Transcript Polinom1

Gyűrűk
Kommutatív gyűrűk
Integritási tartományok
Egységelemes integritási tartományok
Gauss-gyűrűk (UFD)
Főideál gyűrűk
Euklidészi gyűrűk
Testek
1
Polinomok
f  an x n  an 1x n 1  an  2 x n  2    a1x  a0
Például
f  5 x3  2 x  3
g  2 x 4  x 2  e
h  3.2ix 6  i
k  5 x3  2 x  3
 1 0.2  2  0 0.19    22 11
 x  
 x  

l  
0
3  7
 77 123   
2
Definíció.
Legyen R egységelemes integritási tartomány.
R-beli együtthatós, vagy
R feletti egy határozatlanú polinomoknak nevezzük
az
(a0, a1, …, an, …)
végtelen sorozatokat, amelyekben aiR (i=0, 1, …),
és csak véges sok ai különbözik 0-tól. Az ai elemek a
polinom együtthatói.
3
Legyenek
f=(a0, a1, …, an, …)
és
g=(b0, b1, …, bn, …)
R feletti polinomok.
f=g
  i : ai = bi .
Műveletek:
1. u = f+g = (c0, …, cn, …),
ci = ai+bi (iN0).
2. v = fg = (d0, …, dn, …), ahol
n
d n   ai  bn i a0  bn  a1  bn 1    an  b0 .
i 0
3. aR esetén
af = (aa0, …, aan).
4
Belátható
Az R feletti polinomok az 1., 2. műveletekkel
kommutatív egységelemes gyűrűt alkotnak.
Egységelem az (e, 0, …, 0, …) polinom, ahol e az R
gyűrű egységeleme.
Az a  fa = (a, 0, …, 0, …) megfeleltetés injektív és
művelettartó.
Ekkor  f R feletti polinomra
af = faf .

R elemei is R feletti polinomoknak tekinthetők
(konstans polinomok).
5
Legyen x = (0, e, 0, …, 0, …)
xn = (0, …, e, 0, …),
nN.
n+1 –edik pozíció
Legyen x0 =( e, 0, …, 0, …).
f = (a0, a1, …, an, …) =
= (a0, 0, …, 0, …) + ... + (0, 0, …, an, …) =
= a0 + a1x +…+ anxn +… ,
ahol az ai  R az = (ai, 0, …, 0, …) polinomnak felel
meg.
6
Jelölés.
az R feletti polinomgyűrűt x = (0, e, 0, …, 0, …)
figyelembevételével R[x]-szel jelöljük.
Definíció.
Legyen f = a0 + a1x +…+ anxn  R[x], ekkor
ai az i-edfokú tag együtthatója.
A 0-adfokú tag együtthatója a polinom konstanstagja.
Ha an0, akkor an a polinom főegyütthatója, és n a
polinom foka.
deg f
Ha a polinomnak nincs 0-tól különböző együtthatója,
akkor a polinom fokát nem definiáljuk.
7
R[x] nulleleme: az a polinom, amelyiknek
minden együtthatója nulla (nullpolinom),
egységeleme az f(x)=e polinom.
A nullpolinom kivételével minden polinomnak
van foka.
Időnként a nullpolinom fokát –-ként definiálják.
f konstans polinom:
f(x)=a0, ahol a00, deg(f)=0.
f elsőfokú vagy lineáris polinom: deg(f)=1
8
f  x   a0  a1x    an x n
g  x   b0  b1x    bk x k
Tétel.
R[x] nullosztómentes.
Bizonyítás.
fg
polinom
főegyütthatója
főegyütthatójának szorzata :
f
és
g
anbk  0
mert R nullosztómentes.
 f(x)g(x) sem lehet a nullpolinom.
9

