D IPARTIMENTO DI I NGEGNERIA E LETTRICA E T ECNOLOGIE DELL' I NFORMAZIONE Corso di Teoria dei Circuiti Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica, Elettronica, Informatica e delle Telecomunicazioni Prof. Massimiliano de Magistris [email protected]

, www.elettrotecnica.unina.it

Comportamento asintotico dei circuiti dinamici

Parte I

• Strumenti per l’analisi qualitativa: traiettorie nello spazio di stato e ritratto di fase (phase portrait) • Concetto di stabilità di soluzioni non stazionarie (Ljapunov, Lagrange), soluzioni divergenti • Comportamento asintotico nei circuiti lineari: soluzione di regime, isomorfismo e simmetrie • Concetto di stabilità strutturale, esempio (limite) di biforcazione in un circuito linare Corso di TEORIA DEI CIRCUITI - Comportamento asintotico dei circuiti 2

Spazio di stato e ritratto di fase /1

Il comportamento asintotico e la stabilità delle soluzioni di un circuito possono essere dedotte dall’analisi della dinamica dello stato rappresentata nello spazio di stato .

Un ritratto di fase (phase portrait) rappresentazione grafica delle traiettorie di un circuito dinamico nello spazio di stato.

è definito come la Essi sono uno strumento fondamentale nello studio dei sistemi dinamici, in quanto rivelano informazioni riguardanti la presenza di punti di equilibio, orbite periodiche (cicli limite) e attrattori.

Corso di TEORIA DEI CIRCUITI - Comportamento asintotico dei circuiti 3

Spazio di stato e ritratto di fase /2

Per un circuito del primo ordine, x=x(t), lo spazio di stato è la retta. Un esempio di traiettoria è: traiettoria 0 ( ) 0 Per un circuito del secondo ordine , x=( x 1 (t), x 2 (t)) T , e lo spazio di stato è il piano x 1 , x 2

x

2 .

x

2 spazio di stato

x

( ) 0

x

( ) 0

x

x

( )

x

1

x

( )

x

traiettoria Per un circuito di ordine N lo spazio di stato è R N .

Corso di TEORIA DEI CIRCUITI - Comportamento asintotico dei circuiti 4

Spazio di stato e ritratto di fase /3

Il “ritratto di fase” (phase portrait) è l’insieme di tutte le possibili traiettorie nello spazio di stato.

v

(

t

) + -

Esempio: circuito RLCD T con C

Æ

0 i

L

R L i

D

i

C

C

Corso di TEORIA DEI CIRCUITI - Comportamento asintotico dei circuiti 5

Spazio di stato e ritratto di fase /2

Esempio: Oscillatore di van der Pol, (sol. as. ciclo limite) Corso di TEORIA DEI CIRCUITI - Comportamento asintotico dei circuiti 6

Stabilità delle soluzioni

•Soluzioni stabili (secondo Ljapunov) •Soluzioni asintoticamente stabili •Globale asintotica stabilità per un circuito •Stabilità secondo Lagrange (Bounded Stability) Corso di TEORIA DEI CIRCUITI - Comportamento asintotico dei circuiti 7

Stabilità secondo Ljapunov

δ − > 0 : x (0) − y (0) ⇓ < ε 0 < δ La soluzione

x

(

t

) si dice

stabile

(secondo Liapunov) Corso di TEORIA DEI CIRCUITI - Comportamento asintotico dei circuiti 8

Stabilità asintotica

x

(

t

) è stabile ed inoltre: t lim ( ) →∞ x t − = 0 La soluzione

x

(

t

) si dice

asintoticamente stabile

Corso di TEORIA DEI CIRCUITI - Comportamento asintotico dei circuiti 9

Globale asintotica stabilità

Se la condizione di stabilità asintotica è indipendente dalla condizione iniziale, cioè prese due qualsiasi soluzioni

x

(

t

) ed

y

(

t

) che differiscono

in modo arbitrario

per la condizione iniziale: t lim ( ) →∞ x t − = 0 ∀ x t y t 0 il circuito si dice

globalmente asintoticamente stabile.

