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Magneto / Elettro – Encefalo Grafia
Tecniche di imaging funzionale non-invasive
Il Cervello - micro
I neuroni comunicano mediante correnti elettriche dendriti PSP Corpo neurone Dendriti: canali di “input” del neurone Assone: canale di “output” del neurone Sinapsi: luogo di “contatto” tra dendrite e corpo del neurone PSP: potenziale post-sinaptico, responsabile di correnti più durevoli Potenziale d’azione: segnale di output, scorre nell’assone assone pot. d’azione
Il Cervello - Macro
I compiti più evoluti vengono svolti dalla corteccia, la superficie L’organizzazione del cervello è “a blocchi”: cellule vicine svolgono compiti analoghi (con buona probabilità) L’orientazione delle correnti è “costante” su piccole porzioni di corteccia Un buon numero (>= 10 6 ) di sinapsi attive “contemporaneamente” produce una corrente macroscopica
Equazioni di Maxwell
La Fisica
E
E
r
B
t
B
0
B
0
J
r
E
t
approssimazione quasi-statica Biot-Savart
NB:
J
è in realtà dato da due termini:
J
J
p
J
v
Corrente primaria (neurale)
J
p
E
V
J
p
V
J
Corrente di volume
J
v
E
V
0 (
V
)
J
p
La corrente neurale genera campi elettrici e magnetici: (
V
)
J
p
MEG Magnetometro: il flusso di campo magnetico variabile induce una corrente (legge di Faraday) Gradiometri: combinazioni che rilevano le derivate spaziali del flusso
I Sensori
La misura è affidata a sensori detti SQUID (Superconducting Quantum Interference Device) EEG Coppia di elettrodi: misura la differenza di potenziale tra i due
Gli Strumenti
Aspetti Sperimentali - MEG
L’ordine di grandezza dei campi da misurare richiede tecnologie avanzate (e costose): Campo terra Campo cuore Campo cervello 10^11 fT 10^5 fT 10^2 fT Stanze magneticamente schermate Compensazione attiva (elettromagneti annullano il campo resoduo) Configurazioni sensori (gradiometri) tali da ridurre la sensibilità verso sorgenti lontane
Il cervello: una fonte ineliminabile di “rumore”
M/EEG: Rumore Neurale
M.E.G.
M/EEG: il Dato (RAW)
Risoluzione temporale: 1 ms cca Rapporto segnale/rumore… E.E.G.
Quando si è interessati alla risposta ad uno stimolo specifico, è possibile ripetere lo stimolo e mediare le risposte
M/EEG: stimulus-related
Segnale “esatto” Segnale rumoroso
M/EEG: stimulus-related
La somma di 10 “trials” Pro: il rapporto segnale rumore cresce perché l’attività non legata allo stimolo viene cancellata Contro: si perde il dettaglio della risposta al singolo stimolo (habituation)
sinistra destra FILMATO
Perché usare EEG/MEG
Le “concorrenti”: • risonanza magnetica funzionale (fMRI) • Tomografia a emissione di positroni (PET) o a singolo fotone (SPECT) • Spettroscopia nel vicino infrarosso (NIRS) misurano • quantità legate al metabolismo (essenzialmente l’afflusso di sangue) • (quindi...) con risoluzione temporale molto bassa (1 sec)
Il Problema Inverso
Nei problemi inversi si va spesso “all’indietro” nelle relazioni causa-effetto, tentando di risalire alle cause partendo dagli effetti Le correnti producono campi elettrici e magnetici; dai campi elettrici e magnetici misurati con EEG e MEG ora tentiamo di “ricostruire” le correnti
fisica
Domanda: è possibile ritrovare le correnti?
