Transcript presso-flessione

Domini di resistenza - stato limite ultimo
Si possono ottenere semplicemente ribaltando il dominio
M-N costruito nel caso di tenso-flessione?
Flessione composta
pressoflessione
Va bene per la singola sezione, ma per l’asta bisogna tener
conto dell’instabilità
M Mpl,Rd
Compressione
Trazione
-Npl,Rd
Npl,Rd
Costruzione del domini di resistenza
N
1-
M
Costruzione del domini di resistenza
N1 = Nb,Rd ‹ Npl,Rd
1-
M
Mpl,Rd
-Npl,Rd
N
Mpl,Rd
1 - N1 = Nb,Rd, M1 = 0
-Npl,Rd
1
N
Costruzione del domini di resistenza
M2
M2
2-
M
Mpl,Rd
-Npl,Rd
N
Costruzione del domini di resistenza
M2
M2
2-
M
1 - N1 = Nb,Rd, M1 = 0
Mpl,Rd
1 - N1 = Nb,Rd, M1 = 0
-Npl,Rd
1
N
1
N
1
Costruzione del domini di resistenza
M2
M2
2-
M
2
-Npl,Rd
M3
N2 ‹ Nb,Rd
Mpl,Rd
M
1 - N1 = Nb,Rd, M1 = 0
M3
M3 = Mpl,Rd
L’asta si plasticizza e
collassa in assenza di
sforzo normale
M
Mpl,Rd
3
2
-Npl,Rd
1
N
N
Influenza della snellezza
Il dominio dipende dalla snellezza dell’asta:
- L’ampiezza del dominio si riduce all’aumentare della
snellezza;
M
1 - N1 = Nb,Rd, M1 = 0
2 – N2 < Nb,Rd, M2 < Mpl,Rd
1 - N1 = Nb,Rd, M1 = 0
2 – N2 < Nb,Rd, M2 < Mpl,Rd
1
Costruzione del domini di resistenza
Mpl,Rd
2
-Npl,Rd
N
3-
M3 = Mpl,Rd
3-
2 – N2 < Nb,Rd, M2 < Mpl,Rd
1
Costruzione del domini di resistenza
Mpl,Rd
λ = 0.5
-Npl,Rd
λ = 1.0
λ = 0.5
λ = 1.5
N
3 – N3 = 0, M3 = Mpl,Rd
Collegando i punti si
ottiene il dominio
λ = 1 .5
Influenza della snellezza
Influenza della snellezza
Il dominio è simmetrico per aste con sezione trasversale
simmetrica
Il dominio dipende dalla snellezza dell’asta:
- Nel caso di aste tozze coincide con quello per
presso-flessione della sezione
M
Mpl,Rd
λ = 0.5
-Npl,Rd
λ = 1.0
N
M
Asta tozza
λ = 0.5
λ = 1.5
λ = 1 .0
λ = 1 .0
λ = 1 .5
Mpl,Rd
λ = 0.5
-Npl,Rd
λ = 1.0
Asta tozza
λ = 0.5
λ = 1.5
N
λ = 1 .0
λ = 1 .5
2
Influenza del diagramma del momento
M
M
1-
λ = 1.5
M
Influenza del diagramma del momento
Distribuzione di
momenti tipo 1
M
M
λ = 1.5
M
Mpl,Rd
1-
Mpl,Rd
-Npl,Rd
-Npl,Rd
N1
Distribuzione di
momenti tipo 1
M
M
1-
Tipo 1
N
N
Influenza del diagramma del momento
Influenza del diagramma del momento
M
M
Mpl,Rd
λ = 1.5
-Npl,Rd
M
Distribuzione di
momenti tipo 2
2-
M
M
1-
N2
2-
λ = 1.5
Tipo 2
-Npl,Rd
Tipo 1
M
Mpl,Rd
Distribuzione di
momenti tipo 2
M
M
1-
M
Tipo 1
2-
N
N
Influenza del diagramma del momento
Influenza del diagramma del momento
M
-M
3-
λ = 1.5
Tipo 2
-Npl,Rd
M
Mpl,Rd
Distribuzione di
momenti tipo 3
M
1-
M
Tipo 1
N
2-
M
M
λ = 1.5
M
Mpl,Rd
3-
M
Tipo 2
-Npl,Rd
Tipo 3
N3
Distribuzione di
momenti tipo 3
M
1-
M
M
Tipo 1
N
2-
M
3-
-M
3
Verifica - stato limite ultimo
Influenza del diagramma del momento
Il dominio dipende dall’andamento del diagramma del
momento flettente:
- L’ampiezza del dominio aumenta passando dal
diagramma di tipo 1 a quello di tipo 3.
