Transcript onde-em
Onde elettromagnetiche
27 ottobre 2014
Predizione dell’esistenza di onde elettromagnetiche
Velocita` di propagazione
L’opera di H. Hertz
Generazione delle onde e.m.. Antenne
Soluzioni progressive e regressive
Onde sinusoidali
Lunghezza d’onda e periodo dell’onda
Polarizzazione
Trasporto di energia di un’onda
Vettore di Poynting
Intensità di energia di un’onda sinusoidale
Equazioni di Maxwell nel vuoto
• L’assenza di cariche e correnti magnetiche rende
le equazioni asimmetriche tra i campi E e B
• Si ottiene perfetta simmetria nelle zone di spazio
ove non ci sono cariche ne’ correnti elettriche
( E ) 0
( B) 0
d ( B)
C E dl dt
d ( E )
C B dl 0 0 dt
2
Soluzioni delle eq. di Maxwell nel
vuoto
• In forma differenziale:
B
E
t
E
B 0 0
t
E 0
B 0
• Consideriamo la prima equazione e facciamo la
rotazione dei due membri:
B
E
t
3
Lemma
• Calcoliamo la rotazione della rotazione del campo E per
componenti cartesiane
E y E x E x E z
x
y x
y z z
x
2 E y 2 Ex 2 Ex 2 Ez
2
2
yx y
z
zx
E
• Sommiamo e sottraiamo un termine
2
E y 2 Ex 2 Ex 2 Ez 2 Ex 2 Ex
E x
2 2
2
2
z
zx x
x
yx y
2
2
2
2
2
E y 2 Ez
Ex Ex Ex Ex
2
2 2
2
y
z x
yx zx
x
4
Lemma
• La prima parentesi e` il laplaciano della componente Ex
2 Ex 2 Ex 2 Ex
2 2 Ex
2
x
y
z
• mentre la seconda e` la componente x del gradiente
della divergenza di E
2
2
E y 2 Ez Ex E y Ez
Ex
E
2
x
yx zx x x
y
z x
• Le componenti y e z si ricavano per permutazione ciclica
degli indici; sommandole alla componente x troviamo
infine
E Ek eˆk
E eˆk E E
k
k x
k
5
Soluzioni delle eq. di Maxwell nel
vuoto
• La divergenza di E è nulla, poiché siamo in una regione
priva di cariche, quindi
E E
B
• Per il secondo membro dell’eq.
E
t
• scambiamo l’ordine tra gradiente e derivata rispetto a t e
quindi usiamo la legge di Faraday:
2
B
E
E
B 0 0
0 0 2
t
t
t
t
t
6
Equazione delle onde
2
E
• Abbiamo infine: E 0 0 2 0
t
2
• Se fossimo partiti dalla seconda equazione
2
avremmo ottenuto 2
B
B 0 0 2 0
t
• Ciò significa che per ogni componente di E e di
B, vale un’equazione del tipo
2
2
f r , t 0 0 2 f r , t 0
t
7
Dimensioni di
0 0
T2
dim 0 0 2
L
• Cioè le dimensioni dell’inverso di una velocità al
quadrato
1
• Possiamo scrivere
v
0 0
• L’equazione diventa
2
1 2
f r , t 2 2 f r , t 0
v t
• che e` la famosa equazione delle onde
8
Equazione delle onde
• Questa equazione descrive la propagazione
della grandezza f con velocita` v
• Le equazioni di Maxwell predicono l’esistenza
di onde elettromagnetiche
• Queste onde si propagano con velocita` v 1 0 0
• Le grandezze che oscillano sono le componenti
dei campi E e B
9
Valore della velocita`
• Calcoliamo la velocita` delle onde
elettromagnetiche
v
1
0 0
1
m
2.999 10
s
8
4 10 7 8.85 1012
• Il valore coincide quasi esattamente con la
velocita` della luce
• Maxwell penso` che questa coincidenza non
potesse essere fortuita
• Fece l’ipotesi che la luce fosse un fenomeno
elettromagnetico
vc
10
Hertz e la
scoperta delle
onde e.m.