Egységelemes integritási tartomány feletti
polinomgyűrű egységelemes integritási tartományt
alkot.
Ha f, gR[x]* és f + g0, akkor
deg(f +g)  max(deg(f ), deg (g)),
deg(fg) = deg( f ) + deg( g)  max(deg( f ), deg( g)).
10
Polinomfüggvény :
f : R  R,
f(c) = a0 + a1c +…+ ancn  R,
c R.
Két polinomfüggvény (f és g) egyenlő, ha f(c) = g(c)
minden cR esetén teljesül.
Polinom és polinomfüggvény nem feltétlenül
esnek egybe. Végtelen integritási tartományban a
polinomok és polinomfüggvények között bijekció
létesíthető, és a polinomok, illetve a
polinomfüggvények egyenlősége ugyanazt jelenti,
véges esetben azonban ez nincs így.
11
Példa.
Két különböző polinom polinomfüggvénye megegyezhet. Legyen például R = Z3
4
f  x x2
g  x3  x 2  2
f( 0 )  2  g( 0 ) ,
f( 1 )  4  1  g( 1 )
f( 2 )  20  2  g( 2 )
A két polinomfüggvény megegyezik,
a két polinom különböző.
12
Tétel (polinomok maradékos osztása)
Legyen R egységelemes integritási tartomány,
f, g R[x] és g főegyütthatója, bk legyen R-ben
egység.
Ekkor egyértelműen léteznek olyan q, r  R[x]
polinomok, melyekkel
f (x) = g(x)q(x) + r(x),
ahol
r(x)0,
r ( x ) / 0
vagy
és deg(r) < deg(g).
Bizonyítás.
A. Létezés
I. Ha f = 0, vagy n < k 
q(x)  0, r(x) = f(x) .
13
f (x) = g(x)q(x) + r(x)
II. Legyen n  k.
n szerinti teljes indukció:
1. Ha n = k = 0  akkor legyen
r  0, q  an  bk1 ,
bk egység R-ben, így létezik inverze
2. Legyen n > 0 és tfh az n-nél kisebb fokszámok
esetén igaz az állítás.
f1(x) = f(x) – g(x)anbk-1xn–k.


(*)
f és a belőle levonásra kerülő polinom
főegyütthatója megegyezik,
f1=0, vagy deg f1<deg f.
Ha f1 = 0 
q(x) = anbk-1·xn–k,
r(x) = 0.
14
f (x) = g(x)q(x) + r(x)
f1(x) = f(x) – g(x)anbk-1xn–k.
Ha deg ( f1) < deg ( f ), ind. feltétel 
 q1(x), r1(x)  R[x] :
f1(x) = g(x)q1(x) + r1(x),
ahol
r1(x)0
vagy
deg( r1)<deg( g).
(*) 
f(x) = g(x)an bk-1· xn–k + g(x)q1(x) + r1(x),
f(x) = g(x)(an bk-1· xn–k + q1(x)) + r1(x) .
q(x)
r(x)
15
2. Egyértelműség
Tfh
f = gq1 + r1 = gq2 + r2 
g(q1– q2) = r2 – r1.
Tegyük fel indirekte, hogy q1– q2  0 
deg(r2 – r1) = deg( g(q1– q2) )  deg( g ) .

q1– q2 = 0 
r2 – r1 = 0.
f és g fenti két előállítása megegyezik
 egyértelmű az előállítás.
16
Következmény:
Tétel (test feletti polinomgyűrű)
Legyen R test, és fR[x]* esetén : R[x]*  N0,
(f) = deg( f).
Ekkor R[x]  -vel euklidészi gyűrűt alkot.
Bizonyítás.
Előző tétel  ha g főegyütthatója egység, akkor
elvégezhető g-vel a maradékos osztás.
Test esetén minden nem nulla elem egység,
Az előző tétel a következőképpen módosul:
R test, f, gR[x], g0 esetén egyértelműen
léteznek olyan q, rR[x] polinomok, melyekkel
f(x)= g(x)q(x)+r(x), ahol a. r(x)0, vagy
b. deg r<deg g.
17
ha f, gR[x]*, akkor
(fg)=deg(fg)=deg f + deg g 
max(deg f, deg g)=max (( f ), (g))
 az euklidészi gyűrűk második tulajdonsága is
teljesül.
18
R
Gyűrű
Kommutatív gyűrű
R[x]
is az!
Egységelemes integritási tartomány
Gauss-gyűrű (UFD)
Euklidészi gyűrű
Test
R[x] csak UFD
R[x] csak Eukl. 19gy.