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Elettrodinamica 3
30 ottobre 2014
Alternatore
Valore efficace
Circuiti in corrente alternata
Circuito R
Circuito C
Circuito L
Circuito LR
Alternatore
• È un generatore di fem alternata
B
E (t ) E0 sin t
2
Valore efficace
• Per una grandezza che varia sinusoidalmente,
è definito come la radice quadrata della media
del quadrato della grandezza
T
T
1
1
1 2
2
2
2
G G (t )dt G0 sin tdt G0
T0
T0
2
2
eff
• È pari all’ampiezza diviso radice di due
3
Circuito R
• Applichiamo la 2° legge di
Kirchhoff
E VR 0
E VR RI
R
E
E E0
I
sin t
R
R
• La corrente ha la stessa fase
della fem
4
Circuito R
• Potenza assorbita: è sempre >=0
E 2 E0 2
P IE
sin 2 t
R
R
R
E
• Potenza media
T
T
2
E
1
1 E0 2
1
2
0
P P(t )dt
sin tdt
T0
T0 R
R 2
2
2
E
1
2
0
sin
xdx
0
2 R
• In termini di valore efficace
Eeff2
1 E0
P
2 R
R
2
5
Quesito
• Riconsideriamo l’esercizio dell’interruttore della luce in
una stanza, supponendo ora di avere una fem alternata
del tipo E (t ) E0 sin t con una frequenza di rete di
50 Hz
• Qual e` l’ampiezza D0 dello spostamento x di un
elettrone nel filo?
• Soluzione nella pagina seguente
6
Quesito
• La corrente nel filo e` data da I E0 R sin t
ricordando l’espressione dellacorrente in termini di
velocita` di deriva: I vd A nqvd A ; quindi
I 0 sin t
dx
I
vd
dt
neA
neA
• Troviamo D0 integrando su un quarto di ciclo:
T /4
I0 T /4
I0 1
D0 vd dt
sin tdt
neA 0
neA
0
1
1
235nm
28
19
6
8.47 10 1.6 10 10 100
• Cioe` una distanza di poche migliaia di atomi
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Circuito C
C
E
• Applichiamo la 2° legge di Kirchhoff
E VC 0
1
E VC Q
C
Q CE CE0 sin t
• La corrente si trova differenziando Q
E0
dQ
I
CE0 cos t
sin t
dt
XC
grafico
2
• Riscriviamo il coseno in termini di seno per poter meglio
confrontare lo sfasamento rispetto alla fem
• La corrente è in anticipo di fase di /2 sulla fem
1 è detta reattanza capacitiva, e ha le
XC
C dimensioni di una resistenza
8
Circuito C
• Potenza assorbita: può essere positiva o negativa
P IE CE0 2 sin t cos t
grafico
• Potenza media
T
1
1
2
2
P CE0 sin t cos tdt CE0
T0
2
2
sin x cos xdx 0
0
• In un condensatore ideale non c’è dissipazione di
potenza
9
Circuito L
L
• Applichiamo la 2° legge di Kirchhoff
dI E E0
dI
sin t
E EL E L
0
dt
L
L
dt
• La corrente si trova integrando
E0
E0
E0
I sin tdt
cos t
sin t
L
L
XL
2
• Riscriviamo il coseno in termini di seno per poter
meglio confrontare lo sfasamento rispetto alla fem
• La corrente è in ritardo di fase di /2 sulla fem
X L L è detta reattanza induttiva, e ha le
dimensioni di una resistenza
E
grafico
10
Circuito L
• Potenza assorbita: può essere positiva o negativa
E0
P IE
sin t cos t
L
2
grafico
• Potenza media
T
E0 2 1
1 E0 2
sin t cos tdt
P
T 0 L
L 2
2
sin x cos xdx 0
0
• In un solenoide ideale non c’è dissipazione di potenza
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Circuito LR
L
E
• Equazione del circuito:
dI
E EL VR E L RI 0
dt
• Riordinando dI
L RI E0 sin t
dt
• Questa equazione ha come soluzione generale la
somma di una sua soluzione particolare e della
soluzione generale dell’equazione omogenea associata
• Come già sappiamo la soluzione generale di dI
L RI 0
dt
L
t
• è I t Ae
con
R
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Circuito LR
• Una soluzione particolare si ottiene dalla soluzione di
prova I * t I 0 sin t f
• Ove I0 e f sono costanti da determinare in modo tale da
rendere l’equazione differenziale una identità
• NB: queste costanti non dipendono dalle condizioni
iniziali
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Circuito LR
• Sostituendo I* nell’equazione differenziale
dI *
d
*
L
RI L I 0 sin t f RI 0 sin t f E0 sin t
dt
dt
• Differenziando e sviluppando seno e coseno, otteniamo
LI 0 cost f RI 0 sin t f
LI 0 cos t cos f sin t sin f RI 0 sin t cos f cos t sin f
E0 sin t
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Circuito LR
• Raggruppando i termini in sin t e cos t
cos tI 0L cos f I 0 R sin f sin t I 0L sin f I 0 R cos f E0 0
• Ovvero, chiamando A e B le costanti in parentesi quadre
A cos t B sin t 0
• Il primo membro è una funzione del tempo e affinché sia
identicamente nullo, occorre che A e B siano nulli
I 0 L cos f R sin f 0
I 0L sin f I 0 R cos f E0 0
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Circuito LR
• Questo è un sistema di due equazioni nelle due
incognite I0 e f; la prima equazione dà
ωL
tgφ R
• Da cui ricaviamo
sin φ -
cos φ
X L L
ωL
R ωL
2
2
R
R 2 ωL
2
XL
Z
R
Z
• Che sostituiamo nella seconda equazione
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Circuito LR
• Dalla seconda equazione otteniamo I 0
E0
• Da cui
I0
Z
L 2 R 2
Z
I 0 Z E0
E0
sin t f
• La soluzione particolare è dunque I t
Z
• Con
XL
f arctg
R
*
2
2
• e Z R X L R L è l’impedenza del circuito
• L’impedenza per un circuito in CA è la grandezza che
corrisponde alla resistenza in un circuito in CC
2
2
17
Circuito LR
• La soluzione generale dell’equazione
E
è quindi
I t Ae t 0 sin t f
Z
• Per determinare la costante A di
integrazione bisogna, come al solito,
imporre la condizione iniziale per la
corrente I(0)
• Possiamo però notare che la soluzione
dell’omogenea è esponenzialmente
decrescente, per cui se non siamo
interessati a quel che accade per
piccoli valori del tempo, ma piuttosto
E0
sin t f
alla soluzione su tempi lunghi, allora: I t
Z
• Quindi asintoticamente la soluzione
coincide con la soluzione particolare
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Circuito RC
• In modo simile può essere trattato il circuito RC
dQ Q
Q * t Q0 sin t
R
E0 sin t
dt C
• In tal caso la costante di fase f (sfasamento tra corrente
e fem) è
1
XC
f arctg
f
XC
2
C
R
• e l’impedenza
1
2
Z R2 X C R2
C
2
19