• Hertz uso` un generatore di scariche comandato
da un rocchetto di Ruhmkorff e una coppia di fili
lunghi un metro come trasmettitore
• Sfere capacitive erano presenti alle estremita`
per regolare la risonanza del circuito
• Il ricevitore era una semplice antenna dipolare
11
L’opera di Hertz
• Con i suoi esperimenti Hertz studio`
– Riflessione
– Rifrazione
– Polarizzazione
– Interferenza
• delle onde elettromagnetiche e ne misuro`
la velocita` di propagazione
12
Generazione delle onde
• Le onde e.m. sono generate quando cariche
elettriche subiscono un’accelerazione
• Ad esempio quando le cariche oscillano, esse
emettono onde e.m. la cui frequenza è uguale
alla frequenza di oscillazione
• L’antenna è uno strumento per generare (e
rivelare) onde e.m.
13
Antenna trasmittente dipolare
• Questa antenna è costituita da due sbarrette
conduttrici alimentate da un generatore di fem
alternata E E0 cost
• Per t=0 gli estremi delle sbarrette sono carichi e tra
di esse c’è un campo elettrico E parallelo ad esse
• Attorno alle sbarrette c’è anche un campo magnetico
B generato dalla corrente che percorre le sbarre
• Questi campi si propagano allontanandosi
dall’antenna alla velocità della luce
• Per t=T/4 le sbarrette sono scariche ed E è nullo
• Per t=T/2 le sbarrette sono cariche, ma con segno
opposto
14
Antenna trasmittente dipolare
• I campi elettrico e magnetico, a grande
distanza dall’antenna, oscillano in accordo di
fase in direzioni perpendicolari fra loro e alla
direzione di propagazione dell’onda
• L’onda è quindi trasversale
• L’intensità delle onde emesse è nulla lungo
l’asse dell’antenna ed è massima nelle
direzioni perpendicolari all’asse
I sin
2
15
Antenna ricevente dipolare
• Se al posto del generatore CA mettiamo un
rivelatore (ad es. un oscilloscopio) l’antenna
diventa un rivelatore di onde e.m.
• Per massimizzare il segnale, l’antenna
dev’essere disposta parallelamente al
campo elettrico dell’onda incidente
OS
16
Antenna ricevente a spira
• Questa antenna è costituita da
una o più spire ed è sensibile al
campo magnetico
• Per massimizzare il segnale, il
piano dell’antenna dev’essere
disposto perpendicolarmente al
campo magnetico
os
17
Soluzioni dell’equazione delle onde
• Per semplicità ci limiteremo a studiare l’equazione per f
dipendente da una sola variabile spaziale x e dal tempo t:
2
1 2
f x, t 2 2 f x, t 0
2
x
v t
• Soluzioni di questo tipo sono dette onde piane
• Si può dimostrare che una qualunque funzione di
argomento x-vt o di argomento x+vt è soluzione di questa
equazione
g ( x vt)
h( x vt)
• Inoltre l’equazione è lineare, quindi date due soluzioni
qualunque, anche una combinazione lineare arbitraria di
esse è soluzione
18
Significato della soluzione g
• Consideriamo il valore di g nel punto x=x1
al tempo t=t1
• Consideriamo poi il valore di g nel punto
x=x1 al tempo t=t2
g
t=t1
g(x1,t1)
x1
x
19
Significato della soluzione g
• Scriviamo l’argomento in x=x1 al tempo t=t2
x1 vt2 x1 v(t2 t1 ) vt1 x1 x vt1
• È lo stesso valore che in x=x1-x al tempo t=t1
• Questo vale per tutti i punti sull’asse x
g
t=t2
g(x1,t2)
x1-x
x1
x
20
Significato della soluzione g
• Significa che la funzione al tempo t2 si trova traslando
la funzione all’istante precedente t1 della quantità x
• La funzione g rappresenta quindi un’onda
progressiva, cioè che si sposta verso x positivi, con
velocità v
g
t=t2
g(x1,t2)
x1-x
x1
x
21
Significato della soluzione h
• Similmente possiamo affermare che la funzione h
rappresenta un’onda regressiva, cioè che si sposta
