Transcript Gyűrű2

Euklidészi gyűrűk
Definíció.
Az R integritási tartományt euklidészi gyűrűnek
ne-vezzük, ha  olyan  függvény, amelyre
 : R*  N0, és
I.  , R, 0 esetén létezik olyan , R, hogy
 =  + , ahol
 = 0 vagy
  0 és  () <  (),
II. valamint  ()  max( (),  ()) ,
 ,  R* -ra.
1
Példák.
1. Z az abszolút érték függvénnyel.
2. Gauss-egészek: G = { a+bi | a, b  Z }
 a+bi  G esetén
(a+bi) = (a+bi)(a–bi) = |a+bi|2 = a 2 + b 2
3. H a szokásos + és  műveletekkel, ahol


2   a  b 2   a  b 2   a 2  2b 2
H  a  b 2 a , b Z .

 a b
2
Definíció.
Legyen R integritási tartomány és a, b  R. a osztója
b-nek, ha létezik c  R, mely-re b = ac.
a|b
Könnyen belátható, hogy az oszthatóság
tranzitív, továbbá
a|b, a|c esetén a|bx+cy is teljesül,
ha a, b, c, x, y R.
Definíció.
R integritási tartományban a  R egység, ha a | r
 r  R-re.
3
37. Tétel.
R integritási tartományban akkor és csak akkor létezik egységelem, ha létezik egység.
Bizonyítás.
1.  : Tfh R-ben van e egységelem, vagyis er = r
minden r R esetén.
 e | r minden rR esetén,
az egységelem egység is egyúttal.
2.  : Tfh  aR egység, és legyen rR tetszőleges.
a|a
 eR : ae = a.
Ekkor e egységelem, mert
a|r
 sR : as = r,
tehát
e  r  e  a  s  e  a s  a  e s  a  s  r.
 e egységelem
4
38. Tétel.
Az R egységelemes integritási tartományban a  R
akkor és csak akkor egység, ha a | e.
Bizonyítás.
1. Legyen a egység  a | e.
2. Tfh a | e 
 a1R : e = aa1 és
tetszőleges r R:
aa1r = r
er = r 
 a|r
 a egység.
5
39. Tétel.
Ha R euklidészi gyűrű, akkor egységelemes, és
E = { r | r  R*, φ(r) minimális }
az egységek halmaza R-ben.
Bizonyítás.
1. Belátjuk, hogy E elemei egységek.
Legyen aE, és bR tetszőleges. b-t oszthatjuk a-val
maradékosan   c, dR :
b = ac+d, ahol a. d=0, vagy
b. d0 és  (d) <  (a).
A b. eset nem fordulhat elő  (a) minimalitása miatt

d = 0  a | b.
6
2. Belátjuk, hogy minden egység E-ben van.
Legyen aR egység, bE adott.
a | b  b = ac.
bE, b0  a, cR*.
Az euklidészi gyűrűk II. tulajdonsága 
(b)  a  c  max (a), (c),

(b)   (a).
φ(b) minimális 
φ(a) is minimális,
 a E
7
1. Z-ben csak két egység van: +1 és –1.
2. G-ben az egységek
Nullától különböző komplex szám abszolút
értéke nem nulla, a nem nulla elemek
esetén előforduló legkisebb érték 1.
(a+bi)=1
(a+bi)=a2+b2=1
a=1 és b=0, vagy a=0 és b=1.
G-ben az egységek. 1, i
8
3.


H  a  b 2 a, b Z


 a  b 2  a 2  2b 2
egységek:
a2–2b2=1
Ennek az úgynevezett Pell-egyenletnek végtelen
sok megoldása van,
 H-ban végtelen sok az egység.
Néhány ezek közül:
a
b
1
1
3
7
0
1
2
5
9
Definíció.
Legyen R egységelemes integritási tartomány, és
a, bR. Azt mondjuk, hogy a és b asszociáltak,
ha létezik olyan c egység, amelyikkel a = bc. Ezt
a tényt ab-vel jelöljük.
40. Tétel.
1. R egységelemes integritási tartományban az
egységek halmaza — jelöljük E-vel —, a szorzásra
csoportot alkot.
2. Az asszociáltság R-ben ekvivalenciareláció.
10
Bizonyítás.
1. Csoport:
- egységek szorzata egység: e1c1 = e és e2c2 = e

e1 c1 e2 c2 = e 2 = e 
e1e2 | e,
- asszociatív mert R is az volt,
- e az egységelem E-ben is,
-  inverz: e1e2 = e  e1-1 = e2 .
11
2. Az asszociáltság ekvivalencia reláció:
- reflexív: aa, hiszen a = ae minden aR esetén.
- tranzitív:
ab és bc 
a = be1 és b = ce2,

