Transcript Cenni sul calcolo Differenziale ed Integrale

Cenni sul calcolo
Differenziale ed
Integrale
Insiemi , Numeri naturali
La prima presentazione assiomatica dei numeri naturali risale al 1890 e si deve a
Peano
Assiomi di Peano
1. Se P 1 è uno zero allora è un numero naturale
Numeri
Sono familiari i seguenti tipi di numeri:
1. I numeri naturali 1, 2, 3,…..N interi positivi usati per numerare N;
2. Gli interi relativi e lo zero –N,…..-4, -3, -2, -1, 0 . L’insieme di
numeri interi positivi e negativi costituisce l’insieme degli interi
Z
0, ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ……. ± N
3. Numeri razionali o frazionali Q ½, 2/3 permettono di risolvere
equazioni del tipo b x = a .
4. Numeri irrazionali non possono essere espressi da frazioni numero
irrazionale è il numero π.
5. I numeri reali
L’insieme dei numeri naturali, numeri razionali, numeri irrazionali costituiscono
l’insieme dei numeri reali.
Rappresentazione geometrica dei numeri reali.
Consideriamo una retta fissiamo su di essa un’origine associando ad esso il numero
zero fissiamo un’unità di misura ed associamo ad ogni punto un numero reale.
½
-1
0
π
2
1
2
3
Un’insieme di numeri reali sull’asse reale costituisce un’insieme unidimensionale di
punti.
Intervalli
Insieme chiuso
E’ costituito dall’insieme dei punti compresi nell’intervallo a ≤ x ≤ b punti a e b
compresi l’intervallo si indica [a , b]
x
[a
b]
Intervallo aperto
E’ costituito da tutti i punti compresi nell’intervallo esclusi.
a< x < b (a,b)
si indica ( a, b)
]a
b[
Intervallo semiaperti
E’ costituito da tutti i punti compresi negli intervalli:
a < x ≤ b aperto a sinistra e chiuso a destra
si indica ( a, b]
a ≤ x < b aperto a destra chiuso a sinistra
si indica [ a , b)
a è l’estremo inferiore dell’intervallo
b è l’estremo superiore dell’intervallo
b – a lunghezza dell’intervallo
(b- a)/2 raggio dell’intervallo
(a+ b)/2 centro dell’intervallo
[a,∞)
Intervalli illimitati
[a
∞ [
X | x ε R, x ≥ a
Intervallo chiuso illimitato superiormente
X | x ε R, x > a
]a
∞[
Intervallo aperto illimitato superiormente
X | x ε R, x ≤ a
X | x ε R, x < a
]∞
a]
Intervallo chiuso illimitato inferiormente
]∞
∞
a[
Intervallo aperto illimitato inferiormente
Insieme limitato superiormente maggiorante di un insieme
Un insieme E si dice limitato superiormente quando
∀xεA x≤b
]-∞
b]
in questo caso b è un maggiorante di E.
nel caso il punto b non appartiene all’insieme E
b = sup ( E) ma non è maggiorante
Insieme limitato inferiormente minorante di un insieme
Un insieme E si dice limitato inferiormente quando
∀xεA x ≥a
[a
[∞
in questo caso a è un minorante di E
nel caso il punto a non appartiene all’insieme E
a = inf ( E) ma non è minorante
Estremo superiore ed inferiore di un insieme limitato di numeri reali
Se l’insieme E è finito allora tra i suoi numeri ne esiste uno che è il più piccolo di
tutti diciamo m ed uno che è il più grande di tutti diciamo M.
In questo caso :
m = minimo di E
M = massimo di E
Teorema
Ogni insieme non vuoto di numeri reali, superiormente limitato, ammette
l’estremo superiore
Consideriamo l’insieme E ≡ [2 , 7)
[2
7)
questo insieme non ha massimo, il numero 7 non appartiene all’insieme.
In base al teorema essendo l’insieme superiormente limitato ammette l’estremo
superiore
S =sup (E)= 7
Perché 7 sia l’estremo superiore deve soddisfare le condizioni:
Un insieme E si dice limitato superiormente quando
∀xεA x≤b
]-∞
b]
in questo caso b è un maggiorante di E
[2
s =sup E=7
7)
7 non è il maggiorante
Né consegue che 7 è l’estremo superiore di E ma non è il maggiorante perché 7 non
appartiene all’insieme.
