Transcript Continue Fouriertransformatie

Continue Fouriertransformatie
José Lagerberg
Universiteit van Amsterdam
November, 2016
José Lagerberg (FNWI)
Continue Fouriertransformatie
November, 2016
1 / 45
1
Fouriertransformatie van niet-periodieke signalen
Van tijddomein naar frequentiedomein
Differentiatie-eigenschap Fouriertransformatie
Schaling in tijddomein
Van frequentiedomein naar tijddomein
Dualiteit
Tijd- en frequentieverschuivingseigenschap
2
Fouriertransformatie van periodiek signaal
Relatie tussen Fouriertransformatie en Fourierreeks
Convolutie- en modulatie-eigenschap
José Lagerberg (FNWI)
Continue Fouriertransformatie
November, 2016
2 / 45
Discreet
Periodiek
Niet periodiek
DT Fourier Series
N−1
x[n] =
DT Fourier Transform
Z
1
x[n] =
X (Ω)e jΩn d Ω
2π 2π
2π
∑ ak e jk N n
k=0
∞
2π
1 N−1
x[n]e −jk N n
ak =
∑
N n=0
n=−∞
Continu
Periodiek
Niet-periodiek
CT Fourier Series
ak e jkω0 t
CT Fourier Transform
Z
1 ∞
X (ω)e jωt d ω
x(t) =
2π −∞
x(t)e −jkω0 t dt
X (ω) =
∞
∑
x(t) =
k=−∞
Z
1
ak =
T0
x[n]e −jΩn
∑
X (Ω) =
T0
José Lagerberg (FNWI)
Continue Fouriertransformatie
Z ∞
−∞
x(t)e −jωt dt
November, 2016
3 / 45
Continue niet-periodieke signalen
Niet-periodiek signaal
Niet-periodiek signaal kan beschouwd worden als periodiek signaal
met oneindige periode
xT (t) periodiek en x(t) niet-periodiek
T
xT (t)
−4T −3T −2T
−T −S
S
T
2T
3T
4T
t
x(t)
x(t) = lim xT (t)
T →∞
−S
José Lagerberg (FNWI)
S
Continue Fouriertransformatie
t
November, 2016
4 / 45
Fourierreeks van xT (t) met ω0 = 2π/T
T
xT (t)
−4T −3T −2T
1
ak =
T
1
Z S
−S
e
−jkω0 t
−T −S
S
T
2T
3T
4T
t
2 sin ωS 2 sin kω0 S
=
dt =
T kω0
T ω ω=kω0
2π
2π
π
T S = 4S S = 2
2π
π
= 8S ⇒ ω0 S = 2π
T S = 8S S = 4
2π
π
= 16S ⇒ ω0 S = 2π
T S = 16S S = 8
T = 4S ⇒ ω0 S =
2
T
3
T
José Lagerberg (FNWI)
Continue Fouriertransformatie
November, 2016
5 / 45
Fourierreeks van xT (t) met T = 4S
T
xT (t)
−4T −3T −2T
−T −S
a−1
a1
2 sin kω0 S
T kω0
3T
4T
t
sin kω0 S = sin k π2 = 0
k = 2, tweede harmonische
2 sin ωS
T ω
a2
ω0
José Lagerberg (FNWI)
2T
a0
ak
ak =
T
S
2ω0
Continue Fouriertransformatie
k
ω
November, 2016
6 / 45
Verdubbelen periode verdubbelt aantal
harmonischen
T
xT (t)
−2T
ak =
2 sin kω0 S
T kω0
−S
−T
ak
a0 a
2T
T
t
sin kω0 S = sin π4 = 0
k = 4, vierde harmonische
1
a2
ω0
José Lagerberg (FNWI)
S
2 sin ωS
T ω
4ω0
Continue Fouriertransformatie
k
ω
November, 2016
7 / 45
Nog een keer verdubbelen
T
xT (t)
−T
−S
T
S
t
sin kω0 S = sin π8 = 0
k = 8, achtste harmonische
ak =
2 sin kω0 S
T kω0
ak
a0a1
ω0
José Lagerberg (FNWI)
2 sin ωS
T ω
8ω0
Continue Fouriertransformatie
k
ω
November, 2016
8 / 45
Van Fourierreeks naar Fouriertransformatie
2 sin kω0 S
2 sin ωS ak =
=
T kω0
T ω ω=kω0
2π
heel klein
Als T → ∞, dan wordt ω0 =
T
sin kω0 S
Tak = 2
= X (kω0 ) → X (ω) als T → ∞
kω0
∞
x(t) = lim xT (t) = lim ∑ ak e jkω0 t =
