Transcript Κβαντομηχανική

KBANTOMHXANIKH
Είναι η φυσική του μικρόκοσμου
Κεντρική θέση σ αυτήν κατέχει η εξίσωση Schrodinger
(είναι για το μικρόκοσμο ότι οι νόμοι του Newton για το μακρόκοσμο).
Ο ΣΩΜΑΤΙΚΟΣ ΧΑΡΑΚΤΗΡΑΣ ΤΩΝ Η/Μ ΚΥΜΑΤΩΝ
ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑ ΜΕΛΑΝΟΣ ΣΩΜΑΤΟΣ.
Θερμική ακτινοβολία είναι η ακτινοβολία που προέρχεται από υψηλή
θερμοκρασία.
Μέλαν σώμα είναι το σώμα που έχει την ιδιότητα να απορροφά πλήρως
και να εκπέμπουν κάθε ακτινοβολία. Στη συνηθισμένη θερμοκρασία
είναι μαύρα.
Ένα μελανό σώμα εκπέμπει
ακτινοβολία, που ανάλογα με τη
θερμοκρασία του ένα μέρος της μπορεί να βρίσκεται και στην ορατή
περιοχή.
ΝΟΜΟΙ ΤΗΣ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑΣ ΜΕΛΑΝΟΣ ΣΩΜΑΤΟΣ.
1. ΝΟΜΟΣ STEFAN- BOLTZMAN
A = σ ⋅ Τ4
A=
P
S
Οποιοδήποτε σώμα και εκπέμπει και απορροφά ακτινοβολία.
• Αν
• Αν
•
T > TΠ
T < TΠ
Α: αφετική ικανότητα :
τότε τελικά εκπέμπει.
τότε τελικά απορροφά.
ΙΣΧΥΣ
ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ
Τ: απόλυτη θερμοκρασία του σώματος
Τ Π απόλυτη θερμοκρασία περιβάλλοντος
Επιμέλεια: Γαβριήλ Κωνσταντίνος
Καθηγητής φυσικής
www.fisikis-evagelia.gr
Η Αολ είναι
(
Α ΟΛ = σ ⋅ Τ 4 − Τ 4 Π
)
2. ΝΟΜΟΣ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗΣ ΤΟΥ Wien.
λMAX ⋅ T = σταθ = 2.9 ⋅10 −3 m ⋅ K
λmax: είναι το μήκος κύματος στο οποίο για μια θερμοκρασία Τ ένα
μέλαν σώμα εκπέμπει το μεγαλύτερο ποσοστό της ακτινοβολούμενης
ισχύος.
ΦΑΣΜΑΤΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΜΕΛΑΝΟΣ ΣΩΜΑΤΟΣ
I (λ ) =
+∞
dA
⇔ Α = ∫ Ι ( λ ) dλ
−∞
dλ
Συνάρτηση φασματικής κατανομής αφετικής ικανότητας ως προς το λ
(Ι (λ) ).
Η αποτυχία της κλασικής Φυσικής.
Οι Ρέιλι- Τζηνς έκαναν υπολογισμούς για το Ι(λ) στηριζόμενοι στην
αντίληψη της κλασικής που θεωρεί τα άτομα του Μ.Σ. ως ταλαντωτές οι
οποίοι ακτινοβολούν Η/Μ όλων των μηκών κύματος. Κατέληξαν στη
σχέση:
I (λ ) =
2πcKT
λ4
Στο παρακάτω διάγραμμα φαίνεται η πειραματική (συνεχής ) καμπύλη
και η θεωρητική (διακεκομμένη) που προκύπτει από τον παραπάνω
τύπο.
I
λορ
λ
Επιμέλεια: Γαβριήλ Κωνσταντίνος
Καθηγητής φυσικής
www.fisikis-evagelia.gr
Η θεωρητική των Ρέιλι- Τζηνς οδηγεί σε εκπομπή άπειρης ολικής
ενέργειας κάτι που δε συμφωνεί με το πείραμα.
ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΟΥ ΜΑΧ PLANK
E
E
4hf
3hf
2hf
hf
1
2
E = ⋅ D ⋅ x2
E=nhf
Κλασικός Ταλαντωτής
Κβαντισμένος Ταλαντωτής
Στηριζόμενος στην κβάντωση των ταλαντωτών ο Planck κατέληξε ότι:
2πhc 2
I (λ ) =
λ (e
5
hc
λKT
− 1)
Η παραπάνω συμφωνεί με τα πειραματικά δεδομένα πολύ καλά και από
αυτήν προκύπτει ο νόμος του Wien
Αν την ολοκληρώσουμε ως προς λ προκύπτει
I (λ ) =
+∞
dA
⇔ Α = ∫ Ι(λ )dλ = σ ⋅ Τ 4 (ΝΟΜΟΣ STEFAN- BOLTZMAN)
−∞
dλ
Επιμέλεια: Γαβριήλ Κωνσταντίνος
Καθηγητής φυσικής
www.fisikis-evagelia.gr
ΦΩΤΟΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ
ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑ προσπίπτει σε φωτοκάθοδο (από κάποιο υλικό) και
εκπέμπονται e, που ονομάζονται φωτοηλεκτρόνια.
Αυτά δημιουργούν ρεύμα (φωτοηλεκτρικό)
Ερμηνεύτηκε από το Einstein το 1905 γι αυτό και πήρε το βραβείο
Νόμπελ το 1921.
 Όταν η προσπίπτουσα ακτινοβολία αλλάζει ένταση δηλ. αριθμό
προσπιπτόντων e. αλλάζει και η ένταση του φωτοe ρεύματος καθώς
αλλάζει ο αριθμός των εκπεμπομένων e ανά μονάδα χρόνου.
 Η τάση αποκοπής εξαρτάται από το υλικό της καθόδου και από τη
συχνότητα της προσπίπτουσας ακτινοβολίας.
 Εκπομπή φωτοe έχουμε μόνο όταν η συχνότητα της προσπίπτουσας
ακτινοβολίας ξεπεράσει μια f ορ
 Η Κmax εξόδου των φωτοe μεταβάλλεται γραμμικά με τη συχνότητα
πρόσπτωσης.
 Η εκπομπή φωτοe γίνεται αμέσως μόλις η ακτινοβολία πέσει στη
φωτο κάθοδο.
Φωτοηλεκτρική εξίσωση του Einstein
KMAX =
1
2
mvmax
= hf − Φ
2
Φ: έργο εξαγωγής χαρακτηριστικό της καθόδου.
Για να έχω έξοδο των e πρέπει hfορ > Φ
Επιμέλεια: Γαβριήλ Κωνσταντίνος
Καθηγητής φυσικής
www.fisikis-evagelia.gr
Στην περίπτωση της αντίστροφης σύνδεσης της πηγής, όταν μηδενίζεται
το φωτοe ρεύμα ισχύει.
KMAX = e ⋅ Va = hf − Φ
Va =
hf Φ
−
e e
ΠΡΟΣΟΧΗ!!!
• Τα κβάντα του Planck είναι οι ποσότητες κατά τις οποίες εκπέμπεται
και απορροφάται η ενέργεια των Η/Μ κυμάτων.
Δεν υπάρχουν όμως τα κβάντα και ως σωμάτια που κινούνται στο
χώρο.
• Αντίθετα τα φωτόνια (Einstein) είναι σωμάτια που κινούνται στο
χώρο και μάλιστα στο κενό.
Επιμέλεια: Γαβριήλ Κωνσταντίνος
Καθηγητής φυσικής
www.fisikis-evagelia.gr
Το φαινόμενο Compton (1923)
y
y
E=hf
θ
Ελεύθερο e − (όχι δέσμιο)
p=
h
λ
e
−
e
πριν την κρούση
−
E΄= h f ΄
φ
p′ =
h
λ′
x
μετά την κρούση
Μετά την κρούση το φωτόνιο έχει μικρότερη ενέργεια Ε΄ από την αρχική
Ε.
Ε΄ < Ε
ή
hf < hf ΄ ή
f΄< f ή
λ > λ΄
Με αδο και αδε οδηγούμαστε στη σχέση
h
Δλ = λ΄- λ = m ⋅ c (1 − cos θ )
e
Το Δλ εξαρτάται από τη γωνία θ.
Η σύγκρουση του φωτονίου με δέσμια e δίνει Δλ = 10 −5 Α δηλ. 10 −15
m δηλ. περίπου η προσπίπτουσα και η εκπεμπόμενη δέσμη θα έχουν
πρακτικά το ίδιο μήκος κύματος.