Questo insieme ha minimo, il numero 2 che appartiene all’insieme.
In base al teorema essendo l’insieme limitato inferiormente ammette l’estremo
inferiore
i =inf (E)= 2
Perché 2 sia l’estremo inferiore deve soddisfare le condizioni:
Insieme limitato inferiormente minorante di un insieme
Un insieme E si dice limitato inferiormente quando
∀xεA x ≥a
[a
[∞
in questo caso a è un minorante di E
ne consegue che 2 è un minorante di E
Determinare l’estremo superiore e inferiore dell’insieme di numeri reali.
2n+3
E≡
n ε N+
x|x=
5n
2
n= 1
x=
3
+
=1
5
5
2
n=∞ x=
5
2
<x ≤1
5
s= sup (E)=1
2
i=inf (E)=
5
massimo = 1
non ha minimo
Intorni di un numero o di un punto
Si chiama intorno completo di un numero reale ( o di un punto) c un qualsiasi
intervallo aperto che contenga c. In particolare gli intervalli aperti di centro c sono
intorni di tale punto.
Questi intorni di c sono circolari il che vuol dire che assegnato
il raggio δ tale intorno si indica con la relazione.
|x–c|<δ
L’insieme dei punti che soddisfa la relazione è l’insieme dei reali R tale che
0<|x–l|<δ
c-δ
c +δ
c
Intorno destro di un punto o un numero
Si dice intorno destro di un punto c ogni intervallo aperto a destra,
che abbia c come estremo inferiore.
+∞ [
[c
Ad esempio nell’intervallo [ 3, 5) costituisce un intorno destro del numero 3, mentre
3
5
l’intervallo ( 1, 3] costituisce l’intorno sinistro nel numero 3.
In generale dato un punto c
|x–c|<δ
c-δ
< x < c +δ
intervallo sinistro
] c- δ
intervallo destro
c+δ[
c
Si dice intorno sinistro di un numero
Ogni intervallo aperto a sinistra che abbia c come estremo superiore
+∞ [
c[
Punti limiti o punti di accumulazione
Il punto l si dice punto di accumulazione di E quando in ogni intorno di l esiste
almeno un punto di E , distinto da l.
Se esiste per l’insieme il punto di accumulazione l vuol dire che comunque assegnato
un numero piccolo δ > 0 possiamo trovare un elemento dell’insieme nell’intervallo.
l -δ <x <l +δ
|x–l| <δ
l-δ
l +δ
l
Un punto di accumulazione l può appartenere all’insieme stesso , oppure può non
appartenere.
Teorema
Se l è un punto di accumulazione di E, in ogni intorno di l cadono infiniti punti.
Teorema di Bolzano
Ogni insieme limitato ed infinito di E di numeri reali, ammette almeno un punto di
accumulazione.
∞[
l
[c
Determinare gli eventuali punti di accumulazione dell’insieme.
1
con n ε R
E=
N
2
0
∞
E è infinito e limitato
n =∞ E =0; n=1 E=1
Per il teorema di Bolzano ammette almeno un
Punto di accumulazione.
1
1
n
E= [1, 0[
Lo zero è un punto di accumulazione di E infatti posto
ε >0 posto N = 1/ ε 2
n >1/ ε 2 ⇒ ε >1 / n 2
n>N
Punti interni, esterni e di frontiera
Punti interni
Un punto c si dice interno all’insieme E se esiste un intorno di c il quale sia
interamente costituito da punti che appartengono ad E
[a
c -δ
δ
c
c+δ
b]
Punti esterni
Un punto c si dice esterno all’insieme E se esiste un intorno di c il quale non
contenga alcun punto di E .
E
b] c - δ
[a
c
c+δ
δ
Punto di frontiera
Un punto si dice di frontiera per l’insieme E se non è né interno né esterno ad E, vale
a dire, se in un qualsiasi intorno di c , cada almeno un punto di E ed almeno un punto
del complementare di E.
c
Calcolo differenziale ed integrale No
Questi appunti di analisi hanno lo scopo di rendere familiare il calcolo differenziale
ed integrale, partendo dalla nozione di accrescimento sinonimo di derivata si
utilizzeranno nozioni differenziali che tutti possiedono almeno intuitivamente,
velocità e spazio, pendenza ed altezza, ecc.