T →∞
T →∞ k=−∞
∞
1 ∞
ω0
jkω0 t
=
Tak e
lim X (kω0 )e jkω0 t ω0
∑
∑ 2π Tlim
→∞
2π k=−∞ T →∞
k=−∞
ω0 → 0 en T → ∞:
José Lagerberg (FNWI)
x(t) =
1
2π
Z ∞
−∞
X (ω)e jωt d ω
Continue Fouriertransformatie
November, 2016
9 / 45
Fouriertransformatie van niet-periodiek signaal
Analyse vergelijking van Fouriertransformatie
X (ω) =
Z ∞
−∞
x(t)e −jωt dt
Grootte van |X (ω)| is maat voor hoekfrequentie ω in signaal x(t)
Synthese vergelijking van Fouriertransformatie
1
x(t) =
2π
Z ∞
−∞
X (ω)e jωt d ω
X (ω) functie van alle hoekfrequenties (Fourierreeks: alleen
veelvouden van ω = 2π/T )
José Lagerberg (FNWI)
Continue Fouriertransformatie
November, 2016
10 / 45
Fouriertermen
Fouriertransformatie paar
x(t)
signaal in tijddomein
functie van tijd
x(t) = F −1 (X (ω))
inverse FT van X (ω)
F
←−
−→
X (ω)
signaal in frequentiedomein
spectrale dichtheid
X (ω) = F (x(t))
Fouriertransformatie van x(t)
|X (ω)| is amplitude spectrum
arg (X (ω)) is fase spectrum
Even of oneven
als x(t) even ⇒ X (ω) reëel
als x(t) oneven ⇒ X (ω) imaginair
José Lagerberg (FNWI)
Continue Fouriertransformatie
November, 2016
11 / 45
Voorbeeld 1, van tijddomein naar frequentiedomein
Gegeven volgende rechthoekige puls p1 (t) in tijddomein
p1 (t)
−1
0
t
1
Bereken X (ω) en teken amplitude spectrum
X (ω) =
Z ∞
−jωt
Z 1
1 h −jωt i1
e
=
dt =
−1
−jω
−jωt
dt =
e
−1
2 e jω − e −jω
2 sin ω
1 −jω
jω
=
e
−e
=
−jω
ω
2j
ω
x(t)e
−∞
José Lagerberg (FNWI)
Continue Fouriertransformatie
November, 2016
12 / 45
Voorbeeld 1, amplitude spectrum van p1(t)
X (ω) =
2 sin ω
, X (ω) is reëel (klopt, p1 (t) is even)
ω
2
|X (ω)|
π
ω
Fouriertransformatie paar
p1 (t)
F
←−
−→
José Lagerberg (FNWI)
2 sin ω
ω
Continue Fouriertransformatie
November, 2016
13 / 45
Voorbeeld 2, van tijddomein naar frequentiedomein
Gegeven volgende signaal in tijddomein x(t) = e −t u(t)
1
−3
−2
−1
1
2
3
4
Bereken X (ω) en teken amplitude spectrum
X (ω) =
Z ∞
0
e
−t −jωt
e
h
i∞
1
1
−t(1+jω)
dt =
=
e
0
−1 − jω
1 + jω
1
X (ω) = √
1 + ω2
José Lagerberg (FNWI)
Continue Fouriertransformatie
November, 2016
14 / 45
Voorbeeld 2, amplitude spectrum van x(t)
1
X (ω) = √
1 + ω2
|X (ω)|
ω
Fouriertransformatie paar
x(t) = e −t u(t)
José Lagerberg (FNWI)
F
←−
−→
X (ω) =
1
1 + jω
Continue Fouriertransformatie
November, 2016
15 / 45
Differentiatie-eigenschap Fouriertransformatie
Differentiëren in tijddomein
Als signaal gedifferentieerd wordt naar de tijd, wordt X (ω)
vermenigvuldigd met jω
Fouriertransformatie paar
x(t)
x ′ (t)
F
←−
−→ X (ω)
F
←−
−→ jωX (ω)
José Lagerberg (FNWI)
Continue Fouriertransformatie
November, 2016
16 / 45
Spectrum puls p1 (t)
p1 (t)
−1
0
t
1
2
X (ω)
π
ω
Fouriertransformatie paar
p1 (t)
F
←−
−→
José Lagerberg (FNWI)
2 sin ω
ω
Continue Fouriertransformatie
November, 2016
17 / 45
Wat is X (ω) van 2 keer zo brede puls p2(t)?
