Transcript La curva COMP

La curva COMP
€
Equazioni della domanda
Equazioni del ricavo marginale
p1*(qi) = 10 – qi
RM1(qi) = 10 – 2qi
q*i,1= 4,5
p1*(q*i,1)= 10 – q*i,1= 5,5
p2*(qi) = 7 – qi
RM2(qi) = 7 – 2qi
q*i,2= 3
p2*(q*i,2)= 7 – q*i,2= 4
p3*(qi) = 5,5 – qi
RM3(qi) = 5,5 – 2qi
q*i,3= 2,25
p3*(q*i,3)= 5,5 – q*i,2= 3,25
pn*(qi) = (19 + n)/(n + 1) – qi
RMn(qi) = (19 + n)/(n + 1) – 2qi
q*i,n= 9/(n + 1)
pn*(q*i,n)= (10 + n)/(n + 1)
Equazione del costo marginale
Soluzioni
CM(qi) = 1
Curva COMP (esempio)
Mark-up di triopolio
Numero di imprese (n)
Mark-up (µ)
Mark-up di duopolio
1
2
3
…
n
4,5
3
2,25
…
9/(n + 1)
Equazione
µ(n) = 9/(n +1)
Mark-up
Mark-up di monopolio
p1*
p2*
RM
µ3
µ4
Curva
COMP
DR3
RM2
CM
RM3
0
µ2
D
DR2
p3*
µ1
q3*
q2*
q1*
Quantità
1
2
3
4
Numero di imprese
La curva COMP: Derivazione analitica (1)
I dati rilevanti del nostro esempio sono i seguenti:
 funzione di domanda (inversa): p(Q) = 10 – Q,
 funzione di costo totale: CT(Q) = 4 + q,
dove Q è la quantità prodotta complessivamente e q la quantità prodotta
dalla singola impresa.
Per determinare quale sia la quantità di equilibrio per la singola
impresa quando vi sono n imprese e quali siano il prezzo e il mark-up
corrispondenti, definiamo il problema di massimizzazione dell’impresa
nell’aspettativa che tutte le altre producano la stessa quantità q :
max 10  q i  ( n  1 )q q i  b  q i
qi
[FOC]
[FOC]
10  2 q i  ( n  1 )q  1  0
qi 
9
2

( n  1)
2
q
La curva COMP: Derivazione analitica (2)
PRIMO PROCEDIMENTO
Sostituiamo a q nella FOC la formula per qi.
( n  1)  9 ( n  1) * 
qi  
qi 
 
2
2 2
2

*
qi 
*
9
9
2

9
4
( n  1) 
( n  1)
4
2
*
qi
( n  1)  9

qi 1 
  2  ( n  1)
4

 4
2
*
 3  n  2n  9
qi 
  (3  n )
4

 4
2
*
 (3  n )( n  1 )  9
qi 
  (3  n )
4

 4
*
qi 
*
4
9
(3  n )( n  1 ) 4
(3  n ) 
9
( n  1)
La curva COMP: Derivazione analitica (3)
SECONDO PROCEDIMENTO
Sommiamo le FOCs di tutte le imprese qi e ricaviamo, quindi, qi.
*
i qi 
*
q1 
9
1
*
i qi 

*
qn 
1
  i n q i
2 2
2
n
9
*
 n  1
q

n

 i i
2
 2 
*
  i 1 q i
2 2
9 1
*
*
q 2    i2 qi
2 2
9
9
*
9
*
2
9
qi 
*
1
2
qi 
2


1
2
1
2

q j  qi
j

q j 
*
*
j
9
2
*

n 
9

q i  9 1 

 n  1 n  1
*
9n
n1

9 n
2n 1
1
2
 n  1  i q i
*
La curva COMP: Derivazione analitica (4)
Calcolata la quantità di equilibrio della singola impresa in funzione del
numero complessivo di imprese, q , è semplice ricavare le altre
grandezze di interesse, come mostriamo di seguito.
*
i ,n
p n  Q   p nq i ,n   10 
*
9n
*
n  1 
 n   p n  Q   CM nq i , n  
*
*
q i ,n  p   Q  p   
*
p n q i , n  
*
RM
n
q  
i ,n
19  n
n  1 
19  n
n  1 
*
j i
q j ,n
 q i ,n
 2 q i ,n

10  n
n1
10  n
n1
1
9
n1
9 n  1  10 n  10  9 n  9
19  n
 10  p 

 p
 p
n  1 
n  1 
n  1 
La curva COMP: Derivazione analitica (1bis)
I dati rilevanti del nostro esempio sono i seguenti:
 funzione di domanda (inversa): p(Q) = a – Q,
 funzione di costo totale: CT(Q) = b + cq,
dove Q è la quantità prodotta complessivamente e q la quantità prodotta
dalla singola impresa.
Per determinare quale sia la quantità di equilibrio per la singola
impresa quando vi sono n imprese e quali siano il prezzo e il mark-up
corrispondenti, definiamo il problema di massimizzazione dell’impresa
nell’aspettativa che tutte le altre producano la stessa quantitàq :
max  a  q i  ( n  1 )q q i  b  cq i
qi
[FOC]
[FOC]
a  2 q i  ( n  1 )q  c  0
qi 
ac
2

( n  1)
2
q
La curva COMP: Derivazione analitica (2bis)
PRIMO PROCEDIMENTO
Sostituiamo a q nella FOC la formula per qi.
qi 
*
ac
2