I principi del calcolo integrale e
differenziale sono d’una semplicità
inimmaginabile, nella realtà possiamo
dire che non esiste alcuna scienza che
con trovi la sua origine nelle cose
semplici da cui, necessariamente,
bisogna partire per comprendere.
Possiamo quindi introdurre il calcolo
integrale e differenziale proprio come
l’aritmetica elementare con l’aiuto di
semplici esempi.
Nello studio non scoraggiatevi se non
capirete, ritornerete sopra più tardi, non
scoraggiatevi seguite il consiglio di
d’Alambert << andate avanti la fede
verrà >>
Bertrand Russell affermava che la
matematica è una scienza nella quale
s’ignora di che cosa si parla e non si sa
se ciò che si dice sia vero.
Noi non prenderemo alla lettera
Russell, cercheremo di cogliere i punti
oscuri per stabilire l’essenziale.
Abbiamo definito cosa si intende per
grandezza , come ad essa è associabile
un numero. Queste grandezze possono
essere delle costanti o delle variabili.
Grandezze
Vengono classificate in due categorie:
• Grandezze costanti. Conservano
sempre lo stesso valore, la distanza
Lecce – Bari è sempre la stessa,
normalmente queste costanti si
indicano con una lettera, π per il
numero 3,14…, V per velocità, in
generale possiamo dire che una
grandezza costante si può indicare
con le lettere dell’alfabeto, a, A, b,
B, ecc. Una grandezza costante è
rappresentabile graficamente , ad
esempio se la velocità di una
automobile V=100 Km/h il suo
grafico risulta.
V=100 Km
t (h)
• Grandezze variabili.
Possono assumere
differenti valori.
Ad
esempio la velocità del treno
Milano – Lecce, non è costante nel
tempo, la pressione atmosferica,
possono assumere diversi valori.
Sono rappresentate dalle lettere
dell’alfabeto t ,x , y, z, u, v minuscolo o
maiuscolo.
Ad esempio l’espressione :
La grandezza variabile t è detta
variabile indipendente.
lato(cm)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
‘y =
a t2
2
• rappresenta il prodotto di
grandezze
• ½ , a,
costanti
• t
variabile
tre
Funzioni
Osservando l’espressione possiamo
dire che y assume valori che dipendono
dalla variabile t.
Qualsiasi grandezza che dipende da
un’altra è funzione di quest’ultima .
Nel nostro caso la funzione y dipende
dalla grandezza variabile t.
La grandezza variabile y è detta
variabile dipendente .
area(cm2)
0
1
4
9
16
25
36
49
64
81
100
121
144
169
196
Il grafico di figura ci conferma che la
funzione è del tipo
y= x 2
con y = area quadrato
x = lato quadrato
area(cm2)
La grandezza variabile y è detta
variabile dipendente .
La grandezza variabile t è detta
variabile indipendente.
250
200
150
area (cm 2)
100
50
0
1
Consideriamo alcune semplici funzioni
Supponiamo di conoscere i seguenti
dati che ci informano come varia l’area
di un quadrato in funzione del suo lato
3
5
7
9
11 13 15
Funzioni continue e discontinue
L’area del quadrato è funzione del suo lato e cresce in modo continuo non a scatti
cioè ad ogni valore del suo lato corrisponde una ed una sola area del quadrato. Cioè la
funzione è continua quando può passare da un valore ad un altro prendendo tutti i
valori intermedi.
Consideriamo la funzione
1
Dal grafico possiamo vedere che ad esempio nell’intervallo
[0,
15] sono presenti
‘y=
infiniti valori ad ogni valore del lato corrisponde un solo dell’area.
x
la cui rappresentazione geometrica
Se consideriamo ad esempio la crescita di un muro
di mattoni possiamo dire che essa
risulta.
è un multiplo dello spessore del mattone.
y=nx
n = numero mattoni
x = altezza mattone
In questo coso l’altezza del muro non può passare da una altezza alla successiva
attraverso infiniti valori. Tutte le funzioni che rispondono a questo requisito sono
dette discontinue
Funzioni crescenti e funzioni decrescenti
• Funzioni crescenti
Una funzione è detta crescente quando al crescere della variabile dipendente cresce la
funzione.