Corso di TEORIA DEI CIRCUITI - Comportamento asintotico dei circuiti 10

Soluzione di regime

Se si ha la

globale asintotica stabilità, l’anda mento asintotico

di tutte le soluzioni è lo stesso t lim ( ) →∞ x t t 0 lim ( ) →−∞ x t = = r r ⎬ ⎪⎭ ∀ x = x t 0 Esso definisce un’unica

soluzione di regime

Corso di TEORIA DEI CIRCUITI - Comportamento asintotico dei circuiti 11

Stabilità secondo Lagrange

Se una qualsiasi soluzione

x

(

t

) si mantiene sempre limitata si dice che il circuito è

stabile secondo Lagrange

(Bounded Stability): ≤ M < ∞ In tal caso, prese due qualsiasi soluzioni

x

(

t

) ed

y

(

t

) (che differiscono in modo arbitrario per la condizione iniziale) si ha: − ≤ k Corso di TEORIA DEI CIRCUITI - Comportamento asintotico dei circuiti 12

Comportamento asintotico circuiti lineari/1

λ 2 = + R L λ + t λ + + 1 LC λ − t = 0 + ( ) = λ + t + x ′ − x ′′ = ( k + ′ − λ − t + ) λ + t ( ) ; ( ) + ( k − ′ − ) = λ − t λ + t + λ − t + ( ) ( ) La stabilità dipende solo da λ + e λ x x x x Corso di TEORIA DEI CIRCUITI - Comportamento asintotico dei circuiti x x 13

Comportamento asintotico circuiti lineari/2

V C 1 I L 1 = = V C 2 = 1 ω r 2 ( ) = I L 2 = V M cos ( ω r t + α ) ⇒ P R = 0 v C 1 = v C 2 Dunque il circuito in esame è stabile, ma non asintotica mente, nonostante sia passivo e contenga un elemento dissipativo ( R >0 ). Ciò è dovuto al fatto che presenta maglie costituite di soli induttori e condensatori.

Corso di TEORIA DEI CIRCUITI - Comportamento asintotico dei circuiti 14

Circuiti lineari: condizioni di stabilità

¾ ¾ ¾ Un circuito lineare che contiene solo generatori indipendenti ed elementi passivi (resistori, induttori,…) è stabile.

Un circuito che contiene generatori indipendenti ed elementi passivi (resistori, induttori, …) per il quale ciascuna maglia e ciascun insieme di taglio contengono almeno un elemento dissipativo (resistore con asintoticamente stabile.

R>0 ), è Un circuito lineare che contiene oltre a elementi passivi e generatori indipendenti, anche altri elementi attivi, come, ad esempio, generatori controllati, amplificatori operazionali, può essere instabile.

Corso di TEORIA DEI CIRCUITI - Comportamento asintotico dei circuiti 15

Circuiti lineari: soluzione di regime

Per i circuiti lineari asintoticamente stabili il comporta mento asintotico (soluzione per t indipendente dalle c.i.). Dunque esiste un’unica soluzione di regime:

x

r

x

r ( ) Æ oo) è unico (cioè è che dipende unicamente dalla struttura del circuito e dall’andamento temporale dei generatori indipendenti.

( ) t lim →+∞

x

−

x

r = 0 Inoltre la soluzione di regime varia con continuità al variare dei parametri del circuito (che si dice perciò “strutturalmente stabile”) Corso di TEORIA DEI CIRCUITI - Comportamento asintotico dei circuiti 16

Circuiti lineari: simmetrie del regime

Dal punto di vista “morfologico” avremo: Generatori stazionari regime permanente stazionario Generatori sinusoidali iso frequenziali a pulsazione ω regime permanente sinusoidale a pulsazione ω Generatori periodici di periodo T regime permanente periodico di periodo T Generatori quasi-periodici [ ω 1, ω 2 ] .. [ ω Ν−1, ω Ν ] regime permanente quasi periodico [ ω 1, ω 2 ] .. [ ω Ν−1, ω Ν ] Corso di TEORIA DEI CIRCUITI - Comportamento asintotico dei circuiti 17

Stabilità strutturale nei circuiti

Abbiamo già detto che per i circuiti lineari asintoticamente stabili la soluzione di regime dipende con continuità dai parametri.

Più in generale diamo la definizione di stabilità strutturale : “un circuito si dice strutturalmente stabile se il suo comportamento asintotico non varia dal punto di vista qualitativo per piccole variazioni dei suoi parametri” Corso di TEORIA DEI CIRCUITI - Comportamento asintotico dei circuiti 18

Circuiti lineari: stabilità strutturale

Esempio 1: circuito strutturalmente stabile R C 1 RC < 0 Esempio 2: circuito non strutturalmente stabile R eq = R 1 + R 2 ; λ = − 1 R 1 C > > 0 0, R 2 < ⎫ ⎬ ⎭ ⇒ λ ⎨ ⎪⎩ < 0 se R 1 0 se R 1 > < R 2 R 2 Corso di TEORIA DEI CIRCUITI - Comportamento asintotico dei circuiti 19

Parte II

• Comportamento asintotico nei circuiti non lineari, circuiti non strutturalmente stabili e biforcazioni • Alcune biforcazioni in circuiti del primo ordine: tipo “folding” e “pitchfork” • Un esempio di biforcazione in circuiti del secondo ordine: tipo “Hopf” Corso di TEORIA DEI CIRCUITI - Comportamento asintotico dei circuiti 20

Comportamento asint. circuiti non lineari

• Per i circuiti lineari asintoticamente stabili esiste un unico regime che conserva le simmetrie temporali dei forzamenti.

