Transcript PPT Lezione su comportamento asintotico
D IPARTIMENTO DI I NGEGNERIA E LETTRICA E T ECNOLOGIE DELL' I NFORMAZIONE Corso di Teoria dei Circuiti Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica, Elettronica, Informatica e delle Telecomunicazioni Prof. Massimiliano de Magistris [email protected]
, www.elettrotecnica.unina.it
Comportamento asintotico dei circuiti dinamici
Parte I
• Strumenti per l’analisi qualitativa: traiettorie nello spazio di stato e ritratto di fase (phase portrait) • Concetto di stabilità di soluzioni non stazionarie (Ljapunov, Lagrange), soluzioni divergenti • Comportamento asintotico nei circuiti lineari: soluzione di regime, isomorfismo e simmetrie • Concetto di stabilità strutturale, esempio (limite) di biforcazione in un circuito linare Corso di TEORIA DEI CIRCUITI - Comportamento asintotico dei circuiti 2
Spazio di stato e ritratto di fase /1
Il comportamento asintotico e la stabilità delle soluzioni di un circuito possono essere dedotte dall’analisi della dinamica dello stato rappresentata nello spazio di stato .
Un ritratto di fase (phase portrait) rappresentazione grafica delle traiettorie di un circuito dinamico nello spazio di stato.
è definito come la Essi sono uno strumento fondamentale nello studio dei sistemi dinamici, in quanto rivelano informazioni riguardanti la presenza di punti di equilibio, orbite periodiche (cicli limite) e attrattori.
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Spazio di stato e ritratto di fase /2
Per un circuito del primo ordine, x=x(t), lo spazio di stato è la retta. Un esempio di traiettoria è: traiettoria 0 ( ) 0 Per un circuito del secondo ordine , x=( x 1 (t), x 2 (t)) T , e lo spazio di stato è il piano x 1 , x 2
x
2 .
x
2 spazio di stato
x
( ) 0
x
( ) 0
x
x
( )
x
1
x
( )
x
traiettoria Per un circuito di ordine N lo spazio di stato è R N .
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Spazio di stato e ritratto di fase /3
Il “ritratto di fase” (phase portrait) è l’insieme di tutte le possibili traiettorie nello spazio di stato.
v
(
t
) + -
Esempio: circuito RLCD T con C
Æ
0 i
L
R L i
D
i
C
C
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Spazio di stato e ritratto di fase /2
Esempio: Oscillatore di van der Pol, (sol. as. ciclo limite) Corso di TEORIA DEI CIRCUITI - Comportamento asintotico dei circuiti 6
Stabilità delle soluzioni
•Soluzioni stabili (secondo Ljapunov) •Soluzioni asintoticamente stabili •Globale asintotica stabilità per un circuito •Stabilità secondo Lagrange (Bounded Stability) Corso di TEORIA DEI CIRCUITI - Comportamento asintotico dei circuiti 7
Stabilità secondo Ljapunov
δ − > 0 : x (0) − y (0) ⇓ < ε 0 < δ La soluzione
x
(
t
) si dice
stabile
(secondo Liapunov) Corso di TEORIA DEI CIRCUITI - Comportamento asintotico dei circuiti 8
Stabilità asintotica
x
(
t
) è stabile ed inoltre: t lim ( ) →∞ x t − = 0 La soluzione
x
(
t
) si dice
asintoticamente stabile
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Globale asintotica stabilità
Se la condizione di stabilità asintotica è indipendente dalla condizione iniziale, cioè prese due qualsiasi soluzioni
x
(
t
) ed
y
(
t
) che differiscono
in modo arbitrario
per la condizione iniziale: t lim ( ) →∞ x t − = 0 ∀ x t y t 0 il circuito si dice
globalmente asintoticamente stabile.