Γι αυτό πρακτικά στο φαινόμενο Compton έχω σύγκρουση του
φωτονίου με τα ελεύθερα e −
Επιμέλεια: Γαβριήλ Κωνσταντίνος
Καθηγητής φυσικής
www.fisikis-evagelia.gr
Ο ΣΩΜΑΤΙΑΚΟΣ ΧΑΡΑΚΤΗΡΑΣ ΤΗΣ ΥΛΗΣ.
Φαινόμενα περίθαλψης και συμβολής του φωτός
κυματικό χαρακτήρα του φωτός .
αποδεικνύουν τον
Τα πειράματα μας οδηγούν στο αδιανόητο για την κλασική Φυσική
συμπέρασμα ότι το φως είναι συγχρόνως κύμα και σωμάτια.
Αυτό φαίνεται στη σχέση:
p=
h
λ
Ρ : είναι μέγεθος σωματικού χαρακτήρα.
λ : είναι μέγεθος κυματικού χαρακτήρα .
ΤΑ ΣΩΜΑΤΙΑ ΕΙΝΑΙ ΚΥΜΑΤΑ
ΚΑΤΑ ΤΟΝ DE BROGLIE:
λ=
h
p
για σωμάτια της ύλης και f =
E
είναι η συχνότητα που έχει
h
κάθε σωμάτιο ενέργειας Ε. (ισχύουν για σωμάτια με μικρή μάζα και
διαστάσεις).
Το κύμα που αντιστοιχεί σε κάθε σωμάτιο δεν είναι ούτε Η/Μ ούτε
ελαστικό. Είναι ΥΛΙΚΌ
Σύμφωνα με τον de Broglie τα περιφερόμενα e αποτελούν κύμα και
μάλιστα κατά την περιφορά τους γύρω από τον πυρήνα δημιουργούν
Επιμέλεια: Γαβριήλ Κωνσταντίνος
Καθηγητής φυσικής
www.fisikis-evagelia.gr
στάσιμα κύματα. Το μήκος της περιφέρειας του κύκλου είναι
2πr=nλ n=1,2,3,4
άρα:
Έχουμε λ =
h
mv
οπότε
m v r = n  η οποία είναι συνθήκη του
Bohr
Τέσσερα χρόνια μετά τη διατύπωση της θεωρίας του de Broglie οι
Davisson και Germer διεπίστωσαν και πειραματικά την κυματική φύση
των e καθώς αυτά σκεδαζόμενα σε Ni εμφάνιζαν φαινόμενα
περίθλασης.
Έτσι καταλήξαμε και είμαστε απόλυτα πεπεισμένοι για τον
κυματοσωματικό δυισμό της ύλης.
ΟΙ ΔΥΟ ΠΥΛΩΝΕΣ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ.
 Η ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑΣ ΤΟΥ Heisenberg
(1927) 26 ετών. Βραβείο Νόμπελ. Το 1932.
Δεν μπορούμε να προσδιορίσουμε συγχρόνως την ορμή και τη θέση ενός
σωματιδίου με απεριόριστη ακρίβεια.
≥ 
Δx Δp
Μια άλλη διατύπωση της ίδιας αρχής είναι:
ΔΕ Δt
≥
Σύμφωνα με τη δεύτερη μορφή της φαίνεται να έχουμε μια πρόσκαιρη
παραβίαση της Α.Δ.Ε καθώς ένα σωμάτιο μπορεί να αποκτήσει
για πολύ μικρό χρονικό διάστημα ενέργεια ΔΕ χωρίς να την έχει πάρει
από άλλο σώμα.
Έτσι έχουμε την ύπαρξη για μικρό Δt σωματιδίων με μάζα m =
που λέγονται εικονικά σωμάτια.
Επιμέλεια: Γαβριήλ Κωνσταντίνος
Καθηγητής φυσικής
www.fisikis-evagelia.gr
∆Ε
c2
H ENNOIA THΣ ΚΥΜΑΡΤΟΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΙΑ ΤΑ ΣΩΜΑΤΙΑ
Σύμφωνα με τον Μαχ Born η κυματοσυνάρτηση ψ(χ,ψ,ζ,t) ενός
σωματίου δεν έχει φυσική σημασία.