verso x negativi, con velocità -v
22
Onde piane e.m. - componenti
longitudinali
• Studiamo la componente x del rot E
B
Ez E y
E x
x
y
z
t
• Essa e` nulla, in quanto per un’onda piana c’e`
dipendenza dalla sola coordinata spaziale x
• Otteniamo l’equazione
B x, t 0
t
x
• Similmente, studiando la componente x del rot B
otteniamo
E x x, t 0
t
• Quindi le componenti x dei campi sono costanti nel
tempo
23
Onde piane e.m. - componenti
longitudinali
• Applichiamo ora le prime due equazioni di Maxwell
Bx By Bz
B
0
x
y
z
Ex E y Ez
E
0
x
y
z
• Poiche’ le componenti dipendono solo dalla coordinata
spaziale x, otteniamo
x
E x x, t 0
x
Bx x, t 0
• Quindi le componenti x dei campi oltre ad essere
costanti nel tempo, sono uniformi rispetto a x
• Si possono scegliere queste costanti uguali a zero
E x x, t 0
Bx x, t 0
• Cio` significa che le componenti dei campi nella
direzione di propagazione del moto sono nulle, ovvero
l’onda e` trasversale
24
Soluzioni sinusoidali
• Sono soluzioni particolarmente semplici, in cui g
assume la forma seno o coseno
g ( x vt) A sin k x vt
g ( x vt ) A cosk x vt
• L’importanza delle soluzioni sinusoidali è dovuto alla
teoria di Fourier, secondo cui
– qualunque funzione periodica si può esprimere come serie di
funzioni sinusoidali di periodo uguale o multiplo intero e
– qualunque funzione si puo` esprimere come integrale di
funzioni sinusoidali
• Ci si può quindi sempre ridurre al solo studio di
funzioni sinusoidali; il prezzo da pagare è che, in
generale, lo sviluppo contiene infiniti termini
25
Soluzioni sinusoidali
1
dim(
k
)
L
• Cerchiamo il significato di k: dimensioni
• Fissato un valore per t, scegliamo due punti x1 e x2 tali
per cui la funzione assume lo stesso valore per
periodicita`
x1
x2
26
Lunghezza d’onda
• Le fasi possono differire per un multiplo di 2
k ( x1 vt) k ( x2 vt) 2n
• Questo definisce la relazione tra x1 e x2
k ( x2 x1 ) 2n
• La minima distanza tra x1 e x2 che soddisfa la richiesta
si ha per n=1 e rappresenta la lunghezza d’onda
x2 x1 min
•
•
• (
x1
x2
2
k
La costante k prende il
2
nome di numero d’onda k
(o anche vettore d’onda)
27
Periodo dell’onda
• Fissato un valore di x scegliamo due tempi t1 e t2 tali che
la funzione assuma lo stesso valore per periodicita`
• Le fasi possono differire per un multiplo di 2
k ( x vt1 ) k ( x vt2 ) 2n
• Questo definisce la relazione tra t1 e t2
kv(t2 t1 ) 2n
• Il minimo intervallo di tempo che soddisfa questa
richiesta si ha per n=1 e rappresenta il periodo dell’onda
(t 2 t1 ) min
T
t1
t2
2
T
kv
28
Soluzioni sinusoidali
• Abbiamo l’importante relazione tra i parametri dell’onda
2
kv
T
• Possiamo scrivere l’onda sinusoidale in uno qualunque
dei modi seguenti
A sin k x vt
A sin kx t
x t
A sin 2
T
29
Soluzioni sinusoidali
• Tali soluzioni rappresentano onde dette
monocromatiche
• Il motivo e` che nello spettro della luce visibile
ad ogni frequenza corrisponde un colore
• e che le onde sinusoidali contengono una sola
frequenza (o pulsazione)
x
A sin 2 ft A sinkx t
30
Onde e.m. sinusoidali - componenti
trasversali
• Partendo dall’equazione per Ey e scelta una soluzione sinusoidale
E y ( x, t ) E y 0 sin kx t
• Troviamo la soluzione per Bz integrando rispetto al tempo
l’equazione
• Ottenendo
t
Bz x, t
x
E y x, t kEy 0 coskx t
Bz x, t k E y 0 coskx t dt
k
E y 0 sin kx t
• Cioè E e B hanno la stessa forma sinusoidale e sono in fase
Bz x , t
1
1
E y 0 sin kx t E y x, t
c
c
• Esiste una relazione analoga tra Ez e By
1
B y x, t E z x, t
c
31
