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Der Biegebalken
Der Biegebalken
Der Biegebalken stellt eines der grundlegenden
Konstruktionselemente der Mikrotechnik dar, z.B. als:
• Gelenk und Federelement in Mikroventilen,
Beschleunigungssensoren, Drehratensensoren...,
• Kontaktzunge in Mikrorelais,
• Ventilklappe in Rückschlagventilen,
• Aktorstruktur in Piezo- und
Thermobimetallwandlern,
• .....
Grundlegende Fragen zur konstruktiven Auslegung sind:
• Wie ist die Verformung abhängig von der Belastung ?
• Wie ist der Einfluß innerer Spannungen ?
• Wie verhalten sich Mehrschichtstrukturen ?
Technische Mechanik SS 2010 - Vorlesung Biegelinie / Folie 1
IMTEK
Lehrstuhl Konstruktion von Mikrosystemen
© IZM München
Der Biegebalken
Die Biegelinie des geraden Balkens
d
Frage:
Wie ist die Verformung eines geraden Balkens bei
reiner Biegebelastung ?
R
Wir verwenden wiederum geometrische
Beziehungen...
dx
R

dx

y max
 max 
 max 
dx
R
y max
Es gilt :

 max
E
M
Iy
 y max
dx





  max
y
dx
x
y m ax

E Iy
 M
R
Diese Beziehung gilt streng
für beliebige Verformungen !
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z
1
dx
2
1
dx
2
Der Biegebalken
Die Differentialgleichung für die elastische Linie
- d
Wir haben für beliebige Verformungen bereits eine Beziehung zwischen Krümmungsradius und Belastung hergestellt. Die Frage ist nun:
Wie ist für kleine Verformungen die Beziehung zwischen
Durchsenkung w und Belastung ?
für kleine Winkel
dw
 gilt :
dx
R
R
y
 tan    
x w (x )

R   d    d x
1


R
 d
dx
dw
z
2
 
x
dx
d w
dx
dw
2
dx
mit :
E Iy
R
2
 M
E Iy 
d w
dx
2
 M
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dx
Dies ist die Differentialgleichung der
elastischen Linie des Biegebalkens für
kleine Verformungen.
d
Der Biegebalken
Weitere Differentialgleichungen der Biegelinie
Mit Hilfe der bekannten Zusammenhänge zwischen Moment, Querkraft und Linienlast lassen sich weitere Differentialgleichungen für die Biegelinie ableiten:
2
E Iy 
d w
dx
2
 M
mit :
d M x 
dx
d M x 
2
oder :
 Q x 
dx
2
  q x 

2
d 
d w
E Iy 
  Q
2 

dx
dx 

2

d w
E Iy 
  q
2 
2 
dx 
dx 
d
2
Anmerkungen:
• Die letztgenannte Gleichung enthält keine Schnittgrößen, sondern nur die Flächenlast q(x).
Sie erlaubt die Bestimmung der Biegelinie bei statisch unbestimmten Problemen (!).
• Bei nicht konstantem Querschnitt (d.h. Iy  const.) muß streng nach der Produktregel
differenziert werden !
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Der Biegebalken
Randbedingungen für die Berechnung der Biegelinie
Die Berechnung der Biegelinie erfordert Randbedingungen an den Balkenenden. Man unterscheidet:
• geometrische Randbedingungen (d.h. Art der Einspannung)
• statische Randbedingungen
Einspannung
(d.h. Art der Belastung)
Symbol
geometrische Randbedingung
statische Randbedingung
w
w‘
M
Q
Gelenklager
=0
0
=0
0
Parallelführung
0
=0
0
=0
Einspannung
=0
=0
0
0
freies Ende
0
0
=0
=0
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Der Biegebalken
Die Biegelinie bei statisch bestimmter Lagerung
E , Iy
q0
Wie ist die Biegelinie eines statisch bestimmt gelagerten
Balkens mit konstanter Querlast ?
y
2
E Iy 

d w
dx
2
  M x  
E  I y  wx  
q0
x
q0
x 
2
q0l
2
x
2

4
24
q0l
x
x
w (x )
z
3
12
l
 C1  x  C 2
Moment
Randbeding ungen :
x  0 : wx   0 

x  l : wx   0 
x
C2  0

q0l
C1 
q0
3
M x  
24
x
E  I y  wx  
q0
24
x
4

q0l
x
3

q0l
12
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24
3
x
q 0l
2
x
2
R
M (x )
im Querschnit t :
q 0l
2
 x  q0  x 
x
2
Der Biegebalken
Die Biegelinie bei statisch unbestimmter Lagerung
q0
Wie ist die Biegelinie eines statisch unbestimmt gelagerten
Balkens mit konstanter Querlast ?
2