M
Mpl,Rd
λ = 1.5
Tipo 2
Tipo 3
-Npl,Rd
• E’ possibile usare un approccio semplificato.
Se non vi è rischio di instabilità flesso-torsionale,
occorre controllare che:
x,eq,Ed
M
M
1-
x
N
y
cr,x
2-
M
-M
3-
cr,y
o, in sostanza:
My,eq,Ed
Mx,eq,Ed
NEd
+
≤1
+
NbRd
⎛
⎛
N ⎞
N ⎞
Mx,Rd ⎜⎜ 1 − Ed ⎟⎟ My,Rd ⎜ 1 − Ed ⎟
⎜
Ncr,x ⎠
Ncr, y ⎟⎠
⎝
⎝
M
Tipo 1
y,eq,Ed
Ncr è il carico
critico Euleriano
Circolare, punto 4.2.4.1.3.3.1 - metodo A
Verifica - stato limite ultimo
• Il momento equivalente Meq,Ed tiene conto della
variazione del momento nell’asta e può essere preso
pari a
Meq,Ed = 1.3 Mm,Ed
assumendo comunque
Esempio
F1
F2
Ma
3.50
0.75 Mmax,Ed ≤ Meq,Ed ≤ Mmax,Ed
Mb
Mm,Ed è il valore medio del momento nell’asta
• Per asta vincolata agli estremi con momento
variabile linearmente si può assumere
Meq,Ed = 0.6 Ma − 0.4 Mb
2.00
F1 = 800 kN
F2 = 60 kN
Meq,Ed ≥ 0.4 Ma
assumendo comunque
Ma = 120 kNm
Mb = 0 kN
Meq,Ed = 0.6 × 120 − 0.4 × 0 = 72 kNm
Ma è il massimo tra i due ed il segno si riferisce al verso della
coppia M (se Ma=-Mb il diagramma di M è costante e Meq,Ed=Ma)
Esempio
F1
F2
Ma
3.50
Mb
Ncr =
Esempio
Sezione
HEB300
A
149 cm2
Wpl
1868 cm3
Acciaio
S235
F1
π E Iy
2
l02
instabilità intorno a x
F2
Ma
3.50
Mb
Mpl,Rd = 418.1 kNm
NbRd = 2828.6 kN
2.00
2.00
instabilità intorno a y
l0 = 3.50 m
Ncr = 42586 kN
NEd= 860 kN
NEd
+
NbRd
Sezione
HEB300
A
149 cm2
Wpl
1868 cm3
Acciaio
S235
Mpl,Rd = 418.1 kNm
NbRd = 2828.6 kN
NbRd,x = 3233.2 kN
My, eq,Ed
860
72
=
+
=
⎛
NEd ⎞ 2828.6 418.1⎛ 1 − 860 ⎞
⎟
⎜
⎟
Mx,Rd ⎜⎜ 1 −
42586 ⎠
⎝
Ncr, x ⎟⎠
⎝
= 0.304 + 0.175 = 0.483 ≤ 1
4
Verifica - stato limite ultimo
Verifica - stato limite ultimo
• In alternativa, occorre controllare che:
• In alternativa, occorre controllare che:
MEd, y γ M1
γ
M
NEd γ M1
+ kxx Ed,x M1 + kxy
≤1
χ x A fyk
Wx fyk
Wy fyk
MEd, y
M
NEd
+ kxx Ed,x + kxy
≤1
Nb,Rd, x
MRd,x
MRd, y
MEd, y γ M1
γ M1
M
NEd γ M1
+ kyx Ed,x
+ kyy
≤1
χ y A fyk
Wx f yk
Wy f yk
MEd, y
M
NEd
+ kyx Ed,x + kyy
≤1
Nb,Rd, y
MRd,x
MRd, y
espressione analoga alla precedente (k M = Meq)
ma con espressioni complicate per il calcolo di k
espressione analoga alla precedente (k M = Meq)
