Transcript Slide-10-Integrali Definiti

Matematica per l’Economia L-Z
Gruppo L-Z
Diparitimento di Economia
Universitá degli Studi di Foggia
INTEGRALI DEFINITI
Giovanni Villani
Funzioni integrabili secondo Riemann
Sia data una funzione limitata: f : [a, b] −→ R
Si definisce come suddivisione o partizione di
[a, b] il seguente insieme D:
D = {x0, x1, x2, · · · xn}
t.c.
a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b
Si indicherá a con D([a, b]) l’insieme delle suddivisioni di [a, b].
Somma di Riemann al variare di D
Chiameremo somma inferiore relativa ad f e
a D la seguente sommatoria:
s(f, D) =
n
X
mi (xi − xi−1)
i=1
1
dove mi =
inf
x∈[xi−1,xi ]
f (x), ossia é e l’estremo
inferiore della f nell’i-simo intervallino.
Chiameremo somma superiore relativa ad f
e a D la seguente sommatoria:
S(f, D) =
n
X
Mi(xi − xi−1)
i=1
dove Mi =
sup
f (x), ossia é e l’estremo
x∈[xi−1,xi ]
superiore della f nell’intervallino.
Indichiamo con:
Af = {s(f, D) con D ∈ D([a, b])}
l’insieme di tutte le somme inferiori che si ottengono al variare delle suddivisioni D, e con:
Bf = {S(f, D) con D ∈ D([a, b])}
ossia l’insieme di tutte le somme superiori che
si ottengono al variare delle suddivisioni D.
Osservazione 1 Una somma inferiore é sempre minore o uguale di una somma superiore,
ossia:
s(f, D) ≤ S(f, D)
∀D ∈ D([a, b])
Definizione 1 (Integrale secondo Riemann)
f dicesi integrabile secondo Riemann se Af
e Bf sono contigui e si definisce integrale di
f esteso all’intervallo [a, b] l’unico elemento di
separazione tra Af e Bf , ossia:
Z
[a,b]
f (x) dx = sup Af = inf Bf
Proprietá additiva degli integrali
Sia f : [a, b] → R, f integrabile:
Z
[a,b]
f (x) dx =
Z
[a,c]
f (x) dx+
Z
[c,b]
f (x) dx, ∀c ∈ [a, b]
Integrale Definito
Definizione 2 Sia f : X → R, f integrabile
nell’intervallo X.
∀ a, b ∈ X, si definisce integrale definito di f
da a a b, il numero:
Z b
a
f (x) dx =







Z
[a,b]
Z





 −
f (x) dx
se a < b
0
se a = b
f (x) dx
se a > b
[b,a]
Proprietá dell’integrale definito
Siano f, g : X → R, f, g integrabili in X, ∀ a, b, c ∈
X:
1)Proprietá di linearitá:
•
Z b
a
[f (x) + g(x)] dx =
Z b
a
f (x) dx +
Z b
a
g(x) dx;
•
Z b
a
kf (x) dx = k
Z b
a
f (x) dx,
∀k ∈ R
2) Proprietá additiva
•
Z b
•
Z b
a
a
f (x) dx =
Z c
a
f (x) dx = −
f (x) dx +
Z a
b
f (x) dx,
Z b
c
f (x) dx
∀ a, b ∈ X
Teorema 1 (Teorema di esistenza delle primitive)
Sia: f : [a, b] → R, f continua nell’intervallo
[a, b]. Allora f é dotata di primitive.
Da Dimostrare.
Teorema 2 (della media per gli integrali definiti)
Sia f : X → R ; f continua. Allora:
∀ a, b ∈ X ∃ c ∈ [a, b] tale che :
Z b
a
f (x) dx = f (c)(b − a)
Teorema 3 (fondamentale del calcolo integrale).
Sia f : [a, b] → R, f continua. Allora, ∀ G primitiva di f risulta:
Z b
a
f (x) dx = [G(x)]ba = G(b) − G(a)