Η ποσότητα όμως
εκφράζει κάτι πολύ σημαντικό:
την πιθανότητα ανά μονάδα όγκου δηλ. την πυκνότητα της
πιθανότητας να βρίσκεται ένα σωμάτιο σε ένα στοιχειώδη όγκο dv
γύρω από το σημείο με συντεταγμένες (χ.ψ,ζ).
Σε μονοδιάστατο πρόβλημα η στοιχειώδεις
ενώ η πυκνότητα πιθανότητα
πιθανότητα είναι:
Σύμφωνα με την παραπάνω παραδοχή καταργείται η τροχιά των
σωματίων
Συνθήκη Κανονικοποίησης
Σύμφωνα με την κυματική έχουμε ότι η ένταση ενός κύματος είναι
ανάλογη προς το τετράγωνο του πλάτους ταλάντωσης
Η πιθανότητα να βρίσκεται ένα σωμάτιο στο διάστημα από χ 1 εώς χ 2
είναι :
Και πρέπει να ισχύει :
Για την περίπτωση e που κινείται με ταχύητητα υ ισχύει:
Η Δε διάμετρος του είναι de=10 −10 Α.
Άρα
Λόγο αυτό εμφανίζει κυματικές ιδιότητες.
Στα ,μεγάλα σώματα ισχύει το αντίθετο αμελητέο είναι το μήκος
κύματος.
ΕΞΙΣΩΣΗ SCHRODINGER
Η ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ
Επιμέλεια: Γαβριήλ Κωνσταντίνος
Καθηγητής φυσικής
www.fisikis-evagelia.gr
ΟΡΙΑΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ
Επειδή συχνά η υ έχει διάφορες τιμές σε διάφορες περιοχές λύνουμε την
εξίσωση στις διάφορες αυτές περιοχές στα όρια τους πρέπει οι
κυματοσυναρτήσεις να ενώνονται χωρίς απότομες αλλαγές.
Η κυματοσυνάρτηση ψ (χ) πρέπει να είναι συνεχής για όλες τις τιμές
του χ.
Η ψ(χ) πρέπει να ικανοποιεί τη συνθήκη κανονικοποίησης που σημαίνει
ότι όταν:
Η ψ(χ) πρέπει να είναι μονοσήμανση δηλ. σε κάθε τιμή του χ να
αντιστοιχεί μια τιμή της ψ (χ).
Ρα ίδια πρέπει να ισχύουν και για την παράγωγο d ψ/dχ.
Στην περιοχή
η εξίσωση shrodinger παίρνει τη μορφή όπου η
λύσην της παραπάνω είναι της μορφής
Η τελευταία πρέπει να ικανοποιεί τις οριακές συνθήκες ψ(ο)=0 και ως εκ
τούτων προκύπτει n=1,2,3…..
Ή παρατηρώ η κβάντωση της ενέργειας προέρχεται από τις οριακές
συνθήκες και όχι από την εξίσωση του Schrodinger
ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΔΕΣΜΙΑ ΣΩΜΑΤΙΑ
Οι τιμές της ενέργειας που μποερί να πάρει ένα σωμάτιο σε πιγάδι
δυναμικού (δέμιο) είναι κβανντισμένες.
Το σωμάτιο δεν μπορεί να έχει μηδενική ενέργεια.
Όσο πιο μικρό είναι το L τόσο πιο μεγάλες ενέργειες έχουν τα σωμάτια.
Γι αυτό και τα νουκλεόνια στον΄πυρήνα έχουν ενέργειες της τάξης των
Mev ενώ τα e στο άτομο έχουν μικρές της τάξης των eV.
Επιμέλεια: Γαβριήλ Κωνσταντίνος
Καθηγητής φυσικής
www.fisikis-evagelia.gr
Από τη σχέση κανονικοποίησης έπεται ότι:
Σωμάτια σε πηγάδι δυναμικού πεπερασμένου β΄΄αθους.