• Per i circuiti lineari stabili ma non asintoticamente le soluzioni asintotiche conservano invece la dipendenza dalle condizioni iniziali.

• Il comportamento asintotico dei circuiti non lineari risulta decisamente più complesso. In particolare spesso ci sono più soluzioni asintotiche instabili.

, che possono non conservare le simmetrie dei forzamenti, possono coesistere soluzioni stabili e • Ad esempio, circuiti autonomi potranno presentare soluzioni asintotiche periodiche , quasi-periodiche o addirittura perdere ogni regolarità divenendo, come si dice, “ caotiche ”.

Corso di TEORIA DEI CIRCUITI - Comportamento asintotico dei circuiti 21

Circuiti non lineari del primo ordine: es. 1

Corso di TEORIA DEI CIRCUITI - Comportamento asintotico dei circuiti 22

Non lin. I ordine es.1a: ritratto di fase

Caso (a): caratteristica monotona Posto v = v * l’unica soluzione stazionaria, il ritratto di fase è il seguente:

v=v 01 v=v* t=0 t= ∞ v=v 02 t=0

“attrattore” Il punto di equilibrio v = v * è un attrattore per tutte le traiettorie del circuito. La soluzione stazionaria v = v * è asintoticamente stabile ed è la soluzione di regime.

Per qualsiasi c.i. si ha sempre t lim →+∞ ( ) = v * Corso di TEORIA DEI CIRCUITI - Comportamento asintotico dei circuiti 23

v

Non lin. I ordine es.1a: stabilità strutturale

Come varia tale soluzione al variare dei parametri? Supponiamo di variare la tensione E

v* E

4

E

3

E

2

E

1

E

0

i v E

Il circuito è strutturalmente stabile

E

4

E

3

E

2

E

1

E

0

v*

0

v*

1

v*

2

v*

3

v*

4

v*

3

v*

2

v*

1

v*

0

v*

4 Corso di TEORIA DEI CIRCUITI - Comportamento asintotico dei circuiti

v v v v v

24

Non lin. I ordine es.1b: ritratto di fase

Caso (b): caratteristica non monotona Abbiamo ora fino a tre soluzioni stazionarie v = v 1 *,

v

=

v

2 *,

v

=

v

3 * . Nel caso di tre intersezioni il ritratto di fase è: Il ritratto di fase ha ora due attrattori, che vengono raggiunti a seconda delle c.i.

L’insieme (regione dello spazio di stato) che porta ad una certa soluzione si definisce bacino di attrazione.

Corso di TEORIA DEI CIRCUITI - Comportamento asintotico dei circuiti 25

Non lin. I ordine es.1b: stabilità strutturale

Come varia tale soluzione al variare dei parametri? Supponiamo di variare la tensione E Il circuito non è strutturalmente stabile Corso di TEORIA DEI CIRCUITI - Comportamento asintotico dei circuiti 26

Non lin. I ordine es.1b: biforcazioni

Riassumendo, nel caso di caratteristica non monotona può accadere che: • il circuito risulta i parametri non strutturalmente stabile ovvero il tipo di comportamento asintotico varia in modo discontinuo con • tali brusche variazioni prendono il nome di biforcazioni • i valori dei parametri in corrispondenza delle stesse prendono il nome di valori di biforcazione Corso di TEORIA DEI CIRCUITI - Comportamento asintotico dei circuiti 27

Circuiti non lineari del I ordine: es. 2

C dv dt i i D = − v R − A seconda della pendenza G =1/ R avremo una soluzione stabile o tre soluzioni, di cui due stabili ed una instabile.

Corso di TEORIA DEI CIRCUITI - Comportamento asintotico dei circuiti 28

Non lin. I ordine es.2: stabilità strutturale

Come varia tale soluzione al variare dei parametri? Supponiamo di variare il valore G

G

4

G

3

G

2

G

1

G

0

v v v v v

Il circuito non è strutturalmente stabile

v*

Corso di TEORIA DEI CIRCUITI - Comportamento asintotico dei circuiti

G

29

Circuiti non lineari del primo ordine

a) Caratteristiche monotone: • comportamento asintotico unico (regime), indipendente da c.i.