ma con espressioni complicate per il calcolo di k
Si noti che NbRd è calcolato separatamente nelle due direzioni
Si noti che NbRd è calcolato separatamente nelle due direzioni
Circolare, punto 4.2.4.1.3.3.1 - metodo B
Eurocodice 3, punto 6.3.3 e annesso B
Circolare, punto 4.2.4.1.3.3.1 - metodo B
Fattori d’interazione kxx, kyy kxy kyx
per sezioni a doppio T di classe 1 e 2
Verifica - stato limite ultimo
• In alternativa, occorre controllare che:
⎛
⎛
N ⎞
N ⎞
kxx = Cmx ⎜ 1 + (λx − 0.2) Ed ⎟ ≤ Cmx ⎜ 1 + 0.8 Ed ⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
N
N
b,Rd,x ⎠
b,Rd,x ⎠
⎝
⎝
MEd, y
M
NEd
+ kxx Ed,x + kxy
≤1
Nb,Rd, x
MRd,x
MRd, y
kxy = 0.6 kyy
MEd, y
M
NEd
+ kyx Ed,x + kyy
≤1
Nb,Rd, y
MRd,x
MRd, y
kyx = 0.6 kxx
- snellezza dell’asta
kxx , kyy , kxy , kyx
dipendono da: - diagramma del momento
- sforzo normale
Circolare, punto 4.2.4.1.3.3.1 - metodo B
⎛
⎛
NEd ⎞⎟
N ⎞
≤ Cmy ⎜ 1 + 1.4 Ed ⎟
kyy = Cmy ⎜ 1 + 2λ y − 0.6
⎜
⎟
⎜
Nb,Rd, y ⎠
Nb,Rd,y ⎟⎠
⎝
⎝
(
)
Per presso-flessione retta con MEd,x ≠ 0 si assume kyx = 0
Eurocodice 3, punto 6.3.3 e annesso B
x
Eurocodice 3, annesso B
Fattori di momento uniforme equivalente Cmx e Cmy
Fattore di momento equivalente
mx
Eurocodice 3, punto 6.3.3 e annesso B
mx
my
x
mx
x
x
xx
mx
mx
x
x
yy
xy
yy
xx
yx
xx
y
my
y
my
mx
my
y
my
y
y
mx
yy
my
my
y
my
y
y
mx
my
my
y
x,Ed
yx
yx
x-x
y-y
x-x
y-y
x-x
x-x
Eurocodice 3, annesso B
5
Esempio
F1
Esempio
F1
F2
F2
λx = 0.287
Ma
Ma
ψ=0
3.50
χ x = 0.9689
3.50
λ y = 0.492
Mb
Mb
χ y = 0.8476
2.00
2.00
F1 = 800 kN
F2 = 60 kN
Ma = 120 kNm
Mb = 0 kN
NEd= 860 kN
α m = 0.6 + 0.4 ψ = 0.6
⎡
N γ ⎤
860 ⎤
⎡
= 0.614
kxx = α m ⎢1 + (λx − 0.2) Ed M1 ⎥ = 0.6⎢1 + (0.287 − 0.2)
χ
3233
.2 ⎥⎦
A
f
⎣
x
x ⎦
⎣
NbRd,x
Esempio
F1
F2
Esempio
F1
λx = 0.287
Ma
χ x = 0.9689
3.50
Ma
3.50
λ y = 0.492
Mb
F2
Mb
χ y = 0.8476
2.00
2.00
⎡
N γ ⎤
860 ⎤
⎡
kxx ≤ α m ⎢1 + 0.8 Ed M1 ⎥ = 0.6⎢1 + 0.8
= 0.728
A
f
3233
.2 ⎥⎦
χ
⎣
x
y ⎦
⎥
⎣⎢
Ok, quindi kxx = 0.614
NEd γ M1 kxx Mx,Ed γ M1
860
0.614 × 120
=
+
=
+
Wpl,x fy
3233.2
418.1
χ x A fy
NbRd,x
Mpl,Rd,x
= 0.266 + 0.176 = 0.442 < 1
Esempio
F1
F2
Ma
3.50
Mb
2.00
Perché kyx = 0
NEd γ M1 kyx Mx,Ed γ M1
860
+
=
= 0.304
χ y A fy
Wpl,x fy
2828.6
NbRd,y
6