Nel caso dell’area del lato del quadrato cresce la sua area quindi la funzione è una
funzione crescente.
x(cm)
y(cm2)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
1
0,5
0,333333
0,25
0,2
0,166667
0,142857
0,125
0,111111
0,1
0,090909
0,083333
0,076923
0,071429
0,066667
Mettendo sotto forma grafica i dati otteniamo il seguente grafico.
Dal grafico possiamo vedere che al crescere di x la funzione y decresce .
Ogni qual volta la funzione e la variabile vanno nel senso inverso la funzione è
decrescente.
Per la funzione
No
1
‘y=x
possiamo rappresentare i seguenti dati:
x(cm)
y(cm2)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
-1
-0,5
-0,33333
-0,25
-0,2
-0,16667
-0,14286
-0,125
-0,11111
-0,1
-0,09091
-0,08333
-0,07692
-0,07143
-0,06667
Dal grafico si deduce al crescere di x cresce la funzione quindi la funzione può considerarsi
crescente.
Funzioni
Si chiama funzione reale di una variabile reale una qualsiasi legge che fa
corrispondere ad ogni elemento di x ε A uno e uno solo elemento di y.
X variabile indipendente
Y variabile dipendente
X1
Dominio
Insieme di esistenza
Insieme di definizione
Le funzioni analitiche si distinguono in due classi:
• Funzioni algebriche
Y= 3 x 2+ 5
• Funzione non algebrica o trascendente
(y = sin x , y = a x , y = log a x , ..)
y1
codominio
Insieme di esistenza di una funzione
Esprime analiticamente l’insieme dei valori della variabile indipendente x per i quali
hanno significato le operazioni che si devono eseguire su di essa per avere il
corrispondente della y.
Determinare l’insieme di esistenza delle funzioni
Y = 5 x2 – 4x + 1 definita per ∀ x ε R
1 – x2
Y=
Ha senso la radice solo se 1 – x 2 ≥ 0
X2 – 1 ≤ 0
x 1= 1 x 2= - 1 valori interni
[- 1
∀x ε
1]
-1≤x≤1
•
x-1
Y=
X (x – 1)
x–1 ≥0
x–1
x ≥1
≥0
x ( x – 1) ≥0 x ≠0 x ≠ 1 x + 1 ≥0 x ≥ -1
X (x + 1)
x-1 ≥ 0
1
x+1≥0
-
-1
+
0 -
( -1 , 0) [+1, ∞ ) y positiva
•
1
+
+2
Si calcola la funzione per x =2 questa
maggiore di zero quindi positiva.
Tenendo conto che attraversando una
radice la funzione cambia di segno
possiamo attenere il grafico di fig.
Y = log ( x 2 – x -1)
log ( x 2 – x -1) ≥ 0
x 2 – x -1 ≥ 1
x2 – x - 2 ≥ 0
1+ 3 = 2
2
1 ± 1+8
x½ =
=
2
1–3
= -1
2
-1
2
per ogni x ε ( -∞ - 1] e [2, +∞)
y=
ln sin x
ln sin x ≥ 0
π
sin x ≥ 1
sin x =1 x = + 2 k π ; k = 0, ±1 , ±2,
2
l’insieme di esistenza è costituito da infiniti punti isolati perciò non riempie nessun
intervallo.