p2 (t)
−2
0
2
t
a
X (ω)
ω0
ω
Fouriertransformatie paar
p2 (t)
F
←−
−→ ?
José Lagerberg (FNWI)
Continue Fouriertransformatie
November, 2016
18 / 45
X (ω) van p2(t)
X (ω) =
Z 2
−2
e −jωt dt =
1 h −jωt i2
2 sin 2ω 4 sin 2ω
e
=
=
−2
−jω
ω
2ω
4
X (ω)
π/2
ω
Fouriertransformatie paar
p2 (t)
F
←−
−→
José Lagerberg (FNWI)
4 sin 2ω
2ω
Continue Fouriertransformatie
November, 2016
19 / 45
Inverse relatie tijddomein en frequentiedomein
p1 (t)
−1
1
X1 (ω) =
2
t
2 sin ω
ω
π
ω
4
X2 (ω) =
p2 (t)
−2
0
2 t
4 sin 2ω
2ω
ω
π/2
Frequentie omgekeerd evenredig met duur puls
signaal kort ↔ spectrum breed
signaal lang ↔ spectrum smal
José Lagerberg (FNWI)
Continue Fouriertransformatie
November, 2016
20 / 45
Uitrekken in tijddomein versmalt frequentie
x2 (t) = x1 (at)
Als x2 (t) twee keer zo breed is als x1 (t), hoe groot is a dan?
1
a = 0.5
2
a=2
José Lagerberg (FNWI)
Continue Fouriertransformatie
November, 2016
21 / 45
Antwoord
x2 (t) twee keer zo breed als x1 (t), dan moet gelden
x2 (2) = x1 (1)
x2 (t) = x1 (at)
at = 1 voor t = 2, dus a = 0.5
Uitrekken tijd drukt frequentie samen
x2 (t) = x1 (at)
Als tijd uitgerekt wordt van x1 naar x2 , dan a < 1
José Lagerberg (FNWI)
Continue Fouriertransformatie
November, 2016
22 / 45
Schaling in tijddomein
Gegeven x2 (t) = x1 (at) met a > 0
Z ∞
Z ∞
−jωt
τ=at
dt =
x1 (at)e −jωt dt =
−∞
−∞
Z ∞
1 ω
−jωτ/a 1
x1 (τ)e
d τ = X1
a
a
a
−∞
X2 (ω) =
x2 (t)e
Fouriertransformatie paar voor alle a 6= 0
x(at)
F
←−
−→
1 ω
X
|a|
a
Als tijd uitgerekt (a < 1), dan frequentie samengedrukt en amplitude
vergroot
José Lagerberg (FNWI)
Continue Fouriertransformatie
November, 2016
23 / 45
Voorbeeld 3, van frequentiedomein naar tijddomein
Inverse Fouriertransformatie
Gegeven X (ω), bepaal x(t)
1
−ω0
x(t) =
1
2π
Z ∞
−∞
X (ω)
ω0
ω
Z
sin ω0 t
1 ω0 jωt
1 h jωt iω0
=
e dω =
2π −ω0
2π jt −ω0
πt
ω0 /π
x(t)
X (ω)e jωt dω =
π
ω0
José Lagerberg (FNWI)
Continue Fouriertransformatie
t
November, 2016
24 / 45
Fouriertransformatie van eenheidsimpuls
x(t) = δ(t)Z
F (δ(t)) =
∞
−∞
δ(t)e −jωt dt = e −jω.0 = 1
1
δ(t)
t
0
X (ω)
ω
Fouriertransformatie paar
δ(t)
F
←−
−→
X (ω) = 1
Opmerkingen
1
X (ω) is reëel ⇒ δ(t) is som van oneindig aantal cosinussen met
alle frequenties even zwaar geteld
2
δ(t) heel kort, dan spectrum heel breed
José Lagerberg (FNWI)
Continue Fouriertransformatie
November, 2016
25 / 45
