Transcript Esercitazione CAPM

ESERCIZI SUL CAPM
ESERCIZIO 1
Si ipotizzi che i seguenti titoli siano correttamente prezzati secondo la Security Market Line. Si
derivi l’equazione della Security Market Line e si determini il rendimento di equilibrio di un titolo
con beta pari a 2.
R1  6% 1  0.5%
R2  12%  2  1.5%
SOLUZIONE
The equation for the security market line is:


Ri  RF  Rm  RF  i
Thus, from the data in the problem we have:


6  RF  Rm  RF  0.5 for asset 1


12  RF  Rm  RF  1.5 for asset 2
Solving the above two equations simultaneously, we find RF = 3% and Rm = 9%. Using those
values, an asset with a beta of 2 would have an expected return of:
3 + (9  3)  2 = 15%
ESERCIZIO 2
Si ipotizzi che il mercato sia descritto dalla Security Market Line riportata di seguito. Si ipotizzi
anche che un analista abbia stimato i seguenti beta per due titoli: 1  0.5% e  2  2% . Quale
dovrebbe essere il rendimento atteso dei due titoli affinché l’acquisto risulti conveniente?
Ri  0.04  0.08 i
SOLUZIONE
Given the security market line in this problem, for the two stocks to be fairly priced their
expected returns must be:
RX  0.04  0.08  0.5  0.08 8%
RY  0.04  0.08  2  0.20 20%
1
If the expected return on either stock is higher than its return given above, the stock is a
good buy.
ESERCIZIO 3
Si ipotizzi che la stima del CAPM attraverso l’analisi di un determinato campione di dati storici
porti alla Security Market Line riportata sotto. Si ipotizzi inoltre che due fondi abbiano riportato,
nello stesso periodo, la seguente performance:
Fondo A Rendimento 10% e Beta 0.8
Fondo B Rendimento 15% e Beta 1.2
Quale giudizio può essere formulato sul rendimento di questi fondi?
Ri  0.06  0.19 i
SOLUZIONE
Given the security market line in this problem, the two funds’ expected returns would be:
RA  0.06  0.19  0.8  0.212 21.2%
RB  0.06  0.19 1.2  0.288 28.8%
Comparing the above returns to the funds’ actual returns, we see that both funds
performed poorly, since their actual returns were below those expected given their beta
risk.
ESERCIZIO 4
Si consideri l’equazione del CAPM riportata di seguito. A quanto ammonta il rendimento in eccesso
del mercato rispetto al tasso privo di rischio? Quanto è il tasso privo di rischio?
Ri  0.04  0.10 i
SOLUZIONE
Given the security market line in this problem, the riskless rate equals 0.04 (4%), the intercept
of the line, and the excess return of the market above the riskless rate (also called the
“market risk premium”) equals 0.10 (10%), the slope of the line. (The return on the market
portfolio must therefore be 0.04 + 0.10 = 0.14, or 14%.)
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ESERCIZIO 5
Si riscriva l’equazione del CAPM riportata al punto precedente in termini di prezzo.
SOLUZIONE
The price form of the CAPM’s security market line equation is:
Pi 
1
rF

cov Yi Ym 
Yi  Ym  rF  Pm 

var Ym  

where rF  1 RF  and Rm 


Ym  Pm
.
Pm
From Problem 4, we have RF  0.04 and Rm  0.14 . Therefore 0.14 
Ym  Pm
which gives
Pm
1.14Pm  Ym .
Substituting these vales into the above security market line equation, we have:
Pi 

cov Yi Ym 
1 
Yi  1.14  Pm  1.04  Pm  

1.04 
var Ym  
cov Yi Ym 
1 
Yi  0.10  Pm 

1.04 
var Ym  
ESERCIZIO 6
Se i seguenti titoli sono correttamente prezzati nell’ambito di un CAPM standard qual è il
rendimento atteso del portafoglio di mercato? Qual è il tasso privo di rischio?
R1  9.4% 1  0.8%
R2  13.4%  2  1.3%
SOLUZIONE
To be rigorous, one should use the four Kuhn-Tucker conditions shown in Appendix E of
Chapter 6. To find the optimum portfolio when short sales are not allowed, we have, for
each asset i, the following Kuhn-Tucker conditions:
d
 Ui  0
dX i
(1)
X i Ui  0
(2)
3
Xi  0
(3)
Ui  0
(4)
We have already seen that, given the assumptions of the standard CAPM, setting
d
0
dX i
gives the equilibrium first order condition for asset i, which is the standard CAPM’s security
market line:




Ri  RF  Rm  RF  i
or equivalently
Ri  RF  Rm  RF  i  0
When short sales are not allowed, Kuhn-Tucker condition (1) implies that:


Ri  RF  Rm  RF  i  Ui  0
But, since all assets are held long in the market portfolio, Xi > 0 for each asset and therefore,
given Kuhn-Tucker condition (2), Ui = 0 for each asset. Thus, the standard CAPM holds even if
short sales are not allowed.
ESERCIZIO 7
Data la seguente Security Market Line
Ri  0.07  0.09 i
Quale dovrebbe essere il rendimento dei due titoli azionari aventi beta, pari rispettivamente, a 1.2 e
0.9?
SOLUZIONE
Using the two assets in Problem 1, a portfolio with a beta of 1.2 can be constructed as
follows:
0.5X1 + (1.5)(1 – X1) = 1.2
X1 = 0.3; X2 = 0.7
The return on this combination would be:
0.3(6%) + 0.7(12%) = 10.2%
Asset 3 has a higher expected return than the portfolio of assets 1 and 2, even though asset
1 and the portfolio have the same beta. Thus, buying asset 3 and financing it by shorting the
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portfolio would produce a positive (arbitrage) return of 15%  10.2% = 4.8% with zero net
investment and zero beta risk.
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