•
f(x)= sen ln (e x –1)
sen ln (e x –1) ≥ 0
e x –1> 0
e x > 1 x >0
2kπ≤ ln (e x –1)≤(2k +1)π
ln 2kπ≤ e x –1)≤ ln (2k +1)
ln e 2kπ +1≤ x ≤ ln e (2k +1)
KεZ
Estremi di una funzione
Estremo superiore
Dire che il numero L è l’estremo superiore di f(x) significa:
L = sup f(x)
1. Che nessun valore della funzione nel suo domino A supera L
2. Fissato ad arbitrio un numero positivo ε > 0 esiste in A almeno un
punto in cui risulta
f (x o) > L - ε
L
codominio
f(x0)
L -ε
x0
A
dominio
‘f( x 0) > L - ε
Estremo inferiore
Dire che il numero L è l’estremo inferiore di f(x) significa:
L = inf f(x)
3. Che nessun valore della funzione nel suo domino A inferiore L
4. Fissato ad arbitrio un numero positivo ε > 0 esiste in A almeno un
punto in cui risulta
f (x o) < L +εε
L +ε
codominio
f(x0)
L
x0
A
dominio
‘f( x 0) < L + ε
L’estremo superiore di f(x) sarà uguale a +∞ quando:
1. Comunque si fissi un numero K >0 esiste sempre un punto
x0 in cui risulti f(x0)>K
L’estremo inferiore di f(x) sarà uguale a -∞ quando:
2. Comunque si fissi un numero K >0 esiste sempre un punto
x0 in cui risulti f(x0)<K
Una funzione si dice limitata in A quando lo sarà sia superiormente che
inferiormente
Oscillazione di una funzione
Si dice oscillazione di una funzione f(x) in A la differenza
ω = sup f(x) – inf (x)
ω=L–l
Minimo assoluto
La funzione f(x) si dice che ammette il minimo assoluto se
l=min f(x0)
• Inferiormente limitata
• Esiste in A un punto x0 in cui risulta f(x0)=l
Massimo assoluto
La funzione f(x) si dice che ammette un massimo assoluto se
L=max f(x0)
• superiormente limitata
• Esiste in A un punto x0 in cui risulta f(x0)=L
Determinare l’estremo superiore ed inferiore della funzione
Y = sin x
∀ x ε [0, 2π] la funzione è definita
la funzione ha
1 = sup sin x
1 = max sinx
-1= min sin x
Una funzione f(x): A
-1 ≤ sin x ≤ 1
- 1 = inf sin x
Ammette massimo o minimo assoluto
quando i punti oltre ad essere estremi
superiori o inferiori appartengono alla
funzione
R si dice periodica T ≠0 se
• ∀x ε A
x+ T ε A
• f(x)=f(x+T)
Data la funzione f(x)= 10 sin 3x provare se è periodica e determinare il periodo
minimo.
Sin 3(x+T)=Sin 3 x
3 x +3 T=3 x + 2 k π
2kπ
3 T= 2 k π
T=
k=1 T =
3
3
2π
Teorema
Se la funzione f(x) è periodica di periodo T, allora la funzione f(ax+b) con a >0 è
periodica di periodo T/a
Teorema
Se f(x) e g(x) sono funzioni periodiche , rispettivamente di periodo T1, T2 le
funzioni f(x) ± g(x) se non sono costanti, sono periodiche aventi come periodo il
minimo comune multiplo intero positivo di T1 e T2
f(x) = sen 3x
g(x)= sen 4x
‘ f (x)+ g(x)= sen3x +sen 4x
3x + 3T=3x + 2k π k=1
2π
T1=
3
2π
T2 =
4
2π
2π
8 π + 6π
T1 + T2 =
+
=
3
4
12
sen (3x +T) =sen(3x)
T di f(x) + g(x)
14 π 7 π
=
=
12 6
Funzioni pari o dispari
Sia A un sottoinsieme d R simmetrico rispetto allo zero cioè
‘x ε A ⇒ -x ε A
• la funzione si dice pari se risulta
f( - x) = f(x)
• la funzione si dice dispari se risulta
f( -x)= - f(x) ∀x ε A
Prodotto di due funzioni
• pari è una funzione pari
• dispari è una funzione pari
• pari e dispari e viceversa è una funzione dispari
Controllare se le funzioni sono pari o dispari
• Y= x 2 f(-x)=f(x) ⇒ f(-x)= (-x) 2
• 3 x
dispari
f(x)=(x)2 pari
Funzioni composte
Siano
f :A
Be
g: C
D
Due funzioni di variabile reale f(A) ⊆ C
In tali ipotesi ad ogni x ε A è associato il numero f(x) , a questo
numero , in quanto elemento di f(A) e quindi di C , è associato il
numero reale g[f(x)].