Symmetrie van Fouriertransformatie
2S
X (ω)
1 x(t)
−S
t
S
W /π
1 X (ω)
x(t)
π/W
José Lagerberg (FNWI)
ω
π/S
t
−W
Continue Fouriertransformatie
W
ω
November, 2016
26 / 45
Dualiteit
Fouriertransformatie en inverse Fouriertransformatie
X (ω) =
x(t) =
Z ∞
−∞
1
2π
x(t)e −jωt dt
Z ∞
−∞
Fouriertransformatie F (x(t))
X (ω)e jωt d ω inverse Fouriertransformatie F −1 (X (ω))
Van ene vorm naar andere
1
ω→t
2
t → −ω
3
×2π
Fouriertransformatie paar en duale
x(t)
X (t)
F
←−
−→ X (ω)
F
←−
−→ 2πx(−ω)
José Lagerberg (FNWI)
Continue Fouriertransformatie
November, 2016
27 / 45
Gebruik dualiteit om nieuw transformatie paar te vinden
x(t)
X (t)
F
←−
−→ X (ω)
F
←−
−→ 2πx(−ω)
Fouriertransformatie paren
X (ω) = 1
x(t) = δ(t)
1
ω
t
X (t) = 1
2πx(−ω) = 2πδ(ω)
2π
t
José Lagerberg (FNWI)
Continue Fouriertransformatie
0
ω
November, 2016
28 / 45
Fouriertransformatie van δ(t − T )
δ(t − T )
0 T
X (ω) =
Z ∞
−∞
t
δ(t − T )e −jωt dt = e −jωT
|X (ω)| = 1
1
argX (ω) = −ωT
ω
ω
Fouriertransformatie paar
δ(t − T )
F
←−
−→
José Lagerberg (FNWI)
e −jωT
Continue Fouriertransformatie
November, 2016
29 / 45
Tijd- en frequentieverschuivingseigenschap
Verschuivingseigenschappen
1
2
Tijdverschuiving:
F
x(t − t0 ) ←−
−→ e −jωt0 X (ω)
Frequentieverschuiving:
F
e jω0 t x(t) ←−
−→ X (ω − ω0 )
Fouriertransformatie van e ±jω0 t
F
1 ←−
−→ 2πδ(ω)
1
e jω0 t
2
e −jω0 t
F
←−
−→ 2πδ(ω − ω0 )
F
←−
−→ 2πδ(ω + ω0 )
José Lagerberg (FNWI)
Continue Fouriertransformatie
November, 2016
30 / 45
Fouriertransformatie van periodiek signaal
Van Fourierreeks naar Fouriertransformatie
1
Fourierreeks van periodiek signaal x(t) =
∞
∑
ak e jkω0 t
k=−∞
2
Fouriertransformatie van periodiek signaal met coëfficiënten ak
kan beschouwd worden als pulstrein op harmonische frequenties
met oppervlakte van puls op k-de harmonische frequentie kω0 is
2π maal ak
José Lagerberg (FNWI)
Continue Fouriertransformatie
November, 2016
31 / 45
Fouriertransformatie van cos ω0t
Formule van Euler
cos ω0 t =
e jω0 t + e −jω0 t
2
cos is som complexe e-machten
F
e −jω0 t ←−
−→ 2πδ(ω + ω0 )
e jω0 t
cos ω0 t
F
←−
−→ 2πδ(ω − ω0 )
F
←−
−→ πδ(ω − ω0 ) + πδ(ω + ω0 )
X (ω)
x(t)
π
t
José Lagerberg (FNWI)
−ω0
Continue Fouriertransformatie
π
ω0
ω
November, 2016
32 / 45
Fouriertransformatie van periodiek signaal
Gegeven periodiek signaal x(t) met periode T0 .
Wat is de Fouriertransformatie van x(t)?
