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Onde 4
21 novembre 2014
Effetto Doppler per onde meccaniche
Onda d’urto
Effetto Doppler per onde meccaniche
• Si verifica quando la sorgente di onde S o il rivelatore
R si muovono rispetto al mezzo di propagazione M,
con velocità v inferiore a quella V dell’onda in M
• La frequenza misurata dal rivelatore risulta diversa
dalla frequenza ‘propria’ di emissione della sorgente,
misurata in situazione statica
• Distinguiamo due casi:
– Rivelatore in moto rispetto al mezzo
– Sorgente in moto rispetto al mezzo
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Condizioni statiche
• In condizioni statiche S emetta onde con velocita` V
(p.e. piane e armoniche) di lunghezza d’onda M,
periodo TS e frequenza fS
V
• Ogni TS secondi R rileva un nuovo
fronte d’onda di data fase (p.e.
R
un massimo) distante M dal
precedente, che si avvicina a
velocità V
M
• Valgono le relazioni
V  M TS  M f S
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Rivelatore in moto
• Supponiamo che R si muova con velocita` v, la cui
componente lungo V sia v||  v cos 
• Il fronte d’onda 2 raggiungera` R in un tempo TR dopo aver
percorso non solo M ma anche il tratto v||TR di cui si e`
spostato R nella direzione di V
1
V
2
• Lo spazio percorso dal fronte 2 e`
quindi VTR  M  v||TR

v
• Risolvendo per TR
R
TS

 V
TR  M  M

V  v|| 1  v|| V 1  v cos V
• E in termini di frequenza
 v

f R  f S 1  cos 
 V

M
v||TR
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Rivelatore in moto
• Se la velocita` di R ha componente verso S, allora
 v

f R  f S 1  cosf 
 V

• E poiche’ cos f   cos
1
 v

f R  f S 1  cos 
 V

V
2
f

v
R
M
v||TR
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Sorgente in moto
• Supponiamo che S si muova con velocita` v, la cui componente
lungo V sia v||  v cos 
• I fronti d’onda non distano più M ma M
diminuito dello spazio percorso in
direzione V dalla sorgente nel tempo TS *
• Il tempo intercorrente tra due fronti
successivi che giungono in R e`
M  v||TS
1
2
R
M
v||
 v|| 
TR 

 TS  TS 1  
V
V V
 V
fS
• E in termini di frequenza
fR 
v
1  cos
V
* TS, non TR
V

v
Mv||TS
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Sorgente in moto
• Supposto v << V l’espressione si puo` approssimare come
 v

f R  f S 1  cos 
 V

• Cioe` esattamente come nel caso di S ferma e R in movimento
1
verso la sorgente
V
2
R

v
Mv||TS
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Onda d’urto
• Finora la sorgente si muoveva con velocità vs minore
della velocità vo dell’onda, per cui l’onda
sopravanzava S
• Quando la velocità della sorgente S è maggiore della
velocità dell’onda nel mezzo, la sorgente sopravanza
l’onda e si genera un’onda d’urto
• Esempi:
– Onda sulla superficie dell’acqua dovuta al moto di una barca
– Bang supersonico dovuto al moto di un aereo
– Radiazione Cherenkov di particelle ultrarelativistiche
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Onda d’urto
• Supponiamo che al tempo t=0 , S0 emetta un’onda
sferica
• Al tempo precedente t=-T , S0 si trovava in S-1 , per
t=-2T si trovava in S-2 e cosi’ via
• Le onde sferiche emesse
in quegli istanti di tempo,
si sono espanse fino a
diventare, al tempo t=0,
rispettivamente, C-1, C-2,
C-3, C-4
C-4
S-4
C-3
S-3 S-2
C-2
C-1
S-1
vs
S0
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Onda d’urto
• L’inviluppo delle onde sferiche emesse da S0 è un’onda
di forma conica (se la velocità della sorgente è
costante) che prende il nome di onda d’urto
• Le distanze S0 S-k sono
C-4
a
C-3
uguali a kvsT
C-2
C-1
• Mentre i raggi S-kC-k sono
vs
uguali a kvoT
S-4 S-3 S-2 S-1 S0
• Il semiangolo di apertura
del cono è
kvoT vo
sin a 

kvsT
vs
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Onda d’urto
• L’onda d’urto in tre dimensioni si sposta
perpendicolarmente alla superficie conica,
formando un angolo, rispetto a vs, uguale a
vo
cos 
vs

C-4
• Il rapporto vs /vo è detto
numero di Mach
C-3
C-2
S-4
S-3 S-2
C-1
S-1 S0
vs
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Prandtl-Glauert singularity
adapted from Wikipedia, the free encyclopedia
•
•
N-wave
The Prandtl-Glauert singularity (sometimes referred to as a "vapor cone"), is the
point at which a sudden drop in air pressure occurs, and is generally accepted as
the cause of the visible condensation cloud that often surrounds an aircraft
travelling at transonic speeds, though there remains some debate. It is an example
of a mathematical singularity in aerodynamics
One view of this phenomenon is that it exhibits the effect of compressibility and
the so-called "N-wave". The N-wave is the time variant pressure profile seen by a
static observer as a sonic compression wave passes. The overall three-dimensional
shock wave is in the form of a cone with its apex at the supersonic aircraft. This
wave follows the aircraft. The pressure profile of the wave is composed of a
leading compression component (the initial upward stroke of the "N"), followed by
a pressure descent forming a rarefaction of the air (the downward diagonal of the
"N"), followed by a return to the normal ambient pressure (the final upward stroke
of the "N"). The rarefaction may be thought of as the "rebounding" of the
compression due to inertial effects.
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Condensation clouds
•
•
•
These condensation clouds, also known as "shock-collars" or "shock eggs," are
frequently seen during space shuttle launches around 25 to 33 seconds after
launch when the vehicle is traveling at transonic speeds. These effects are also
visible in archival footage of some nuclear tests (e.g. the BAKER shot of Operation
Crossroads). The condensation marks the approximate location of the shock wave
Since heat does not leave the affected air mass, this change of pressure is
adiabatic, with an associated change of temperature. In humid air, the drop in
temperature in the most rarefied portion of the shock wave (close to the aircraft)
can bring the air temperature below its dew point, at which moisture condenses to
form a visible cloud of microscopic water droplets. Since the pressure effect of the
wave is reduced by its expansion (the same pressure effect is spread over a larger
radius), the vapor effect also has a limited radius. Such vapor can also be seen in
low pressure regions during high–g subsonic maneuvers in humid conditions.
Prandtl-Glauert singularity effects can be readily observed on a humid day by
successfully cracking a whip. A visible cloud is produced at the point where the tip
of the whip goes transonic.
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Radiazione Cherenkov
• E` emessa quando una
particella carica attraversa
un mezzo con velocita`
superiore a quella della luce
nel mezzo v  c
n
• La luce blu nelle piscine dei
reattori nucleari e` dovuta
alla luce Cherenkov emessa
dagli elettroni prodotti nel
reattore
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Radiazione Cherenkov
• In astronomia gamma con
base a terra si misurano i
fotoni gamma rivelando gli
sciami di particelle che essi
producono nell’atmosfera
(se riescono a raggiungere il
suolo) o la radiazione
Cherenkov emessa dagli
sciami ( se questi vengono
assorbiti dall’atmosfera)
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Esperimento Magic
• Due telescopi situati a La Palma (Canarie) a 2200 m s.l.m.
• Riflettore paraboloide di 17 m di diametro, costituito di
974 specchi quadrati di lato 50 cm
• Il rivelatore, posto sul piano focale del paraboloide, è un
insieme di 576 fotomoltiplicatori