In tal modo ad ogni x ε A viene associato quell’unico elemento yε D,
dato dalla funzione
Y= g[f(x)]
sia
f (x) = x + 1
g(u) =x 2
(g o f) (x) = (x+1) 2
(f o g) (x) = x 2 + 1
la legge di composizione non gode della proprietà commutativa.
Funzioni monotòne
Sia f(x) una funzione reale della variabile reale x, definita nell’insieme A, e A
contenga almeno due punti.
Funzione crescente
Si dice che f(x) è crescente in A quando per ogni coppia di punti x 1 , x 2 di
A avremo:
se x 1 < x 2 segue
f( x1)< f(x 2)
Funzione decrescente
Si dice che f(x) è decrescente in A quando per ogni coppia di punti x 1 , x 2
di A avremo:
se x 1 < x 2 segue
f( x1)> f(x 2)
cioè al crescere di x decresce f(x).
Funzione non crescente
Si dice che f(x) è crescente in A quando per ogni coppia di punti x 1 , x 2 di
A avremo:
se x 1 < x 2 segue
f( x1)≥ f(x 2)
Funzione non decrescente
Si dice che f(x) è decrescente in A quando per ogni coppia di punti x 1 , x 2
di A avremo:
se x 1 < x 2 segue
f( x1)≤ f(x 2)
cioè al crescere di x cresce f(x).
y
non decrescente
crescente
decrescente
x
non crescente
Una funzione si dice monotòna in A quando essa è ivi crescente o
decrescente o non crescente o non decrescente
1
La funzione y =
definita R – ( 0)
X
Decrescente sia nell’intervallo (-∞ , 0) che (0, ∞)
Funzione costante quando per ogni valore di x assume sempre lo stessso
valore
y
.
x
Funzioni invertibili
Sia f una corrispondenza biunivoca di A
B . Sappiamo che ad ogni
elemento di B è immagine di un solo elemento di A.
In questo caso la f definisce
g:B
A ottenuta , se
Y= f(x)
Ponendo
X= g(y)
La funzione g si chiama inversa della f e si indica con f -1. In tal caso si
dice che la funzione è invertibile.
Teorema
Se f: A
B è monotona crescente , o decrescente , allora essa è
invertibile, e la sua inversa è anche monotona.
• F:R
R , con f(x) = 2 x +1
La funzione è crescente in R ne consegue che è invertibile
‘y=2x+1
y -1
–1
f (y)= x =
2
inversa di y
x
y
y
1
- 1/2
x
-½
Determinare la funzione inversa y= 1 – 2 – x
2–x = 1 – y
log 2 2 – x = log 2 (1 –y )
- x = log 2 (1 –y )
x = - log 2 (1 –y )
intervallo di definizione dell’inversa
( -∞ , 1)
Da notare che una funzione può essere invertibile senza essere monotona.
• Sia data la funzione
‘x+1
per x ε R - Q
‘x
per x ε Q
‘ f(x) =
la funzione è invertibile
y –1 per x ε R - Q
–1
f (y)=
x
per x ε Q
Funzioni inverse delle funzioni circolari
Funzione arcsen
La funzione y = sen x nel suo dominio non è né crescente ne decrescente
è solo periodica di periodo 2 π.
-π
π
Se conveniamo di far variare x soltanto nell’intervallo chiuso
,
2
2
la funzione è sempre crescente ed y = sen x assume valori compresi tra
- 1 a +1.
Quindi in questo intervallo chiuso la funzione è invertibile
X = arcsen y
Funzione arcos
La funzione y = cos x nel suo dominio non è né crescente ne decrescente
è solo periodica di periodo 2 π.
Se conveniamo di far variare x tra [0, π ] la funzione varia tra 1 a –1
Ne consegue che il campo di esistenza dell’inversa [-1, 1] ed è ivi
decrescente. In tale dominio esiste l’inversa:
X = arcos y
Dominio dell’arcos y [ 0, π]
Da notare che sussiste l’identità
π
Arcsen y + arccos y =
2
Funzione arco tangente
La funzione y = tang x nell’intervallo ( -π / 2, π/2) è crescente e varia
da ( -∞ , + ∞) da ciò il campo di definizione dell’inversa R
x = arctang y
Funzione arco cotangente
Y=ctg x è decrescente nell’intervallo (0, π) è varia nell’intervallo
(- ∞, +∞) cioè tutto R
x = arcotg y definita (0, π)
Limiti delle funzioni reali di una variabile reale
1 caso
Sia f(x) una funzione reale di variabile reale definita nell’intervallo [a,b]
sia c un punto interno a tale intervallo. Molte volte ci interessa esaminare
i valori che essa assume quando alla x si attribuiscono valori di [a, b]
prossimi al numero c .In altre parole ci interessa studiare il
comportamento della f(x) in convenienti intorni del punto c , escluso
sempre il punto c.