d w
E Iy 

2 
2 
dx 
dx 
d


2
E I
E  I y  w' ' x  
E  I y  wx  
 f x
y

q0
E Iy 
x
2
q0
4
x
4
2
d w
dx
4
 q x   q0
x
w (x )
z
l
 C1  x  C 2   M  x 

24
1
6
 C1  x
3

1
2
C2  x
Randbeding ungen :
x  0 : wx   0
w'x 
y

  C 3  0;
 0 
2
 C3  x  C4
q0
E  I y  wx  
C4  0
x  l : wx   0 
5
1
2

C



q
l
;
C

 q0l

1
0
2
8
8
M x   0 
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E , Iy
 wx  
x
24
4
l q0
48  E  I y
4

5
48
 q0l  x
3

3
48
q0l  x
2
2
3
2
  x 4
x
x 


  2    5    3  
  l 
 l 
 l  

Der Biegebalken
Die Biegelinie bei Balken mit mehreren Feldern
Häufig lassen sich
• Belastungen (q, F, M),
• Schnittgrößen (Q, M), oder
• Verformungsgrößen (w, w‘)
nicht durch eine einzige Funktion darstellen. In diesen Fällen ist abschnittsweise zu integrieren.
Vorgehensweise:
• Balken so in Felder unterteilen, daß innerhalb eines Feldes alle o.g. Größen stetig sind,
• Schnittgrößen abschnittsweise bestimmen,
• Randbedingungen aufstellen,
• Übergangsbedingungen an den Bereichsgrenzen der Felder aufstellen,
• Differentialgleichung abschnittsweise integrieren.
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Der Biegebalken
Übergangsbedingungen der Biegelinie
Bei den gezeigten Lastwechseln gilt für die Biegelinie w(x) und ihre Ableitung w‘(x) an der Feldgrenze...
F
oder
M
oder
q (x )
w ( x ) stetig


w
differenzi erbar
w links  w rechts
w ( x ) stetig

w links  w rechts
w ( x ) zeigt

Sprungstel le
w links   w  w rechts
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w ' ( x ) stetig

w ' links  w ' rechts
w ' ( x ) zeigt

w 'links     w ' rechts
w ' ( x ) stetig

Sprungstel le
differenzi erbar
w 'links  w ' rechts
Der Biegebalken
Ein Beispiel für die abschnittsweise Integration der Biegelinie
y
Wir kennen bereits den Momentenverlauf am Balken mit
Einzellast:
b

F

x
0 x a

l
 
a
 F   l  x  a  x  l
l

E  I  w' ' x    M x 
x
F
z
A
B e re ich I
B e re ich II
w (x )
a
b
l
Abschnittsweises Integrieren liefert für...
Bereich I
E  I  wI ' x 
E  I  wI x 
Bereich II
2
b x
 F 
 C1
l 2
3
b x
 F 
 C1  x  C 2
l 6
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E  I  w II '  x   F 
a

l  x  2
l
E  I  w II  x    F 
2
a
l

 C3
l  x 3
6
 C 3  l  x   C 4
B
Der Biegebalken
Ein Beispiel für die abschnittsweise Integration der Biegelinie
y
Randbedingungen in...
Bereich I
F
z
Bereich II
wI x  0   0
x
A
w II  x  l   0
B e re ich I
B e re ich II
B
w (x )
Übergangsbedingungen:
w I  x  a   w II  x  a 

C1 
a
C2  0
C3  
6 l
F  a  b  b  2  a 
l
w I '  x  a   w II '  x  a 
F  a  b  a  2  b 
wx 
6 l
C4  0
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



 




b
2
2
x 
b
x 
  1       
6  E  I l 
l 
 l  
F b l
2
F a l
2
6E I

l  x 
l
2
2

a
l x 
 1     
 
l
l
 

 

0 x a
a  xl
Der Biegebalken
Föppl-Symbole bei Mehrfeldproblemen
Die abschnittsweise Definition von Belastungsgrößen bedingt einen hohen numerischen Aufwand bei
der Integration der Biegelinie (Übergangsbedingungen etc.).
Die sog. Föppl-Symbole ermöglichen, abschnittsweise definierte Größen in geschlossener Form
darzustellen:
xa
Es gilt :
Re chenregeln
d
n
xa

