18/2=9 diagonales
Puede generalizarse: para n lados y obtenerse una fórmula: n (n - 3)/2
POLÍGONOS.
Los vértices de un polígono se unen todos de dos en dos mediante segmentos.
Si el polígono tiene 6 vértices a) ¿Cuántos segmentos se pueden formar?
De éstos, ¿cuántos serán diagonales?
b) Si hubiese 45 segmentos en total, ¿Cuántos vértices tendría el polígono?
A
B
F
C
E
D
b) Podría probarse con un polígono de mayor número de lados (7 u 8)
Desde el vértice A: AC, AD, AE
De cada vértice salen 3 diagonales: 6*3=18. Como se repiten de dos en dos (AB=BA)
tendremos 18/2=9 diagonales.
Puede generalizarse: para n lados y obtenerse una fórmula: n·(n-3)/2
DOMINÓ TRIANGULAR.
Se quiere formar un dominó de números con fichas triangulares (triángulos equiláteros).
Cada ficha tiene una sola cara con un máximo de tres números: Unos (1), Doses (2) y
Treses (3).
¿Cuántas fichas distintas componen el dominó?
(Enumerar todas las posibilidades y contar después).
3
1
2
En el laberinto de la figura, ¿De cuántas maneras distintas se puede ir
desde ‘a’ hasta ‘k’, siguiendo el sentido de la flecha?
b
a
d
a
c
a
f
a
e
a
j
a
h
a
g
a
i
a
k
a
DOMINÓ TRIANGULAR.
Se quiere formar un dominó de números con fichas triangulares (triángulos equiláteros).
Cada ficha tiene una sola cara con un máximo de tres números: Unos (1), Doses (2) y
Treses (3).
¿Cuántas fichas distintas componen el dominó?
(Enumerar todas las posibilidades y contar después).
3
1
2
111, 122, 133, 123, 132
222, 211, 233,
333, 311, 322
En el laberinto de la figura, ¿De cuántas maneras distintas se puede ir
desde ‘a’ hasta ‘k’, siguiendo el sentido de la flecha?
b
a
d
a
c
a
f
a
e
a
j
a
h
a
g
a
i
a
k
a
Para llegar a un punto, por ejemplo F, hayq ue pasar`por los dos anteriores,
D y E.
Por tanto, el número de caminos para llegar a cualquier punto, salvo B y C,
Será la suma de los caminos quellegan a los dos anteriores.
Solución: Sucesión de Fibonacci.
VARIACIONES (Con repetición). Con los guarismos {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7},
¿Cuántos números de 3 cifras pueden formarse?
Explica el método que sigues para contar todos los números posibles.
VARIACIONES (Simples). Con los guarismos {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7},
¿Cuántos números de 3 cifras distintas pueden formarse?
Explica el método que sigues para contar todos los números posibles.
PERMUTACIONES (Simples). ¿Cuántos anagramas distintos pueden
realizarse con las letras de la palabra AMOR?
COMBINACIONES (Simples). Los guarismos {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} corresponden
a las camisetas de los jugadores {A,B,C,D,E,F,G,H} de plantilla de un equipo de
baloncesto.
¿Cuántos equipos distintos podrá formar el entrenador con esos siete jugadores?
[Un equipo lo forman cinco jugadores].
Un equipo de baloncesto está formado por cinco jugadores.
Si en una plantilla hay ocho jugadores,
¿Cuántos equipos distintos pueden hacerse?
Plantilla: {A,B,C,D,E,F,G}
Equipos: ABCDE, ABCDF, ABCDG
ABCEF, ABCEG
ABCFG
BCDEF, BCDEG
BCDFG
BCEFG
ABDEF, ABDEG
ABDFG
BDEFG
ABEFG
ACDEF, ACDEG
ACDFG
ACEFG
ADEFG
21 equipos en total
CDEFG
Un equipo de baloncesto está formado por cinco jugadores.
Si en una plantilla hay ocho jugadores,
¿Cuántos equipos distintos pueden hacerse?
Plantilla: {A,B,C,D,E,F,G}
Equipos: AB, AC, AD, AE, AF, AG [6]
BC, BD, BE, BF BG
[5]
CD, CE, CF, CG
[4]
DE, DF, DG
[3]
EF, EG
[2]
FG
[1]
En total: 1+2+3+4+5+6 = 21 = 7*6/2 = 21
21 equipos en total
Un equipo de baloncesto está formado por cinco jugadores.
Si en una plantilla hay ocho jugadores,
¿Cuántos equipos distintos pueden hacerse?
Plantilla: {A,B,C,D,E,F,G}
ABCDE, ABCDF, ABCDG, ……, BCEFG, BDEFG
ABCED, ABCFD, ABCDG, …….., BCEGF, BDEGF
ABDCE ………. , ………, …….., ………., ……….
ABDEC
ABECD
ABEDC
ACBDE
……….
………, ……….., ………., ………, ………
ACEDB
……….
AEDCB
BACDE
BACED
………., ……….., ………, ………, ………., ……….
EDCBA, FDCBA, GDCBA, ..……, GFECB, GFEDB
Variaciones= Combinaciones X Permutaciones
7
El símbolo   , es un número combinatorio que se lee “siete sobre 5”.
 
5
Representa el número de subconjuntos de 5 elementos que hay en un conjunto
de 7 elementos.
3
Calcula los siguientes números combinatorios:  
1
 
5
 
2
5
 
3
7
 
5
7
7
¿Y cuanto valdrá   ? ¿y   ? Generaliza estos resultados.
0
7
9
9
 
 
¿Es verdad que   =   ?
3 6
Explica por qué y generaliza esta fórmula (o sea, escríbela con letras).
 n 
n


Prueba que 
=   , siendo k menor o igual que n.

k 
n  k 
 
Pon algunos ejemplos.
 n   n  1
 n  1


Prueba que   = 
 + 

 k  1
k   k 
.
[Indicación: Todos los subconjuntos de k elementos puedes obtenerlos así:
forma primero todos los subconjuntos que no contienen al primer elemento y
luego todos los que contienen al primer elemento].
El BORRACHO PERDIDO
Un borracho que ha perdido completamente el sentido de la orientación
se encuentra apoyado en el árbol A. Pretende ir a su casa, pero la borrachera sólo
le permite recorrer, cada vez, una etapa (es decir, ir cada vez a uno de los árboles de
al lado). En cuatro etapas, ¿Cuántos paseos distintos puede realizar?
La figura representa una máquina de Galton. Una bola depositada en el embudo
caerá recorriendo diversos tramos hasta llegar a uno de los compartimentos señalados.
a.- ¿Cuántos caminos distintos puede recorrer la bola para caer en el compartimento d?
b.-¿Cuántos caminos distintos puede recorrer la bola para caer en uno cualquiera
de los compartimentos?
c).- Un partido de fútbol disputado entre el Madrid y el Barcelona terminó con el
resultado de 3-2 a favor del Barça. Utiliza la máquina de Galton para calcular de
cuántas maneras distintas pudo producirse dicho resultado.