( n  1)  a  c ( n  1) * 

qi


2  2
2
( n  1)  ( n  1) *
ac
qi 
1

qi


2 
2 
4
2
*
( n  1)  a  c

2  ( n  1)
qi 1 

4
4


2
*
 2n  a  c
*  3  n
qi 
(3  n )

4
4


2
 (3  n )( n  1 )  a  c
qi 
(3  n )

4
4


*
qi 
*
4
ac
(3  n )( n  1 ) 4
(3  n ) 
ac
( n  1)
La curva COMP: Derivazione analitica (3bis)
SECONDO PROCEDIMENTO
Sommiamo le FOCs di tutte le imprese qi e ricaviamo, quindi, qi.
*
i qi 
*
ac
*
2
ac
q1 
q2 
2


1
2
1
2
 i 1 q i
*
 i2 qi
 i n q i
*
2

1
2
 n  1  i q i
n( a  c )
*
 n  1

 i q i 
2
 2 
*
*
n( a  c )
i qi 
n
n1
(a c)

*
qn 
ac
2

1
2
*
ac
*
2
ac
qi 
1
2
qi 
2


1
2
1
2

qj
j

qj
j
*
*
 q 
*
i
 a  c  1
2
n  ac
*

q i   a  c  1 

n  1 n  1

n
2n 1
a  c 
*
La curva COMP: Derivazione analitica (4bis)
Calcolata la quantità di equilibrio della singola impresa in funzione del
numero complessivo di imprese, q , è semplice ricavare le altre
grandezze di interesse, come mostriamo di seguito.
*
i ,n
p n  Q   p nq i ,n   a 
n
*
*
n  1 
a  c  
  n   p n  Q   CM nq i , n  
*
*
q i ,n  p   Q  p   
*
*

j i
2 a  c n  1 
q j ,n
a
a
n1
c
n
c
n
n  1 
c 
a c
n1
n  1 
 a  c n  1  a  n  1   n  1    c n  1 
 p

 a p 
n  1 
n  1 
 p
n  1 
2 a  c n  1 
*
 q i ,n
p n q i , n  
n  1 
2 a  c n  1 
 2 q i ,n
RM n q i ,n  
n  1 
n1
La curva BE (1)
Equazioni
Domanda (inversa)
Domanda
(diretta)
Costo totale
Costo medio
p(q) = a – q
q(p) = a – p
CT(q) = b + cq
CMe(q) = b/q + c
Costo medio per impresa al prezzo p
Numero massimo di imprese almeno in pareggio al prezzo
p
CMe(q(p), n) = nb/(a – p) + c
n = ((a + c)p – ac – p2)/b = (a – p)(p – c)/b
Mark-up
Curva BE (esempio)
Parametri
a
b
c
Valori
10
4
1
Prezzo, p
Mark-up , µ  p - c
Imprese, n
1
0
0
3
2
1
2
2
3
2
3
1
4
3
4
5
4
5
Curva
BE
4
0
2
3
4
5
Numero di
imprese
La curva BE (1bis): Derivazione analitica
I dati rilevanti del nostro esempio sono, come prima, i seguenti:
 funzione di domanda (inversa): p(Q) = a – Q,
 funzione di costo totale: CT(Q) = b + cq,
dove Q è la quantità prodotta complessivamente e q la quantità prodotta
dalla singola impresa.
Per determinare quale sia il numero n di imprese che sono almeno in
pareggio, per un dato prezzo di equilibrio (e, dunque, per un dato markup), calcoliamo prima la curva di domanda diretta e, quindi, il costo
medio per impresa:
Q p  a  p
CMe  p , n  

CT  Q  p  / n 
Q  p / n

n  CT  Q  p  / n 
n  CT   a  p  / n 
a  p 
Q p


n b  c  a  p  / n 
a  p 

nb
a  p 
c
La curva BE (1ter): Derivazione analitica
A questo punto è sufficiente imporre la condizione di uguaglianza tra il
prezzo p e il costo medio per impresa quando il prezzo sia p –
condizione che garantisce a ciascuna impresa d’essere in pareggio, cioè
di eguagliare ricavi e costi:
p  CMe  p , n   p 
nb
a  p 
c
 ap  p  nb  ac  pc
2
  a  c  p  p  ac  nb
2
 n
 n
 a  c  p  p 2  ac
b
 a  p  p  c 
b
La curva BE (2)
Mark-up
NOTA: CMe(Q, n)  CMe(Q/n)
€
Curva
BE
€
CMe(Q0,
n'')
CMe(Q0, n0)
p0
µ0
p0
CMe(Q0, n')
CMe(Q)
CM
DH
0
Q0 Q0 Q0
n'' n0 n'
Quantità venduta 0
dalla singola
impresa
Q0
Vendite
totali
0
n' n0
n''
Numero
di imprese
La curva BE (3)
NOTA: CMe(Q, n)  CMe(Q/n)
CMe(Q0, n)
€
€
CMe(Q0,
n'')
CMe(Q0, n0)
p0
Curva BE
Mark-up
µ0
p0
CMe(Q0, n')
CM
DH
0
n' n0
n''
Numero
di imprese
0
Q0
Vendite
totali
0
n' n0
n''
Numero
di imprese
Il diagramma BE–COMP in economia chiusa
Mark-up
Il diagramma BE-COMP
del nostro esempio
Curva
BE
Mark-up
µ'
Curva
BE
4
Curva
COMP
3
2
Curva
COM
P
1
0
n'
Numero
di imprese
0
2
3
4
Numero di
imprese