Transcript magn-2
Magnetostatica 2
15 ottobre 2012
Legge di Biot-Savart
Prima formula di Laplace
Campo B di una carica in moto
Forza magnetica tra due cariche in moto
Forza tra due correnti, definizione di ampere
Circuitazione di B
Legge di Ampère
Legge di Biot-Savart
• Il campo B generato da un filo rettilineo molto
2
i
lungo
Ns
B 2k
k 10 7 2
r
C
• Ha solo componente azimutale
• k è anche espressa mediante la permeabilità
magnetica del vuoto
0
k
4
0 4 107
2
Ns 2
Ns
6
1
.
26
10
C2
C2
2
Forza tra due correnti
• Scoperta da Ampère subito dopo l’esperienza di Oersted
• Limitiamoci al caso di fili paralleli
0 i1
• Filo 1 indefinito, genera un campo
B1
1
2
2 r
• Filo 2 risente di una forza (attrattiva o repulsiva a seconda del verso
relativo delle correnti)
F21 i2l2 B1
• Il modulo questa forza vale
0 i1i2
F21 i2l2 B1 l2
2 r
• Formula che sta alla base della definizione di ampere: e` la corrente
costante che produce una forza di 2 × 10–7 newton per metro di
lunghezza tra due fili rettilinei paralleli a distanza di un metro
0 i
F l2
2 r
2
2 r
i
F
0 l2
3
Prima formula di Laplace
• Dalla legge di Biot-Savart, Laplace propose una
formula valida per un circuito di forma arbitraria
dl r
dl r
dB ki 3
B ki 3
r
r
• Esercizi sulla formula di Laplace. Calcolo di B
– Attorno ad un filo indefinito
– Sull’asse di una spira circolare
– Sull’asse di un solenoide
4
Campo B generato da una carica in
moto
• Partiamo dalla 1° f. di Laplace, applicata ad un elemento
infinitesimo di un circuito qualunque
dl r
dB ki 3
r
• Riscriviamo il prodotto tra corrente ed elemento di
dq
lunghezza
id l
dt
dl dqv endVv
• Dividiamo l’elemento di campo induzione magnetica per
il numero di elettroni, troviamo cosi’ il vettore b generato
da un singolo elettrone:
dB
v r
ndV
b ke
r3
5
Campo B generato da una carica in
moto
• Carica puntiforme q in moto con velocità v
• Il modulo di B è proporzionale alla carica q, alla
velocità v, al seno dell’angolo tra v e r
• È inversamente proporzionale al quadrato della
distanza r
• La direzione di B è perpendicolare sia a v che a r
• Il verso è dato dalla regola della mano destra
qv r 0 q
Bk
v rˆ
3
2
r
4 r
v
r
B
6
Forza magnetica tra due cariche in
moto
• Si trova usando l’espressione precedente per B
e la forza di Lorentz
v1 v2 r21
F12 q1v1 B2 kq1q2
r213
• Analogamente per la forza sulla carica 2 dovuta
alla carica 1
v2 v1 r12
F21 q2 v2 B1 kq1q2
F2(1)
3
r12
v1
r12
F1(2)
B2
v2
B1
7
Circuitazione del campo B
• Esaminiamola nel caso particolare del campo
generato da un filo indefinito
• Usiamo coordinate cilindriche
i
B dl Br dr B rd Bz dz
0 i
0
B rd
rd
id
2 r
2
• Se C è una circonferenza e il filo è perpendicolare
al piano del cerchio e passa per il suo centro
•
2 0
C B dl 0 2 id 0i
Consideriamo positiva la corrente se ha lo stesso
n
C
verso del versore normale al cerchio che appoggia
su C
• In tal caso B ha lo stesso verso di dl e la
circuitazione e` positiva
8
Circuitazione del campo B
• Se si cambia il verso della corrente il
2° membro cambia segno
• Anche il primo membro cambia segno
perché B assume verso opposto
• Quindi la formula trovata e` valida
qualunque sia il verso della corrente,
• Se si percorre il circuito in verso
opposto a quello associato al versore
normale, la circuitazione cambia segno
i
n
C
B dl B dl 0i
C
C
9
Circuitazione del campo B
• Sia l’integrando che l’integrale
non dipendono da r
• Se ora C è una curva arbitraria
(concatenata
al filo)
B dl B r ( )d
0 i
0
r ( )d
id
2 r ( )
2
• E di nuovo otteniamo
2 0
C B dl 0 2 id 0i
C
10
Circuitazione del campo B
• Se la curva C fa n giri attorno al filo la
circuitazione è
2n 0
C B dl 0 2 id n0i
• Se la curva è concatenata a più fili la
circuitazione totale è la somma delle
circuitazioni dei campi B relativi a
ciascun filo
C
N
N
B dl B j dl B j dl
C j 1
C
j 1 C
N
N
j 1
j 1
0i j 0 i j
11
Circuitazione del campo B
• Sia ora C una curva arbitraria non concatenata
al filo, percorsa in senso orario
• Scegliamo due punti P e Q sulla curva,
suddividendola in due curve C1 e C2
B,C B,C2 C1
• Tracciamo una curva D da P a Q di modo che
C1 D
(percorsa in senso orario) e
(percorsa in senso antiorario)
C2 D
siano concatenate con il filo
P
C1
B,C2 C1 B,C1 D B,C2 D
C2
D
Q
• Le due circuitazioni nel membro di destra sono
uguali in modulo e di segno opposto, quindi la
circuitazione lungo C è nulla
B,C 0i 0i 0
12
Legge di Ampère
• Questi risultati possono essere estesi a campi magnetici
arbitrari e vari conduttori
• Proprietà generale del campo induzione magnetica:
legge di Ampère
N
B dl 0 i j
C
j 1
• Per curve avvolte n volte l’integrale è n volte maggiore
• Per curve non concatenate la circuitazione è nulla
• È la 4° equazione dell’em, è stata in seguito completata
da Maxwell
13
Forma differenziale della legge di
Ampère
• Applichiamo il teorema di Stokes alla
circuitazione del campo B e riscriviamo la
corrente come il flusso della densita` di
corrente:
0 J da 0i B dl B da
S C
C
S C
• Data l’arbitrarieta` della superficie S, ne segue
che
B 0 J
14