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RISPOSTA DI SISTEMI ANELASTICI
Struttura sottoposta a carico ciclico in campo elastico:
l'energia che il sisma trasmette al sistema tramite il movimento del terreno (area ABC) viene accumulata dal sistema
sotto forma di energia di deformazione (energia potenziale
elastica: massima quando è massimo lo scostamento dalla
posizione di equilibrio statico) e si trasforma in energia
cinetica (massima per spostamento nullo).
f
B
energia
scambiata
A
C
Nel moto oscillatorio c'è un continuo scambio di energia, potenziale e cinetica.
L'energia dissipata in un tale sistema è solo quella legata ai vari meccanismi che
sono stati inglobati nel termine di smorzamento viscoso e che determinano, nel
sistema lasciato libero di vibrare (a cui non si fornisca quindi ulteriore energia),
oscillazioni di ampiezza via via decrescente, fino all'arresto del moto.
Nelle strutture in acciaio o cemento armato con comportamento elastico il
coefficiente di smorzamento ha valori abbastanza piccoli: al massimo,
rispettivamente, 2% e 5%.
x
Struttura sottoposta a carico ciclico in campo
anelastico:
il sistema anelastico, se ha resistenza inferiore alla
forza di inerzia indotta dal sisma, risponde entrando
in campo non lineare: subisce perciò deformazioni
irreversibili (tratto BC) e l'energia introdotta dal
sisma in parte viene trasformata in energia cinetica
(area CDE), in parte viene dissipata (area ABCE).
f
f
B
y
energia
scambiata
A
Nel moto oscillatorio il sistema accumula
deformazioni anelastiche, descrivendo dei cicli (cicli
isteretici), la cui area rappresenta l'energia dissipata.
All'energia dissipata in ciascun ciclo è associato lo
smorzamento per isteresi, che raggiunge valori ben
maggiori che non lo smorzamento viscoso.
Ad es. per un sistema elasto-plastico che raggiunga
uno spostamento massimo pari a 2 volte lo
spostamento elastico, lo smorzamento isteretico è pari
a circa il 20%.
energia
dissipata
C
E
f
f
y
D
x
energia
dissipata ad
ogni ciclo
x
Fintanto che lo smorzamento isteretico assume valori abbastanza piccoli,
l'analisi di strutture a comportamento elasto-plastico può essere effettuata, in via
approssimata, considerando ancora un sistema lineare elastico, caratterizzato da
uno smorzamento elevato xeq e da una rigidezza secante keq che variano in
funzione del modello strutturale, dei materiali e dello stato limite considerato.
Nel sistema elastico smorzato equivalente, la
costante elastica che si considera, keq, è quella
corrispondente alla linea AOD, e lo
smorzamento viscoso equivalente è dato da:
x eq 
f
F
H
E
O
1 area ABCDEF
1 W

2 OAG  ODH 2 W
D
A
B
G
x
C
Questa relazione è ottenuta uguagliando l'area ABCDEF all'energia dissipata
con uno smorzamento viscoso xeq.
La valutazione di xeq è abbastanza delicata.
L'analisi di un sistema smorzato equivalente è tanto meno approssimata quanto
più grande è il valore di xeq.
L'utilizzazione di un sistema smorzato equivalente è accettabile fino a che xeq è
piccolo. Quando l'errore che si compie è inaccettabile, bisogna procedere alla
soluzione del problema non lineare, per il quale non è possibile ottenere
soluzioni analitiche: l'equazione del moto può essere risolta solo per via
incrementale usando tecniche di integrazione numerica.
mxt   cx t   f  xt    mxG t 
Il metodo di soluzione più diffuso è il metodo step by step (Clough e Penzien),
in cui il dominio del tempo viene discretizzato in molti piccoli intervalli t e per
ciascuno di questi vengono risolte le equaz. del moto utilizzando, come valori di
spostamento, velocità, ecc. all'inizio dell'intervallo,
f
quelli ottenuti per l'intervallo precedente.
C
In ogni intervallo la rigidezza k(t) è la rigidezza
tangente nel punto del diagramma di
comportamento del sistema anelastico all'inizio
dell'intervallo di tempo che si sta considerando.
f (t+t)
f (t)
B
A
x(t)
x(t+t)
x
SPETTRI DI RISPOSTA INELASTICI
Gli spettri di risposta visti precedentemente sono stati ricavati
nell’ipotesi di comportamento indefinitamente elastico lineare del
materiale (k costante).
Nel caso di comportamento non lineare, l’equazione del moto
assume la forma:
mxt   cx t   f  xt    mxG t 
che è possibile risolvere solo per
integrazione numerica.
Supponendo per il materiale un
legame elasto-plastico perfetto,
può essere scritta introducendo il
rapporto adimensionale:
x

Fattore di Duttilità
xy
f
f
y
tgk

xy
x max
x
Dividendo per mxy e ricordando che c/m=2x e fy=kxy=m2xy, si
ottiene:
2
xG t 

