Transcript Complexe getallen - Homepages of UvA/FNWI staff

Complexe getallen
José Lagerberg
Universiteit van Amsterdam
November, 2016
José Lagerberg (FNWI)
Complexe getallen
November, 2016
1 / 24
1
Complexe getallen en complexe e-machten
Complexe getallen en complexe vlak
Poolcoördinaten (r , ϕ)
Complexe e-macht
Vermenigvuldigen in poolcoördinaten
Complex geconjugeerde
Machten op eenheidscirkel
Inverse formule van Euler
Optellen van complex geconjugeerde e-machten
Oplossen vierkantsvergelijking
José Lagerberg (FNWI)
Complexe getallen
November, 2016
2 / 24
Complexe getallen en complexe e-machten
1
2
3
4
Complexe getallen en rekenregels naar analogie met vectoren
Verband met rotatie in complexe vlak
Poolcoördinaten
Complexe e-macht en rekenregels
José Lagerberg (FNWI)
Complexe getallen
November, 2016
3 / 24
xy -vlak en complexe vlak: optellen
xy -vlak
complexe vlak
y
x
y
Im(z)
(x, y )
z = x + jy
jy
x
x1
y1
+
x2
y2
=
José Lagerberg (FNWI)
x
x1 + x2
y1 + y2
Re(z)
z1 = x1 + jy1
z2 = x2 + jy2
+
z1 + z2 = (x1 + x2 ) + j(y1 + y2 )
Complexe getallen
November, 2016
4 / 24
xy -vlak en complexe vlak: vermenigvuldigen
xy -vlak
complexe vlak
y
x
y
(x, y )
Im(z)
z = x + jy
jy
x
x1
y1
×
x2
y2
x
Re(z)
z1 = x1 + jy1
z2 = x2 + jy2
= ?
×
z1 × z2 = ?
José Lagerberg (FNWI)
Complexe getallen
November, 2016
5 / 24
Vermenigvuldigen
z1 = x1 + jy1
z2 = x2 + jy2
z1 × z2 = x1 x2 + j(x1 y2 + x2y1 ) + j 2 y1 y2
j 2 = −1
×
⇒
z1 × z2 = (x1 x2 − y1 y2 ) + j(x1 y2 + x2 y1 )
José Lagerberg (FNWI)
Complexe getallen
November, 2016
6 / 24
Meetkunde van complexe getallen
Optellen (en aftrekken) als vectoren
j4
z = z1 + z2 = 7 + j4
z2 = 2 + 3j
j3
j2
z1 = 5 + j
j
2
José Lagerberg (FNWI)
5
Complexe getallen
7
November, 2016
7 / 24
Meetkunde van complexe getallen
Vermenigvuldigen?
Bereken en teken
1
j(1 + j)
2
j(−1 + j)
3
(1 + j)(1 + j)
4
j2
5
(1 + j)(−1 + j)
José Lagerberg (FNWI)
Complexe getallen
November, 2016
8 / 24
Vermenigvuldigen van complexe getallen
Vermenigvuldigen van twee complexe getallen z1 en z2 is
rotatie van z1 over hoek van z2
schaling van z1 met lengte van z2
Of:
Hoeken van z1 en z2 worden opgeteld
Absolute waarden worden vermenigvuldigd
José Lagerberg (FNWI)
Complexe getallen
November, 2016
9 / 24
z = a + jb met poolcoördinaten (r , ϕ)
√
de absolute waarde van z: |z| = a2 + b2
het argument van z: arg(z) is hoek met positieve reële as
z
3
j2
−2
−1 + j
|z| arg(z)
3
0
2
π/2
π
√2
2 3π/4
Voor complexe getal z met absolute waarde r en argument ϕ geldt:
z = r (cos ϕ + j sin ϕ)
José Lagerberg (FNWI)
Complexe getallen
November, 2016
10 / 24
Poolcoördinaten (r , ϕ)
z = r (cos ϕ + j sin ϕ)
r
ϕ
r cos ϕ
z
r sin ϕ
Vermenigvuldigen met poolcoördinaten:
z1 = r1 (cos ϕ1 + j sin ϕ1 )
z2 = r2 (cos ϕ2 + j sin ϕ2 )
z1 z2 = r1 r2 (cos(ϕ1 + ϕ2 ) + j sin(ϕ1 + ϕ2 ))
José Lagerberg (FNWI)
Complexe getallen
November, 2016
11 / 24
Complexe e-macht
Definitie van complexe e-macht:
e jϕ = cos ϕ + j sin ϕ zodat z = re jϕ
Dit gedraagt zich als reële e-macht:
e jϕ1 e jϕ2 = (cos ϕ1 + j sin ϕ1 )(cos ϕ2 + j sin ϕ2 ) =
= (cos ϕ1 cos ϕ2 − sin ϕ1 sin ϕ2 ) + (cos ϕ1 sin ϕ2 + sin ϕ1 cos ϕ2 ) =
= cos(ϕ1 + ϕ2 ) + j sin(ϕ1 + ϕ2 )
= e j(ϕ1 +ϕ2 )
p
z = e jϕ ligt op eenheidscirkel: |e jϕ | = cos2 ϕ + sin2 ϕ = 1
José Lagerberg (FNWI)
Complexe getallen
November, 2016
12 / 24
Vermenigvuldigen in poolcoördinaten
We kunnen complex getal weergeven:
Cartesische coördinaten: z = a + jb
Poolcoördinaten: z = re jϕ
Bereken in poolcoördinaten en teken:
j(1 + j)
(1 + j)(1 + j)
José Lagerberg (FNWI)
Complexe getallen
November, 2016
13 / 24
Complex geconjugeerde
Complex geconjugeerde van:
z = a + jb is z ∗ = a − jb
z = re jϕ is z ∗ = re −jϕ
z = a + jb = re jϕ
jb
a
z ∗ = a − jb = re −jϕ
−jb
José Lagerberg (FNWI)
Complexe getallen
November, 2016
14 / 24
Machten op eenheidscirkel
2
Im
z3
1
z2
z4
0
z
Re
z5
-1
-2
-2
z = e jϕ ,
-1
0
1
2
z 2 = e j2ϕ , . . ., z n = e jnϕ
José Lagerberg (FNWI)
Complexe getallen
November, 2016
15 / 24
Complexe e-macht: vermenigvuldigen en delen
z1 z2 = r1 e jϕ1 r2 e jϕ2 = r1 r2 e j(ϕ1 +ϕ2 )
z1 r1 e jϕ1 r1 j(ϕ1 −ϕ2 )
= e
=
z2 r2 e jϕ2 r2
Bereken
1
Cartesiche coördinaten van e jπ , e j2π en e −j 2 π
zz ∗ voor z = re jϕ
z
voor z = re jϕ
z∗
José Lagerberg (FNWI)
Complexe getallen
November, 2016
16 / 24
Complexe e-macht: optellen en aftrekken?