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Soluzione di regime
Se si ha la
globale asintotica stabilità, l’anda mento asintotico
di tutte le soluzioni è lo stesso t lim ( ) →∞ x t t 0 lim ( ) →−∞ x t = = r r ⎬ ⎪⎭ ∀ x = x t 0 Esso definisce un’unica
soluzione di regime
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Stabilità secondo Lagrange
Se una qualsiasi soluzione
x
(
t
) si mantiene sempre limitata si dice che il circuito è
stabile secondo Lagrange
(Bounded Stability): ≤ M < ∞ In tal caso, prese due qualsiasi soluzioni
x
(
t
) ed
y
(
t
) (che differiscono in modo arbitrario per la condizione iniziale) si ha: − ≤ k Corso di TEORIA DEI CIRCUITI - Comportamento asintotico dei circuiti 12
Comportamento asintotico circuiti lineari/1
λ 2 = + R L λ + t λ + + 1 LC λ − t = 0 + ( ) = λ + t + x ′ − x ′′ = ( k + ′ − λ − t + ) λ + t ( ) ; ( ) + ( k − ′ − ) = λ − t λ + t + λ − t + ( ) ( ) La stabilità dipende solo da λ + e λ x x x x Corso di TEORIA DEI CIRCUITI - Comportamento asintotico dei circuiti x x 13
Comportamento asintotico circuiti lineari/2
V C 1 I L 1 = = V C 2 = 1 ω r 2 ( ) = I L 2 = V M cos ( ω r t + α ) ⇒ P R = 0 v C 1 = v C 2 Dunque il circuito in esame è stabile, ma non asintotica mente, nonostante sia passivo e contenga un elemento dissipativo ( R >0 ). Ciò è dovuto al fatto che presenta maglie costituite di soli induttori e condensatori.
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Circuiti lineari: condizioni di stabilità
¾ ¾ ¾ Un circuito lineare che contiene solo generatori indipendenti ed elementi passivi (resistori, induttori,…) è stabile.
Un circuito che contiene generatori indipendenti ed elementi passivi (resistori, induttori, …) per il quale ciascuna maglia e ciascun insieme di taglio contengono almeno un elemento dissipativo (resistore con asintoticamente stabile.
R>0 ), è Un circuito lineare che contiene oltre a elementi passivi e generatori indipendenti, anche altri elementi attivi, come, ad esempio, generatori controllati, amplificatori operazionali, può essere instabile.
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Circuiti lineari: soluzione di regime
Per i circuiti lineari asintoticamente stabili il comporta mento asintotico (soluzione per t indipendente dalle c.i.). Dunque esiste un’unica soluzione di regime:
x
r
x
r ( ) Æ oo) è unico (cioè è che dipende unicamente dalla struttura del circuito e dall’andamento temporale dei generatori indipendenti.
( ) t lim →+∞
x
−
x
r = 0 Inoltre la soluzione di regime varia con continuità al variare dei parametri del circuito (che si dice perciò “strutturalmente stabile”) Corso di TEORIA DEI CIRCUITI - Comportamento asintotico dei circuiti 16
Circuiti lineari: simmetrie del regime
Dal punto di vista “morfologico” avremo: Generatori stazionari regime permanente stazionario Generatori sinusoidali iso frequenziali a pulsazione ω regime permanente sinusoidale a pulsazione ω Generatori periodici di periodo T regime permanente periodico di periodo T Generatori quasi-periodici [ ω 1, ω 2 ] .. [ ω Ν−1, ω Ν ] regime permanente quasi periodico [ ω 1, ω 2 ] .. [ ω Ν−1, ω Ν ] Corso di TEORIA DEI CIRCUITI - Comportamento asintotico dei circuiti 17
Stabilità strutturale nei circuiti
Abbiamo già detto che per i circuiti lineari asintoticamente stabili la soluzione di regime dipende con continuità dai parametri.
Più in generale diamo la definizione di stabilità strutturale : “un circuito si dice strutturalmente stabile se il suo comportamento asintotico non varia dal punto di vista qualitativo per piccole variazioni dei suoi parametri” Corso di TEORIA DEI CIRCUITI - Comportamento asintotico dei circuiti 18
Circuiti lineari: stabilità strutturale
Esempio 1: circuito strutturalmente stabile R C 1 RC < 0 Esempio 2: circuito non strutturalmente stabile R eq = R 1 + R 2 ; λ = − 1 R 1 C > > 0 0, R 2 < ⎫ ⎬ ⎭ ⇒ λ ⎨ ⎪⎩ < 0 se R 1 0 se R 1 > < R 2 R 2 Corso di TEORIA DEI CIRCUITI - Comportamento asintotico dei circuiti 19
Parte II
• Comportamento asintotico nei circuiti non lineari, circuiti non strutturalmente stabili e biforcazioni • Alcune biforcazioni in circuiti del primo ordine: tipo “folding” e “pitchfork” • Un esempio di biforcazione in circuiti del secondo ordine: tipo “Hopf” Corso di TEORIA DEI CIRCUITI - Comportamento asintotico dei circuiti 20
Comportamento asint. circuiti non lineari
• Per i circuiti lineari asintoticamente stabili esiste un unico regime che conserva le simmetrie temporali dei forzamenti.