2
t   2x t     t   

 xG max
in cui:
f xt 
 t  
fy

fy
m xG
reazione strutturale in forma adimensionale
Fattore di Resistenza
max
(rappresenta il rapporto fra la resistenza
limite del sistema ed il prodotto della
massa per il valore di picco
dell’accelerazione del suolo)
Fissati x ed , è possibile integrare l'eq. precedente per via
numerica ottenendo la risposta all’accelerogramma dato in
termini di spostamenti adimensionalizzati (t) e quindi di
reazione strutturale (t).
Con tale procedimento si possono ottenere diagrammi in
cui sono riportati i valori di
 max
x max

xy
Richiesta di Duttilità
in funzione del periodo proprio e per diversi valori del fattore di
resistenza .
Tali diagrammi mettono in evidenza che:
•
strutture con fattori di resistenza più bassi ( piccoli)
richiedono maggiori livelli di duttilità
la richiesta di duttilità aumenta per strutture più rigide (periodi
propri piccoli).
Utilizzando grafici di
questo tipo, è
possibile, per un
sistema di periodo T e
smorzamento x,
ricavare per
interpolazione il
valore del fattore di
resistenza  una volta
fissato il valore di .
100
80
60
40
fattore di resistenza
richiesta di duttilità ( max=xmax/xy)
•

fy
m xG
max
20
10
8
=0.2
=0.6
6
=0.4
4
=0.8
=1.0
2
1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
T [s] 2
Inoltre, per x molto piccoli, dalla mxt   cx t   k  xt   mxG t 
si può ricavare:
x  xG
e, utilizzando la  
max
fy
m xG

f
max
m

fy
m
(fattore di resistenza), si può
max
definire la pseudo-accelerazione spettrale:
S a   1 
fy
m
  xG
max
E’ quindi possibile costruire “spettri di risposta inelastici”, in
termini di pseudo-accelerazione spettrale, riferendo ogni curva
dello spettro ad un prefissato valore della duttilità richiesta.
2
Sa/g
1.8
1.6
1.4
1.2
1 (elastico)
1.25
2
4
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.5
1
1.5
2
T [s]
2.5
Tale procedimento risulta peraltro molto oneroso. Pertanto, per
la progettazione corrente, si preferisce utilizzare spettri di
risposta inelastici approssimati, ricavati da quelli elastici
applicando opportuni criteri.
Due sono i criteri generalmente adottati, dedotti da esperienze
numeriche tese a confrontare la risposta di un oscillatore elastoplastico perfetto con quella dell’oscillatore indefinitamente
elastico avente stessa rigidezza elastica e stessa massa.
Il primo criterio, che, sulla base dei risultati di esperienze
numeriche, sembra sufficientemente approssimato per sistemi con
valori di T superiori al periodo dominante del sisma, consiste
nell’assumere uguali gli spostamenti relativi massimi. Infatti, dato
un accelerogramma, per piccoli valori di x, e fy variabile entro
certi limiti, lo spostamento xmax di sistemi elasto-plastici perfetti
non si discosta sensibilmente dal valore xe,max del corrispondente
sistema elastico.
f
e,max
f
y
xy
x max

x e,max
x
Pertanto, si può ritenere:
f
e,max
f
 max
y
xe ,max
f e ,max
x max



xy
xy
fy
e, in via approssimata, la
S a   1 
xy
f max  kS d   mS d  mS a
2
fy
m

f e,max
m

x max

x e,max
x
può essere scritta:
S a   1

quindi, in definitiva, lo spettro inelastico può ottenersi da quello
elastico scalato del fattore di duttilità.
Il secondo criterio, che dalle esperienze numeriche sembra
approssimare meglio i casi di strutture con periodo proprio
iniziale intermedio, consiste nell’imporre l’uguaglianza
dell’energia dissipata dai due sistemi, quello elasto-plastico e
quello elastico corrispondente.
f
Ciò equivale a porre uguali le
aree dei poligoni (OCDE) ed
(OAB), ovvero di (B’DEB) e
(CAB’):
f
y
O
f y x max  xe ,max  
A
e,max
C
xy
B'
D
B
E
x e,max x max
1
 f e,max  f y xe,max  x y 
2
dividendo per fyxy, , poiché è
f e ,max
fy

x e ,max
, si ottiene:
xy
 xe ,max

xmax xe ,max 1  f e ,max


 1
 1
 x

xy
xy
2  f y
 y


f e ,max
f e ,max
fy
fy

1  f e ,max

 1

2  f y

2
 2  1
Pertanto, si può scrivere:
S a   1 
fy
m

f e,max
m 2  1

S a   1
2  1
In definitiva, fissato , si
può ricavare il
Fattore di Riduzione delle
Forze Spettrali
f 
fy
f e ,max
Occorre notare che, per bassi valori
di , i due criteri praticamente si
equivalgono, mentre al crescere di ,
il secondo criterio fornisce valori
sensibilmente più bassi di f..
Alternativamente, fissato fy, dagli
spettri elastici si può dedurre la
duttilità richiesta:
 max
xe ,max
f e ,max
x max



xy
xy
fy
1

S a   1  


S a   1  1
 2   1
f
1
0,5
criterio di
1
equivalenza
2  1 energetica
f 
f 
1 criterio di
equivalenza degli
 spostamenti
0
1
2
3
4
5
6
7
8

9 10 11 12 13 14 15 16
4
Sa/amax
3.5
3
2.5
4
uguale spostamento
2
uguale energia
uguale energia
elastico
uguale spostamento
1.5
uguale
accelerazione
1
0.5
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
T [s]
2