e jπ + e jπ/2 =????
Complex geconjugeerde e-machten kun je optellen en aftrekken!
z + z ∗ = 2Re(z)
z − z ∗ = j2Im(z)
José Lagerberg (FNWI)
Complexe getallen
November, 2016
17 / 24
Inverse formule van Euler: optellen
e jϕ = cos ϕ + j sin ϕ
= cos ϕ − j sin ϕ
e −jϕ
e jϕ + e −jϕ
+
= 2 cos ϕ ⇒
Inverse formule van Euler
cos ϕ =
José Lagerberg (FNWI)
e jϕ + e −jϕ
2
Complexe getallen
November, 2016
18 / 24
Inverse formule van Euler: aftrekken
e jϕ = cos ϕ + j sin ϕ
e −jϕ = cos ϕ − j sin ϕ
e jϕ − e −jϕ
= 2j sin ϕ ⇒
−
Inverse formule van Euler
sin ϕ =
José Lagerberg (FNWI)
e jϕ − e −jϕ
2j
Complexe getallen
November, 2016
19 / 24
Voorbeeld inverse formule van Euler
Vereenvoudig de volgende som van complexe e-machten:
(1 + j)e −jϕ + (1 − j)e jϕ
(1 + j)e −jϕ + (1 − j)e jϕ =
e −jϕ + e jϕ + je −jϕ − je jϕ =
(e jϕ + e −jϕ ) − j(e jϕ − e −jϕ ) =
2(e jϕ + e −jϕ ) 2(e jϕ − e −jϕ )
+
= 2 cos ϕ + 2 sin ϕ
2
2j
José Lagerberg (FNWI)
Complexe getallen
November, 2016
20 / 24
Voorbeeld complex geconjugeerden optellen
1
2
αe jϕ + α∗ e −jϕ is som twee complex geconjugeerden
z + z ∗ = 2Re(z)
1
2
jϕ
∗
−jϕ
αe + α e
= Re(αe jϕ ) =
= Re(|α|e jφ e jϕ )
= |α|Re(e j(ϕ+φ) )
= |α| cos(ϕ + φ)
José Lagerberg (FNWI)
Complexe getallen
November, 2016
21 / 24
Kwadraten die negatief zijn
Kwadraat van j
j 2 = −1
(2j)2 = −4 en (6j)2 = −36
We
p dus wortel nemen van negatief getal:
√ kunnen
−1 = j 2 = j
p
√
√
√ √
−4 = (2j)2 = 2j of −4 = −1 4 = 2j
√
−36 = 6j
√
√
√ √
−12 = −1 12 = 2 3j
José Lagerberg (FNWI)
Complexe getallen
November, 2016
22 / 24
Vierkantsvergelijking met positieve discriminant
Oplossingen van ax 2 + bx + c = 0
√
−b ± b2 − 4ac
x1,2 =
2a
Gegeven x 2 + 2x − 3 = 0, bepaal oplossingen x1 , x2
√
√
−2 ± 22 − 4. − 3 −2 ± 4 + 12 −2 ± 4
x1,2 =
=
=
= −1 ± 2
2
2
2
x1 = 1 en x2 = −3
We kunnen nu ook vierkantsvergelijking oplossen met negatieve
discriminant
José Lagerberg (FNWI)
Complexe getallen
November, 2016
23 / 24
Vierkantsvergelijking met negatieve discriminant
Gegeven x 2 + 2x + 5 = 0, bepaal oplossingen x1 , x2
√
√
√
−2 ± 22 − 4.5 −2 ± 4 − 20 −2 ± −16
x1,2 =
=
=
2
2
2
=
−2 ± 4j
= −1 ± 2j
2
x1 = −1 + 2j en x2 = −1 − 2j
Als oplossingen van vierkantsvergelijking complex zijn, zijn deze altijd
complex geconjugeerd
José Lagerberg (FNWI)
Complexe getallen
November, 2016
24 / 24