 0
 
n



x

a

für x  a
für x  a
:
n
 n x  a
n 1
d x

xa
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n
d x 
1
n 1
 xa
n 1
 C
Der Biegebalken
Ein Beispiel für den Einsatz von Föppl-Symbolen
Frage: Wie verläuft die Biegelinie für den dargestellten Balken
mit abschnittsweise anlegender Streckenlast ?
q0
y
Am dargestellten, „relativ simplen“ Balken benötigt
man bereits...
• 2 Biegelinien, abschnittsweise zu integrieren,
• 2 Randbedingungen für x = 0,
• 2 Übergangsbedingungen für x = a,
d.h. die Rechnung wird zwar nicht kompliziert, aber
unübersichtlich und aufwendig !
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x
z
a
b
Der Biegebalken
Ein Beispiel für den Einsatz von Föppl-Symbolen
E  I  w' ' ' '  q0  x  a
0
E  I  w'''
 q0  x  a
1
E  I  w''
 q0 
1
 q0 
1
E  I  w'
E I w
Randbeding
 q0 
xa
2
xa
3
2
 C1  x  C 2

6
1
  Q x 
 C1
1
2
xa
4

24
  M x 
Frage: Wie verläuft die Biegelinie für
den dargestellten Balken mit
abschnittsweise anlegender
Streckenlast ?
q0
C1  x  C 2  x  C 3
2
1
6
C1  x 
3
1
2
C2  x  C3  x  C4
2
y
x
z
a
b
ungen :
E  I  wx  0   0
E  I  w' x  0   0


C4  0
C3  0
E  I  w' ' x  0    M

C 2   M 0 
E  I  w' ' ' x  0    Q

C 1   Q 0 
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Föppl  Darstellun g von q  x  :
q x   q0  x  a
0
Der Biegebalken
Das Superpositionsprinzip
Die Differentialgleichung der Biegelinie ist linear, d.h. Lastfälle und deren Lösungen können generell
überlagert werden. Dieser Umstand hilft bei der Lösung statisch unbestimmter Probleme.
Vorgehensweise bei unbestimmten Systemen:
• Das unbestimmte System in statisch bestimmte Teilsysteme zerlegen,
• die allgemeinen Lösungen der Biegelinie für die Teilsysteme berechnen,
• Kompatibilitätsbedingungen für die Teilsysteme aufstellen und
• das Gesamtsystem lösen.
Was sind Kompatibilitätsbedingungen ? Kompatibilitätsbedingungen sind wahlweise Bedingungen für...
• Belastungen (F, Me, q),
• Schnittgrößen (Mb, Q) und
• Durchsenkungen (w und w‘),
die lokal, d.h. an bestimmten Stellen Beziehungen zwischen den einzelnen Teilsystemen herstellen.
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Der Biegebalken
Ein Beispiel für die Anwendung des Superpositionsprinzips
z
Lösung durch Superposition: Wir zerlegen das System
in zwei statisch bestimmte Teilsysteme:
q0
z
w 0 (x )
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w (x )
System 1: Kragbalken mit Einzellast X
als Ersatz für Lager B
E, I
+
l
B
l
E, I
x
A
x
A
Das System ist einfach statisch überbestimmt, d.h. wir
können das Moment bei A nicht ohne weiteres berechnen.
System 0: Kragbalken mit Linienlast
E, I
q0
Frage: Wie groß ist das Einspannmoment MA für den
gezeigten Balken ?
w 1 (x )
x
A
z
l
X
Der Biegebalken
Ein Beispiel für die Anwendung des Superpositionsprinzips
Die Berechnung der Biegelinien ergibt für...
Kompatibilitätsbedingung:
• System 0: w 0  x 
3
2
 x  4
x
x
 
  

    4     6    
24  E  I   l 
l 
 l  
• System 1: w 1  x 
  x 2  x 3 
 
 3       
6  E  I   l 
 l  
q0l
Kompatibil itätsbedin gung
4
X l
und
Am Lager B muß die Auslenkung
des Gesamtsystems Null sein:
w 0  x  l   w1  x  l   0
3
Biegelinie n

q0l
4
8E I

X l
3
3 E  I
 0

X 
3
8
 q0l
Aus den Biegelinie n folgt :
M
x 
0
 E  I  w0 ' ' x   
M 1  x   E  I  w1 ' '  x  
3
8
1
2
 q 0  l  x 
 q 0 l  l  x 
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2
 M
A
 M x  0   M 0 x  0   M 1 x  0   
q0l
8
2
Der Biegebalken
Eine Alternativlösung für unser Problem
x
A
Eine Alternative wäre hier...
q0
w (x )
l
System 1: Gelenkbalken mit eingeprägtem
Moment Me als Ersatz für Lager A
E, I
E, I
+
x
A
B
z
System 0: Gelenkbalken mit Linienlast
E, I
q0
In der Wahl der Teilsysteme ist man bei überbestimmten
Systemen prinzipiell frei, solange die Teilsysteme für sich
statisch bestimmt sind.
Me
x
A
B
w 1 (x )
B
Kompatibil itätsbedin gung :
z
l
w 0 (x )
w 0 '  x  0   w1 '  x  0   0
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z
l