• soluzioni stabili • circuito strutturalmente stabile • tipo di regime dipendente dalle sorgenti sinusoidale Î periodico T (con armoniche) b) Caratteristiche non monotone: • comportamento asintotico non unico, dipendente da c.i.

• soluzioni instabili • circuito non strutturalmente stabile (biforcazioni) Osserviamo che in presenza di generatori controllati ed amplificatori operazionali (ideali) si può sempre ricadere in (b) Corso di TEORIA DEI CIRCUITI - Comportamento asintotico dei circuiti 30

Circuiti non lineari del II ordine: es1

Cosa accade all’aumentare dell’ordine del circuito?

Consideriamo un esempio del secondo ordine (circuito autonomo con resistore non lineare simmetrico asintoticamente passivo)

i P i L C

=

di L dt dv C dt

= − 1

G i L

−

v C P 0 v C

)

P + C

)

i

= 3 2 3

I V

0 0 ⎛ ⎜ ⎝ 1

V

0 2

v

3

C

−

v C

⎞ ⎟ ⎠

G>G 0 G

Corso di TEORIA DEI CIRCUITI - Comportamento asintotico dei circuiti

0 G

31

Circuiti non lineari del II ordine: es1

W

= 1 2

Li L

2 + 1 2

Cv

2

C

;

P

(

a

)

A

= ∈ p

P R

+ :

P

(

a

)

P D

( =

v C

,

i L Ri L

2 ) ≤ +

v C i D

; 0 ∀ (

v C

,

i L

) ∈ p −

A

⇒ ∃

M

∈ p : ∃

i LM

,

v CM v C

,

i L

∈ p : ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ ≤

M v i L C dW dt

≤ ≤ = −

P

(

a

) (

v C

,

i L

) ≤ 0 2

M L

2

M C

=

i LM

, =

v CM

Corso di TEORIA DEI CIRCUITI - Comportamento asintotico dei circuiti 32

Es.1: biforcazione di Hopf

Linearizzazione attorno a P 0 Corso di TEORIA DEI CIRCUITI - Comportamento asintotico dei circuiti 33

Es.1: biforcazione di Hopf

E’ possibile mostrare come, in dipendenza del parametro G =1/ R , avremo il brusco passaggio tra due tipi di comportamenti asintotici

“Hopf” bifurcation

stabile instabile

P 0

: fuoco (stabile) ciclo limite (stabile) Se l’attrattore è un ciclo limite la soluzione è periodica anche per circuiti autonomi (es: oscillatore) Corso di TEORIA DEI CIRCUITI - Comportamento asintotico dei circuiti 34

Ciclo limite e dinamiche complesse

Il ciclo limite nasce dalla competizione di due meccanismi. L’elemento non lineare asintoticamente passivo fornisce potenza nella regione interna (dunque causando l’espansione delle traiettorie) e assorbe potenza in quella esterna (dunque causando la contrazione delle traiettorie) Per circuiti del secondo ordine non autonomi, o autonomi ma almeno del terzo ordine possono nascere dinamiche assai più complesse Corso di TEORIA DEI CIRCUITI - Comportamento asintotico dei circuiti 35

Es.1: oscillatore e biforcazione di Hopf

• G=1/R Æ conduttanza resistore lineare • G 0 Æ conduttanza differenziale nell’origine • G shp Æ coeff.angolare retta passante per estremi relativi • G C =parametro caratteristico C/L*1/G 0

Es.1: oscillatore e biforcazione di Hopf

Corso di TEORIA DEI CIRCUITI - Comportamento asintotico dei circuiti 37

Riferimenti bibliografici

1. M. Hasler, J. Neirynch, Nonlinear Circuits , Artech House, Inc, 1986.

2. L.O. Chua, C.A. Desoer, E.S. Kuh, Circuiti Lineari e Non Lineari , Jackson 1991, ISBN 88-7056-837-7.

3. L.O. Chua, Dynamic Nonlinear Networks: State of the Art , IEEE Trans. on Circuits and Systems, Vol. CAS 27 n ° 11, 1980 (sul sito www.elettrotecnica.unina.it

) 4. Y.A. Kuznetsov, Elements of Applied BifurcationTheory , Springer Verlag 1995.

5. Appunti del Prof. Miano Comportamento dinamico di circuiti non lineari (sul sito www.elettrotecnica.unina.it

) Corso di TEORIA DEI CIRCUITI - Comportamento asintotico dei circuiti 38