Onde e.m. sinusoidali - componenti
trasversali
• Da queste relazioni segue che i moduli dei
campi sono proporzionali
2
2
2
2
2
2
B By Bz E y c Ez c E c
• E che i campi sono ortogonali
1
1
E B E y By Ez Bz E y Ez Ez E y 0
c
c
32
Polarizzazione
• Le onde e.m. piane sono puramente trasversali
• I gradi di libertà trasversali sono due
• Consideriamo il campo E, i due gradi di libertà
corrispondono alle componenti Ey, Ez
• Potremmo fare le stesse considerazioni con il
campo B
• Questo non aumenta i gradi di libertà, poiché
ad ogni componente di E è associata una
componente di B
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Polarizzazione lineare
• Supponiamo
che il campo E sia
E ( x, t ) E y 0 sin kx t ˆj Ez 0 sin kx t kˆ
• Quindi
il campo B risulta essere
B( x, t ) By 0 sinkx t ˆj Bz 0 sinkx t kˆ
• Nel piano trasversale il vettore E
oscilla di moto armonico lungo un
segmento di direzione fissa rispetto
agli assi
• La proiezione di E lungo y varia da
-Ey0 a Ey0 e lungo z da -Ez0 a Ez0
• Un’onda siffatta le cui componenti
oscillano in fase, è detta polarizzata
linearmente
Ey,By
Onda entrante
E
Ez,Bz
B
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Polarizzazione circolare
• Supponiamo
che il campo E sia
E( x, t ) E0 sin kx t ˆj E0 coskx t kˆ
• Quindi
il campo B risulta essere
B( x, t ) B0 coskx t ˆj B0 sin kx t kˆ
• Nel piano trasversale il vettore E
descrive un cerchio di raggio E0
• Un’onda siffatta le cui
componenti oscillano sfasate di
/2, è detta polarizzata
circolarmente
Ey,By
E
Ez,Bz
x fisso
t crescente
onda entrante
B
35
Polarizzazione ellittica
• Il caso piu` generale e` quello della polarizzazione
ellittica
E ( x, t ) E y 0 sinkx t ˆj E z 0 sinkx t kˆ
B( x, t ) By 0 sinkx t ˆj Bz 0 sinkx t kˆ
• con due ampiezze e due fasi differenti
Ey,By
E
B
Ez,Bz
36
Trasporto di energia
• L’energia e.m. di un’onda
piana monocromatica che
attraversa l’area A nel tempo
t è uguale all’energia
contenuta nel volume di base
A e altezza ct
• Questa si trova moltiplicando
la densità di energia per il
volume del cilindro
• C’è un contributo elettrico ed
uno magnetico
A
ct
37
Trasporto di energia
• Parte elettrica
1
U E u E V 0 E 2 Act
2
• Parte magnetica
U M u M V
1
20
B 2 Act
A
ct
• Tali relazioni, dimostrate per campi statici, valgono anche
per i campi rapidamente variabili di un’onda
• L’intensità (istantanea) dell’energia incidente è definita
come l’energia incidente diviso l’area e il tempo
U
1
1 2
2
S lim
uE c uM c 0 E c
Bc
t 0
At
2
2 0
38
Vettore di Poynting
c
• Tenendo conto che
1
2
0 0
E
B
c
• L’intensità si può riscrivere in qualunque delle forme
1 2 1
S 0E c B c
E EB
0
0 c
0
2
1
2
• Introduciamo il vettore di Poynting che ha S per
modulo e direzione e verso dell’onda
1
S
EB
0
• S è perpendicolare ai campi E e B e rappresenta il
flusso istantaneo di energia e.m.
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Vettore di Poynting
• Verifichiamo quanto detto calcolando le componenti
cartesiane del vettore S per un’onda piana
monocromatica
• Si vede facilmente che la sola componente non nulla
e` quella longitudinale (x)
Sx
1
0
E B
y
z
E z By
1 1
1 2
2
2
1 1
E y Ez
E
E y E y Ez Ez
0 c
0c
c 0c
• Tale componente e` positiva, ovvero S ha il verso x
positivo, cioe` il verso di propagazione dell’onda
40
Intensità media
• Molto spesso interessa l’intensità media, cioè la
media nel tempo di S
T
1 1
I S EBdt
T 0 0
• Calcolo di I per un’onda sinusoidale
T
2
E
1 1 2
1
1
1 2
2
0
I
E dt
E
Eeff
T 0 0c
0c
0c 2 0c
0 cE
2
eff
c
0
2
Beff
41