a = ce1e2 , azaz ac .
- szimmetrikus:
a b 
a = be1
/ e1-1
a e1-1 = be1 e1-1,
a e1-1 = b
ba.
12
41. Tétel.
Az R egységelemes integritási tartományban két elem
asszociáltságához a kölcsönös oszthatóságuk szükséges és elégséges feltétel.
1.
ab  a | b és b | a
2. Tegyük fel, hogy ab és ba.
Ha a és b egyike 0  a másik is az  asszociáltak is.
Tfh a, bR*.
b=ac és
a=bd.
b=bdc=b(dc),
be=b(dc).
b0, és nem nullosztó 
e = dc  d és c egységek  ab.
13
Definíció.
Legyen R euklidészi gyűrű és a, bR. Azt mondjuk,
hogy dR az a és b legnagyobb közös osztója,
d=(a, b), ha
1. közös osztó, vagyis da és db, valamint
2. ca és cb esetén cd.
Belátható az, hogy a legnagyobb közös osztó
asszociáltság erejéig egyértelmű, valamint az,
hogy (0, 0)=0.
14
Ha a és b legalább egyike, mondjuk b0, akkor elvégezhető itt is az euklidészi algoritmus:
a= bq0+r0
ha r00,
akkor (r0)<(b)
b= r0q1+r1
ha r10,
akkor (r1)<(r0)
r0 = r1q2+r2
ha r20,
akkor (r2)<(r1)
rn–2= rn–1qn+rn ha rn0,
akkor (rn)<(rn–1)
...
rn–1= rnqn+1
Az euklidészi algoritmus most is véget ér véges sok
lépésben.
Belátható, hogy ezzel az algoritmussal megkapjuk
(a, b)-t, valamint léteznek olyan x, yR elemek,
hogy (a, b)=ax+by.
15
Definíció.
R legyen euklidészi gyűrű, E az egységek halmaza:
1. aR*–E felbonthatatlan, ha a = bc, (b, cR)
esetén bE vagy cE.
2. aR*–E prím, ha abc, (b, cR)  ab vagy ac.
Belátható, hogy tetszőleges euklidészi gyűrűben
egybeesik a prímek és a felbonthatatlanok halmaza.
16
42. Tétel.
R legyen euklidészi gyűrű és a, bR*. Ha ab, akkor
1. (a)<(b), vagy
2. (a)=(b)

ha ab .
Bizonyítás.
1. Euklidészi gyűrű II. tulajdonsága miatt (a)(b).
17
2. Tfh ab és (a)=(b). Az I. tulajdonság miatt
létezik r, s R, amelyekre:
a = br+s,
ahol
a. s = 0, vagy
b. s 0 és (s)<(b)=(a).
(*)
s  a  (b  r )  a  b  ( r )
ab   tR : b = at továbbá a = ae
s  a  e  t  (r ).
e  t  (r )   R  as.
De ekkor s0 
(s)  max (a),(e  t (r ))   a
(*) miatt ez nem fordulhat elő  s = 0 , ba azaz
a  b.
18
Definíció.
Az R euklidészi gyűrű triviális, ha csak az egységeket
és a nullelemet tartalmazza, vagyis R* = E.
43. Tétel.
R euklidészi gyűrű akkor és csak akkor triviális, ha
test.
Bizonyítás.
1. Tfh R triviális euklidészi gyűrű 
aR* egység 
bR esetén a | b 
az ax=b egyenlet megoldható, vagyis R test.
2. Tfh R test 
az ax=b egyenlet megoldható tetszőleges rögzített
a0 és minden b esetén 
ab, s így a egység.
19
44. Tétel.
R euklidészi gyűrűben minden nullától és az egységektől különböző elemnek van felbonthatatlan osztója.
Bizonyítás.
Tfh aR*\E, és
D=
{r: rR*\E, ra és, ha sR*\E és sa  (r)(s)}.
D az a elem azon nem nulla, nem egység osztóit
tartalmazza, amikre a  érték minimális.
D
 f D.
20
Indirekte tfh f nem felbonthatatlan 
f = bc és b, cE  ba .
bf és nem asszociáltak 
42. Tétel  (b)(f)  (b)<(f) ,
mert ekkor b lenne D-ben f helyett.

f felbonthatatlan
21
45. Tétel.
Legyen R euklidészi gyűrű és aR*\E. Ekkor a előállítható véges sok R-beli felbonthatatlan szorzataként.
Bizonyítás ( értéke szerinti teljes indukció).
Tfh aR*\E .
1. Tfh (a) minimális az R*\E-beli elemekre nézve.
44. Tétel  a felbonthatatlan.
a=a
2. Legyen aR*\E, (a) = n, és tegyük fel, hogy nnél kisebb  értékkel rendelkező elemek esetén az
állítás igaz.
44. Tétel   f felbonthatatlan : f | a 
a = fh .
22
a = fh .
Lehet-e (h) = (a) ?
Ekkor h | a 
a  h lenne,
de f nem egység, tehát
(h) < (a).
1. eset: Tfh h egység 
a felbonthatatlan.
2. eset: Tfh h nem egység 
indukciós feltétel  h-nak  megfelelő felbontása:
h = f1f2…fr 
a = ff1f2…fr .
23
46. Tétel.
Legyen R euklidészi gyűrű és aR*\E. Ekkor a
sorrend és asszociáltság erejéig egyértelműen
bontható fel felbonthatatlanok szorzatára.
Megjegyzés:
Ha érvényben van egy R integritási tartományban az
egyértelmű felbontás tétele, ebből nem következik,
hogy euklidészi gyűrű.
Gyűrűk
Integritási tartományok
Faktorizációs tartományok,
Gauss-gyűrűk
Euklidészi gyűrűk
Testek
24