Fourierreeks van x(t)
x(t) = x(t + T0 ) =
∞
∑
ak e jkω0 t met ω0 = 2π/T0
k=−∞
Fouriertransformatie
∞
jkω0 t
=
F x(t) = F ∑ ak e
k=−∞
∞
∑
X (ω) = 2π
k=−∞
José Lagerberg (FNWI)
∞
∑
jkω0 t
ak F e
k=−∞
F
jkω
e 0 t ←−
−→
Gebruik
ak δ ω − kω0
Continue Fouriertransformatie
2πδ(ω − kω0 )
November, 2016
33 / 45
Relatie tussen Fouriertransformatie en Fourierreeks
Elke term uit Fourierreeks vervangen door impuls
lijnenspectrum van Fourierreeks
a−1
a−5
a−4
a−3
a−2
a1
a2
a0
0
a3
a4
1
a5
k
spectrum van Fouriertransformatie
2πa−1
2πa−2
2πa−3
2πa−4
2πa1
2πa2
2πa0
0
2πa3
ω0
2πa4
ω
FT van periodiek signaal: pulstrein op harmonische frequenties
José Lagerberg (FNWI)
Continue Fouriertransformatie
November, 2016
34 / 45
Fouriertransformatie van impulstrein
Wat is de Fouriertransformatie van een impulstrein?
∞
x(t) =
∑
k=−∞
δ(t − kT0 )
δ(t)
1
δ(t − T0 )
0 T0
José Lagerberg (FNWI)
Continue Fouriertransformatie
t
November, 2016
35 / 45
Fouriertransformatie van impulstrein
Fouriertransformatiepaar
∞
∑
x(t) =
k=−∞
∞
F
ak e jkω0 t ←−
−→ X (ω) = 2π
∑
k=−∞
∞
Fourierreeks van x(t) =
∑
Z T0 /2
k=−∞
1
ak =
T0
−T0 /2
ak δ ω − kω0
δ(t − kT0 ) is
δ(t)e −jkω0 t dt =
1 0
1
e =
T0
T0
∞
2π ∞
X (ω) =
∑ δ(ω − kω0 ) = ω0 ∑ δ(ω − kω0 )
T0 k=−∞
k=−∞
José Lagerberg (FNWI)
Continue Fouriertransformatie
November, 2016
36 / 45
Fouriertransformatie van impulstrein
∞
x(t) =
∑
k=−∞
∞
F
−→ X (ω) = ω0
δ(t − kT0 ) ←−
∑
k=−∞
δ(ω − kω0 )
δ(t)
1
δ(t − T0 )
0 T0
t
δ(ω)
δ(ω − ω0 )
ω0
0 ω0 2ω0
José Lagerberg (FNWI)
Continue Fouriertransformatie
ω
November, 2016
37 / 45
Convolutie- en modulatie-eigenschap
Convolutie in tijddomein ↔ vermenigvuldiging in frequentiedomein
Convolutie-eigenschap
F
(x ∗ y )(t) ←−
−→ X (ω)Y (ω)
Vermenigvuldiging in tijddomein ↔ convolutie in frequentiedomein
Modulatie-eigenschap
F
x(t)y (t) ←−
−→
1
(X ∗ Y )(ω)
2π
José Lagerberg (FNWI)
Continue Fouriertransformatie
November, 2016
38 / 45
Bereken de convolutie van cos(t) en p1 (t) =
e −jω0 t
e jω0 t
cos ω0 t
F
2πδ(ω + ω0 )
F
2πδ(ω − ω0 )
←−
−→
←−
−→
F
←−
−→
F
(
1 : −1 ≤ t ≤ 1
0 : elsewhere
πδ(ω − ω0 ) + πδ(ω + ω0 )
X (ω) = πδ(ω − 1) + πδ(ω + 1)
2 sin ω
p1 (t)
←−
−→ P1 (ω) =
ω
sin ω P1 (ω)X (ω) =
2πδ(ω − 1) + 2πδ(ω + 1) =
ω
sin(1) 2πδ(ω − 1) + 2πδ(ω + 1) =
0.84 2πδ(ω − 1) + 2πδ(ω + 1)
x(t) = cos(t)
←−
−→
F
(p1 ∗ x)(t) = 0.84(e jt + e −jt ) = 1.68
José Lagerberg (FNWI)
e jt + e −jt
= 1.68 cos(t)
2
Continue Fouriertransformatie
November, 2016
39 / 45
Wat is spectrum van product van twee sinusoı̈den?