• Per i circuiti lineari stabili ma non asintoticamente le soluzioni asintotiche conservano invece la dipendenza dalle condizioni iniziali.
• Il comportamento asintotico dei circuiti non lineari risulta decisamente più complesso. In particolare spesso ci sono più soluzioni asintotiche instabili.
, che possono non conservare le simmetrie dei forzamenti, possono coesistere soluzioni stabili e • Ad esempio, circuiti autonomi potranno presentare soluzioni asintotiche periodiche , quasi-periodiche o addirittura perdere ogni regolarità divenendo, come si dice, “ caotiche ”.
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Circuiti non lineari del primo ordine: es. 1
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Non lin. I ordine es.1a: ritratto di fase
Caso (a): caratteristica monotona Posto v = v * l’unica soluzione stazionaria, il ritratto di fase è il seguente:
v=v 01 v=v* t=0 t= ∞ v=v 02 t=0
“attrattore” Il punto di equilibrio v = v * è un attrattore per tutte le traiettorie del circuito. La soluzione stazionaria v = v * è asintoticamente stabile ed è la soluzione di regime.
Per qualsiasi c.i. si ha sempre t lim →+∞ ( ) = v * Corso di TEORIA DEI CIRCUITI - Comportamento asintotico dei circuiti 23
v
Non lin. I ordine es.1a: stabilità strutturale
Come varia tale soluzione al variare dei parametri? Supponiamo di variare la tensione E
v* E
4
E
3
E
2
E
1
E
0
i v E
Il circuito è strutturalmente stabile
E
4
E
3
E
2
E
1
E
0
v*
0
v*
1
v*
2
v*
3
v*
4
v*
3
v*
2
v*
1
v*
0
v*
4 Corso di TEORIA DEI CIRCUITI - Comportamento asintotico dei circuiti
v v v v v
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Non lin. I ordine es.1b: ritratto di fase
Caso (b): caratteristica non monotona Abbiamo ora fino a tre soluzioni stazionarie v = v 1 *,
v
=
v
2 *,
v
=
v
3 * . Nel caso di tre intersezioni il ritratto di fase è: Il ritratto di fase ha ora due attrattori, che vengono raggiunti a seconda delle c.i.
L’insieme (regione dello spazio di stato) che porta ad una certa soluzione si definisce bacino di attrazione.
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Non lin. I ordine es.1b: stabilità strutturale
Come varia tale soluzione al variare dei parametri? Supponiamo di variare la tensione E Il circuito non è strutturalmente stabile Corso di TEORIA DEI CIRCUITI - Comportamento asintotico dei circuiti 26
Non lin. I ordine es.1b: biforcazioni
Riassumendo, nel caso di caratteristica non monotona può accadere che: • il circuito risulta i parametri non strutturalmente stabile ovvero il tipo di comportamento asintotico varia in modo discontinuo con • tali brusche variazioni prendono il nome di biforcazioni • i valori dei parametri in corrispondenza delle stesse prendono il nome di valori di biforcazione Corso di TEORIA DEI CIRCUITI - Comportamento asintotico dei circuiti 27
Circuiti non lineari del I ordine: es. 2
C dv dt i i D = − v R − A seconda della pendenza G =1/ R avremo una soluzione stabile o tre soluzioni, di cui due stabili ed una instabile.
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Non lin. I ordine es.2: stabilità strutturale
Come varia tale soluzione al variare dei parametri? Supponiamo di variare il valore G
G
4
G
3
G
2
G
1
G
0
v v v v v
Il circuito non è strutturalmente stabile
v*
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G
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Circuiti non lineari del primo ordine
a) Caratteristiche monotone: • comportamento asintotico unico (regime), indipendente da c.i.