y
l +ε
l
l -ε
C –δ
c
c +δ
x
H
Può darsi che attribuendo ad x valori sufficientemente vicini a c senza
per altro coincidere con c , i valori della f(x) risultano sufficientemente
vicini al numero l.
Più precisamente , fissato un numero ε >0 , arbitrario, si consideri la
striscia orizzontale avente per mediana y = l e semiampiezza ε, può
darsi che sia possibile determinare un intorno H di c dipendente dalla
striscia e quindi da ε . Per ogni x del quale il corrispondente punto della
curva sia interno alla striscia , cioè abbia un’ordinata f(x) che differisce ,
in valore assoluto , da l meno di ε , ossia può darsi che in tali punti
risulti soddisfatta la disequazione
| f(x) – l | < ε
2 caso
Può darsi che attribuendo a x valori sufficientemente vicini a c i valori
corrispondenti della f(x) risultino in valori assoluti , sempre più grandi
oltrepassando qualunque numero fissato ad arbitrio.
Più precisamente fissato ad arbitrio un numero K > 0 può darsi che sia
possibile determinare un intorno completo H di c ( dipendente da K) per
ogni x della quale il corrispondente punto della curva abbia ordinata che
superi, in valore assoluto , il numero K; ossia può darsi che in tali punti,
diversi da c risulti
|f(x)|>K oppure f(x) >k oppure f(x)< -k
y
f(x)>k
+k
0
c
x
-k
f(x)<-k
3 caso
Il comportamento del caso 1, caso 2, può presentarsi anziché in un
conveniente intorno completo di c , in un conveniente intorno destro o
sinistro del punto c.
‘l+ε
l
‘l-ε
c-δ
c +δ
c
H-
H+
Può avvenire che di considerare i valori che assume la f(x) per valori di x
, sempre più vicini a un numero c , si debba esaminare come si
comportano i valori della f(x) quando alla x si attribuiscono valori
positivi o negativi, sempre più grandi in valore assoluto. Evidentemente ,
in questo caso l’intervallo della funzione deve essere non limitato
superiormente o non limitato inferiormente, oppure non limitato né
inferiormente né superiormente. In questa circostanza si possono
presentare i seguenti casi:
a) Può darsi che attribuendo ad x valori sufficientemente grandi i valori
corrispondenti della funzione risultino sufficientemente vicini a un
numero l.
y
‘ l +ε
l
‘ l- ε
N
x
Più precisamente , si fissi un numero arbitrario ε >0 , e si consideri la
striscia orizzontale , avente come mediana la retta y=l e semiampiezza ε.
Può darsi che sia possibile determinare un numero N >0 tale che per ogni
x che superi, in valore assoluto N, il corrispondente punto della curva sia
interno alla striscia , cioè abbia un’ordinata f(x) che differisce , in valore
assoluto, da l meno di ε, ossia , può darsi che in tali punti risulti
verificata la disequazione.
|f(x) – l|<ε
b)Infine può darsi che attribuendo a x valori sufficientemente grandi i
corrispondenti valori della f(x) risultino, in valore assoluto, sepre più
grandi , oltrepassando qualunque numero fissato ad arbitrio.
y
k
N
x
Limite finito per una funzione in un punto
Sia f(x) una funzione definita in un intervallo [a,b] escluso il punto c
Si dice che la funzione f(x), per x tendente a c, ha limite il numero l, e si
scrive:
Lim f(x) = l
x->c
quando in corrispondenza di un numero arbirtario ε >0, si può sempre
determinare un intorno completo H del punto c , tale che per ogni x di H,
escluso eventualmente c, risulti soddisfatta la disequazione
| f(x) – l| < ε
l - ε < f(x) < l + ε