Στις περιοχές
η εξίσωση Schrodinger γράφεται:
Θέτουμε
Η
γίνεται
Η λύση της είναι της μορφής
Ψ= Ae DX +Be − Dx
Από τη συνθήκη κανινικοποίησης πρέπει
Όταν
Στην περιοχή
όπου
πρέπει
Β=0
Αφού για
με αυτόν τον μηδενισμό
Ομοίως στον
όπου
πρέπει
Α=0
Αφού έτσι πετυχαίνουμε
όταν
Τότε:
Στην περιοχή
επειδή υ=0 έχουμε αρμονική κυματοσυνάρτηση
Επιμέλεια: Γαβριήλ Κωνσταντίνος
Καθηγητής φυσικής
www.fisikis-evagelia.gr
Παρατηρούμε ότι τόσο η ψ(χ) όσο και η ψ 2 (χ) εισδύουν
Και εντός των περιοχών
Φυσική.
που είναι απαγορευμένες στην κλασική
Τα παραπάνω προέκυψαν καθώς έπρεπε τόσο η ψ(χ0 όσο και η dψdx να
είναι συνεχείς.
Ο προσδιορισμός των ενεργειών απαιτεί πολύπλοκους υπολογισμούς.
ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ ΣΗΡΑΓΓΟΣ
Η μορφή του δυναμικού στον πυρήνα ατόμου.
Οι βασικές τιμές οφείλονται στις
δυνάμεις οι οποίες
ελαττώνονται εκθετικά με την απόσταση χ από τον πυρήνα. Οι
αστνητικές τιμές οφείλονται στην πυρηνική ελκτική δύναμη.
ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ
Όσο πιο μεγάλο είναι το πλάτος
του φραγμού δυναμικού τόσο
μικρότερη πιθανότητα υπάρχει να περάσει το σωμάτιο
Όσο πιο μικρή είναι η διαφορά υ 0 -Ε δηλ. όσο πιο μεγάλη είναι η Ε για
δεδομένο υ 0 τόσο μεγαλώνει η πιθανότητα το σωμάτιο να περάσει το
φραγμό.
ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ
Είναι το σώμα που εκτελεί Α.ΑΤ. με
Χ=χ 0 ημωt
Για να έχω Α.ΑΤ. πρέπει:
Επιμέλεια: Γαβριήλ Κωνσταντίνος
Καθηγητής φυσικής
www.fisikis-evagelia.gr
F=-DX
1
2
1
2
Ενεργειακά ισχύει : Ε= κ+υ= DX 2 + mυ 2 .
Οι Κ,υ,Ε μπορούν να πάρουν να πάρουν οποιεσδήποτε τιμές.
Ας επιχειρίσουμε κβαντομηχανική αντιμετώπιση τότε:
1
2
Εφόσον υ(χ)= DX 2 =
1
mω 2 χ 2 .
2
Η εξίσωση Schrodinger γίνεται:
d2
ψ
Από την οποία προκύπτει για την Ε ότι:
N=0,1,2
Δηλ. Η ενέργεια του αρμονικού ταλαντωτή είναι κβαντισμένη με
ελάχιστη τιμή
Οι διαφορές των ενεργειακών σταθμών είναι:
ΣΥΓΡΙΤΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ
ΚΛΑΣΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ
F=ma=m
ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗ
ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ
Υπάρχει η έννοια της δύναμης.
Επιμέλεια: Γαβριήλ Κωνσταντίνος
Καθηγητής φυσικής
www.fisikis-evagelia.gr
Η σχέση είναι αυστηρά αιτιοκρατική.
Για κάθε t υπολογίζεται μια καθορισμένη θέση χ.
Υπάρχει ως κυρίαρχη έννοια η τροχιά με βάση την οπίοα ορίζεται
η ταχύτητα και όλα τα θεμελιώδη μεγέθη και νόμοι της Κλασικής
Μηχανικής.
Τα σωμάτια είναι διακρίσιμα (ως συνέχεια της ύπαρξης τροχιάς).
Καταργείται η έννοια της δύναμης.
Η σχέση είναι πιθανοκρατική.
Δεν έχει νόημα ο υπολογισμός της θέσης του σωματίου.
Υπολογίζεται μόνο η πιθανότητα να βρίσκεται το σωμάτιο σε μια
περιοχή γύρω από το σημείο χ.
Καταργείται η έννοια της τροχιάς.
Όλα τα μεγέθη πρέπει να ορισθούν από την αρχή.
Τα σωμάτια δεν είναι διακρίσιμα επειδή δεν μπορούμε να τα
παρακολουθήσουμε αφού δεν διαγράφουν τροχιές!
Επιμέλεια: Γαβριήλ Κωνσταντίνος
Καθηγητής φυσικής
www.fisikis-evagelia.gr