y (t) = x(t)c(t) = sin(πt) cos(10πt)
Voor spectrum is som van frequentiecomponenten nodig:
y (t) =
e jπt − e −jπt e j10πt + e −j10πt 1 j11πt
4j e
2j
2
=
− 4j1 e j9πt + 4j1 e −j9πt − 4j1 e −j11πt =
1
1
2 sin(11πt) − 2 sin(9πt)
Y (ω)
−11π −9 π
José Lagerberg (FNWI)
0
Continue Fouriertransformatie
9π
11 π
ω
November, 2016
40 / 45
Modulatie-eigenschap van Fouriertransformatie
Modulatie-eigenschap
F
x(t)y (t) ←−
−→
1
(X ∗ Y )(ω)
2π
Convolutie met spectrum cos is verschuiving in frequentiedomein
X (ω)
−π 0 π
−10π
0
−11π −9 π
0
José Lagerberg (FNWI)
ω
C (ω)
10 π
ω
Y (ω)
Continue Fouriertransformatie
9π
11 π
ω
November, 2016
41 / 45
Wat is spectrum van product x(t) cos(ωc t)?
e jωc t + e −jωc t y (t) = x(t) cos(ωc t) = x(t)
=
2
1
1
x(t)e jωc t + x(t)e −jωc t ⇒
2
2
Y (ω)
shift property
=
1
1
X (ω − ωc ) + X (ω + ωc )
2
2
Spectrum bevat verschoven copiën
Fouriertransformatie bevat twee naar ±ωc verschoven copiën van
spectrum van x(t)
Vermenigvuldigen cos(ωc t): spectrum verschuiven naar ±ωc
José Lagerberg (FNWI)
Continue Fouriertransformatie
November, 2016
42 / 45
Verschuiven originele spectrum naar ±ωc
Spectrum van y (t) = x(t) cos(ωc t)
X (ω)
0
−ωc
José Lagerberg (FNWI)
ωc
0
1
2 X (ω + ωc )
−ωc
ω
Y (ω)
0
Continue Fouriertransformatie
ω
1
2 X (ω − ωc )
ωc
ω
November, 2016
43 / 45
niet-periodiek signaal Fouriertransformatie
x(t)
X (ω)
y (t)
Y (ω)
ax(t) + by (t)
aX (ω) + bY (ω)
x(t − t0 )
e −jωt0 X (ω)
e jω0 t x(t)
X (ω − ω0 )
x(−t)
X (−ω)
1 ω
X
x(at)
|a|
a
(x ∗ y )(t)
X (ω)Y (ω)
1
x(t)y (t)
(X ∗ Y )(ω)
2π
d
jωX (ω)
x(t)
dt
d
tx(t)
j X (ω)
ω
x(t) real
X (ω) = X ∗ (−ω)
José Lagerberg (FNWI)
Continue Fouriertransformatie
eigenschap
lineair
tijdverschuiving
frequentieverschuiving
schaling
convolutie
modulatie
differentiatie
differentiatie
complex geconjugeerd
November, 2016
44 / 45
signaal
∞
∑
ak e jkω0 t
k=−∞
e jω0 t
∞
n=−∞
∞
2π
∑
k=−∞
cos(ω0 t)
sin(ω0 t)
x(t) = 1
∑
Fouriertransformatie
δ(t − nT )
δ(t)
δ(t − t0 )
José Lagerberg (FNWI)
ak δ(ω − kω0 )
2πδ(ω − ω0 )
π(δ(ω − ω0 ) + δ(ω + ω0 ))
π
j (δ(ω − ω0 ) − δ(ω + ω0 ))
2πδ(ω)
2π ∞ 2πk δ
ω
−
∑
T k=−∞
T
1
e −jω0 t
Continue Fouriertransformatie
Fourierreeks (periodiek)
ak
a1 = 1, ak = 0 anders
a±1 = 1/2, ak = 0 anders
a±1 = 1/2, ak = 0 anders
a0 = 1 voor elke T0
ak =
1
T
-
November, 2016
45 / 45