Transcript Argomenti di questa lezione: • Scomposizione di moti, esercizio sul

Lezione mecc n.9
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Argomenti di questa lezione:
• Scomposizione di moti, esercizio sul
moto di proietti
• Ulteriori dettagli sulle forze viscose
• Ulteriori informazioni sulle equazioni
differenziali
• Approfondimenti su aspetti riguardanti
equazioni differenziali lineari
• Esempi applicativi
Lezione mecc n.9
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Composizione di moti
Esercizio: moto di proietti. Un oggetto di massa M viene
lanciato a con velocità V=(Vx, Vy). Come si muove? Per
quanto tempo resta in volo? A quale distanza ricade a
terra?
g
V
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Moto di proietti
In prossimità della superficie terrestre a è
uniforme (= indipendente dalla posizione) e
costante (= indipendente dal tempo).
Vale g≅9.81m/s2 ed è diretta verso il basso (è vero il
contrario: chiamiamo basso il verso di g).
Se si lancia un oggetto e si trascura l’attrito viscoso
dell’aria, esso è soggetto solo alla forza peso:
in direzione orizzontale non accelera (vx=costante=v0x),
in direzione verticale accelera uniformemente (vy=v0y-gt).
Per le coordinate della posizione x e y basta integrare per
ottenere
x(t)=x0+v0xt
y(t)=y0+v0yt-(1/2)gt2
la prima equazione è invertibile: si può ricavare t(x)
sostituendo t(x) nella seconda, si ottiene una y(x) che è una
funzione il cui grafico corrisponde alla traiettoria.
Per semplicità, oltre a t0=0, scegliamo x0=y0=0
x(t)=v0xt, da cui t(x)=x/v0x
y(t)= v0yt-(1/2)gt2=
=(v0y/v0x)x−(1/2)g(x/v0x)2=x{(v0y/v0x)−[(1/2)g/v0x2]x}
il grafico è parabolico,
la concavità è diretta verso il basso,
la parabola interseca l’asse x nell’origine (ovvio: l’abbiamo richiesto noi!)
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la parabola interseca l’asse x in un altro punto
cerchiamone l’ascissa imponendo y=0 dopo aver semplificato
per x (y=0 è un eq. di 2° grado spuria)
otteniamo x=2v0xv0y/g, questa è la gittata D
se θ è l’angolo di sparo,
v0x=v0cos(θ)
v0y=v0sinθ,
e la gittata ha l’espressione
D=2v02cosθsinθ/g=(v02/g)sin2θ.
Per quali valori di θ si ha massima D?
Esistono valori di θ diversi che danno alla stessa gittata?
Tempo di salita:
Tempo necessario per azzerare vy. A quale t vy(t)=0 ?
tsalita=v0y/g
Il tempo di discesa è identico, quindi tvolo=2tsalita.
In x il moto è uniforme, per cui la gittata è D=v0xtvolo.
Angoli complementari danno gittate identiche, ma tempi di volo diversi.
Attenzione: il fatto che in questo caso la traiettoria sia descritta da una
funzione y(x) non è generalizzabile: normalmente le curve necessarie
a descrivere le traiettorie NON sono grafici di funzioni!
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Attrito viscoso e velocità limite
Modulo F=F(v), direzione di v e verso opposto.
Intesità dipendente da v (funzione crescente con v)
Condizioni stazionarie: imporre nulle le derivate temporali
Caso di forza viscosa lineare: non diamo solo vLimite, ma
scendiamo in dettaglio, per trovare v(t)
F=−γv
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Natura delle equazioni che discendono da F=Ma
Aspetti “matematici” del problema e
denominazione/caratterizzazione delle equazioni che ci si
trova a dover impostare, affrontare e, se possibile, risolvere.
Classificazione delle equazioni differenziali
Lineari p.es. ma=-γv-kx
Non lineari tipo ma=αv2+βvx+γx2+εsin(kx)
Equazioni differenziali lineari: ordine, omogeneità,
dipendenza temporale dei coefficienti.
Ordine (qual è la più alta derivata)
Numero di soluzioni indipendenti (=ordine)
Condizioni iniziali necessarie (=ordine)
eq. omogenee/eq. non omogenee
coefficienti: sono costanti o dipendono dal tempo?
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Alcune famose equazioni del moto. Alcuni esempi di
equazioni differenziali lineari del 1° e del 2° ordine,
omogenee e non.
Caduta libera
Moto armonico
Moto armonico di una massa sospesa
Moto in un mezzo viscoso
Caduta in un mezzo viscoso
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Due soluzioni di un’equazione differenziale non
omogenea differiscono per una funzione che risolve
l’equazione omogenea associata
Le soluzioni dell’omogenea costituiscono uno spazio
lineare
Se sommo ad una soluzione particolare di un’equazione
non omogenea una combinazione lineare di soluzioni
dell’omogenea associata, trovo una nuova soluzione
della non omogenea.
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⇒ Tutte e sole le soluzioni della non omogenea si
trovano sommando a una soluzione particolare della non
omogenea combinazioni lineari di soluzioni
dell’omogenea.
Esempio 1: paracadutista
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Esempio 2:
moto armonico in presenza della gravità
Paracadutista: ruolo della condizione iniziale.
Casi un po’ più generali: moti armonici in presenza di
attrito viscoso.
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E se invece c’è attrito radente?
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