Risposta: NO matematici La motivazione della Fisica: esistono distribuzioni di correnti tali da non produrre campo elettrico (o magnetico) all’esterno della testa (“sorgenti silenziose”) La motivazione della Matematica: gli operatori di Laplace (EEG) e di Biot-Savart (MEG) sono malposti (ora approfondiamo) Il commento delle Neuroscienze: cheppalle…
Il Problema Inverso – Formulazione Matematica
La teoria dei problemi inversi aiuta a superare il NO di prima Cosa è un problema mal posto?
Un problema è ben posto se: • la soluzione esiste per ogni dato • la soluzione è unica • la soluzione dipende con continuità dai dati
Il Problema EEG
J
J
p
J
v
J
p
V
La divergenza di un rotore è nulla
( (
r
)
V
(
r
))
J
p
(
r
)
J
V V
J
p
Correnti della forma
J
p
A
non contribuiscono al potenziale
Il Problema MEG
J
J
p
J
v
J
p
V
Stokes et al...
J
B B
J
p
Dominio semplicemente connesso Operatore di Biot-Savart BS :
C
( ) Teorema. Il nucleo dell’operatore di Biot-Savart contiene il sottospazio
M
:
j
m
:
m
(
C
0 2 ( )) 3 Parentesi: perché non possiamo usare direttamente l’equazione di Maxwell??
C
( )
L’importanza del problema diretto
Saper calcolare il problema diretto è fondamentale quando si affronta il problema inverso 1. Produce dati sintetici di test 2. È quasi sempre coinvolto nel processo di soluzione del problema inverso
Calcolo - Discretizzazione
Ovvero trasformare tutto in matrici...
( (
r
)
V
(
r
))
J
p
(
r
)
Il dato è discreto.
Discretizzazione della corrente. Il problema è lineare, scelta della “base”, si lavora per sovrapposizione...
Una base “naturale”: la corrente puntiforme o “dipolo di corrente”.
J
p
Q
(
r
r Q
)
Integrale somma. Problema in forma matriciale; inserendo anche il tempo:
[V] e [B] = numero sensori X numero istanti [F] = numero sensori X numero punti [J] = numero punti X numero istanti
Il Dipolo di Corrente (M/EEG)
Il dipolo di corrente è un concetto largamente utilizzato in M/EEG. Poco altrove.
NB: è DIVERSO dal dipolo elettrico (coppia di cariche)...
... e dal dipolo magnetico (coppia di poli, o corrente di una spira)
Il Dipolo di Corrente (M/EEG)
Dal punto di vista matematico, è un vettore applicato.
Dal punto di vista fisico, è una corrente puntiforme.
J
p
Q
(
r
r Q
) E’ l’elemento base per calcolare il contributo della corrente primaria al campo. Per la corrente di volume, tutto dipende dalla geometria del conduttore
J
J
p
J
v
NB: il dipolo di corrente è anche l’approssimazione di ordine zero di una qualunque distribuzione di corrente
Modelli di Testa (M/EEG)
La conducibilità nella testa è una quantità variabile (in linea di principio, un campo tensoriale) Tre ordini di approssimazione: 1. Conduttore omogeneo, isotropo 2. Conduttore inomogeneo, isotropo 3. Conduttore inomogeneo, anisotropo
Modello semplice
1. Conduttore omogeneo, isotropo
Modello semplice
sensore Assumendo simmetria sferica per il conduttore
r
2
r’
1 Il contributo delle correnti di volume alla componente radiale del campo magnetico è nullo!
Esiste una formula analitica per calcolare il campo magnetico totale
Modello medio
2. Conduttore inomogeneo, isotropo
Modello medio
La superficie viene tassellata con un (elevato) numero di triangoli; Si tiene conto della natura non-omogenea della conducibilità.
Il potenziale sul triangolo i-esimo è dato da:
Modello realistico
3. Conduttore inomogeneo, anisotropo L’intero volume viene tassellato con un (elevato) numero di tetraedri
Modello realistico
Si può tener conto della natura tensoriale della conducibilità, stimata da immagini MRI
Modello realistico
Quanto conta l’anisotropia?