• soluzioni stabili • circuito strutturalmente stabile • tipo di regime dipendente dalle sorgenti sinusoidale Î periodico T (con armoniche) b) Caratteristiche non monotone: • comportamento asintotico non unico, dipendente da c.i.
• soluzioni instabili • circuito non strutturalmente stabile (biforcazioni) Osserviamo che in presenza di generatori controllati ed amplificatori operazionali (ideali) si può sempre ricadere in (b) Corso di TEORIA DEI CIRCUITI - Comportamento asintotico dei circuiti 30
Circuiti non lineari del II ordine: es1
Cosa accade all’aumentare dell’ordine del circuito?
Consideriamo un esempio del secondo ordine (circuito autonomo con resistore non lineare simmetrico asintoticamente passivo)
i P i L C
=
di L dt dv C dt
= − 1
G i L
−
v C P 0 v C
)
P + C
)
i
= 3 2 3
I V
0 0 ⎛ ⎜ ⎝ 1
V
0 2
v
3
C
−
v C
⎞ ⎟ ⎠
G>G 0 G
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0 G
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Circuiti non lineari del II ordine: es1
W
= 1 2
Li L
2 + 1 2
Cv
2
C
;
P
(
a
)
A
= ∈ p
P R
+ :
P
(
a
)
P D
( =
v C
,
i L Ri L
2 ) ≤ +
v C i D
; 0 ∀ (
v C
,
i L
) ∈ p −
A
⇒ ∃
M
∈ p : ∃
i LM
,
v CM v C
,
i L
∈ p : ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ ≤
M v i L C dW dt
≤ ≤ = −
P
(
a
) (
v C
,
i L
) ≤ 0 2
M L
2
M C
=
i LM
, =
v CM
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Es.1: biforcazione di Hopf
Linearizzazione attorno a P 0 Corso di TEORIA DEI CIRCUITI - Comportamento asintotico dei circuiti 33
Es.1: biforcazione di Hopf
E’ possibile mostrare come, in dipendenza del parametro G =1/ R , avremo il brusco passaggio tra due tipi di comportamenti asintotici
“Hopf” bifurcation
stabile instabile
P 0
: fuoco (stabile) ciclo limite (stabile) Se l’attrattore è un ciclo limite la soluzione è periodica anche per circuiti autonomi (es: oscillatore) Corso di TEORIA DEI CIRCUITI - Comportamento asintotico dei circuiti 34
Ciclo limite e dinamiche complesse
Il ciclo limite nasce dalla competizione di due meccanismi. L’elemento non lineare asintoticamente passivo fornisce potenza nella regione interna (dunque causando l’espansione delle traiettorie) e assorbe potenza in quella esterna (dunque causando la contrazione delle traiettorie) Per circuiti del secondo ordine non autonomi, o autonomi ma almeno del terzo ordine possono nascere dinamiche assai più complesse Corso di TEORIA DEI CIRCUITI - Comportamento asintotico dei circuiti 35
Es.1: oscillatore e biforcazione di Hopf
• G=1/R Æ conduttanza resistore lineare • G 0 Æ conduttanza differenziale nell’origine • G shp Æ coeff.angolare retta passante per estremi relativi • G C =parametro caratteristico C/L*1/G 0
Es.1: oscillatore e biforcazione di Hopf
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Riferimenti bibliografici
1. M. Hasler, J. Neirynch, Nonlinear Circuits , Artech House, Inc, 1986.
2. L.O. Chua, C.A. Desoer, E.S. Kuh, Circuiti Lineari e Non Lineari , Jackson 1991, ISBN 88-7056-837-7.
3. L.O. Chua, Dynamic Nonlinear Networks: State of the Art , IEEE Trans. on Circuits and Systems, Vol. CAS 27 n ° 11, 1980 (sul sito www.elettrotecnica.unina.it
) 4. Y.A. Kuznetsov, Elements of Applied BifurcationTheory , Springer Verlag 1995.
5. Appunti del Prof. Miano Comportamento dinamico di circuiti non lineari (sul sito www.elettrotecnica.unina.it
) Corso di TEORIA DEI CIRCUITI - Comportamento asintotico dei circuiti 38