elettrostatica 6
Download
Report
Transcript elettrostatica 6
Fisica 2
Elettrostatica
6a lezione
Programma della lezione
•
•
•
•
•
Lavoro della forza elettrica
Potenziale elettrico
Integrale di linea del campo elettrico
Conservatività del campo elettrico
Relazione differenziale tra campo e
potenziale
• Superfici equipotenziali
Lavoro della forza elettrica
• Lavoro (su di una
carica esploratrice q)
di una forza generata
da una distribuzione
di carica
• Nel caso
particolarmente
semplice di una sola
carica puntiforme
F dl
B
LAB
A
B
qE dl q E dl
B
A
A
LAB
Q
q k 3 r dl
r
A
B
B
B
rdr
dr
qkQ 3 qkQ 2
r
r
A
A
1 1
1
qkQ qkQ
r A
rA rB
B
Energia potenziale elettrica
• La variazione di energia
potenziale è uguale al
lavoro cambiato di
segno
• Nel caso particolare di
una sola carica
puntiforme
U ( B) U ( A) LAB
1 1
U ( B) U ( A) qkQ
rB rA
Potenziale elettrico
• E’ l’energia potenziale
U ( B) U ( A)
V ( B) V ( A)
per unità di carica
q
(esploratrice) q
• Nel nostro caso
1 1
V ( B) V ( A) kQ
particolare vale
rB rA
• E’ proporzionale alla
carica Q che genera il
campo
Potenziale elettrico di una carica
puntiforme
• Possiamo riscrivere così
il potenziale in un punto
arbitrario B
• La costante C è uguale
per tutti i punti dello
spazio
• In genere si usa scegliere
C nulla, in modo che il
potenziale all’infinito sia
nullo
• Possiamo dunque
esprimere il potenziale
così
1
V ( B ) kQ C
rB
1
V () kQ C C 0
r
1
V (r ) kQ
r
Potenziale elettrico di una carica
puntiforme. Forma alternativa
• La forma precedente
presume che la carica sia
posta nell’origine delle
coordinate
• Lasciamo cadere questa
posizione e riscriviamo in
modo più generale il
potenziale elettrico
• Questa forma è
particolarmente utile
quando abbiamo più di
una carica
Rr
r
R
1
V R r kQ
Rr
Potenziale di più cariche
• Usiamo il principio di V ( B) V ( A) E dl n E dl
j
A
A
sovrapposizione per
j 1
E: troviamo un
n B
n
analogo principio per E j dl V j ( B) V j ( A)
j 1
A
j 1
V
• Nel caso particolare
V ( B ) V ( A)
di cariche puntiformi
n
kQ
kQ
j
j
• Se non vi sono
R r
R
r
j
1
A
j
cariche all’infinito
B j
possiamo scegliere la
n
kQj
costante C nulla, così
V ( R)
che il potenziale è
j 1 R r j
nullo all’infinito
B
B
Distribuzione continua
• Possiamo considerare ogni volume infinitesimo
di carica come una carica puntiforme e poi
sommare i contributi al potenziale di tutte le
infinite cariche (integrare sul volume)
dQ(r )
dQ(r )
V ( B) V ( A) k
k
R B r
R A r
V
V
• Possibili problemi matematici di convergenza
dQ(r )
V ( R) k
Rr
V
Dimensioni e unità del potenziale
• Dalla definizione segue che le dimensioni del
potenziale sono quelle di un’energia diviso una
carica
E F L
V
Q
Q
• L’unità di misura è il volt pari a
– joule diviso coulomb: J/C oppure a
– newton volte metro diviso coulomb: Nm/C
Potenziale elettrico
• Riassumendo:
U ( B) U ( A)
V ( B) V ( A)
q
B
B
LAB
1
F dl E dl
q
qA
A
• Abbiamo così ottenuto l’importante relazione
integrale tra potenziale elettrico e campo
elettrico
• Vale solo per campi statici
• verrà generalizzata da Faraday a campi
elettrodinamici (3° legge dell’e.m.)
Conservatività della forza elettrica
V ( B ) V ( A) E dl
B
• L’espressione:
A
• afferma che la ddp dipende solo dai punti
iniziale e finale, non dal cammino seguito
• Quindi
A B
A B
E dl
E dl
C1
C2
• E siccome
A B
B A
E dl E dl
C
C
Conservatività della forza elettrica
• Possiamo riscrivere:
A B
A B A B B A
0 E dl E dl E dl E dl
C1
C2
C1
C2
E dl
C1 C2
• Cioè l’integrale di linea del campo E (statico) su
di una linea chiusa è nullo
Forma differenziale della
conservativita` del campo elettrico
• Trasformiamo la circuitazione di E mediante il
teorema di Stokes
0 E dl
C
E da
S C
• Assegnato C, l’integrale di destra e` nullo
qualunque sia la superficie S che poggia su C
• Ne segue che vale identicamente
E 0
Relazione differenziale tra campo e
potenziale
• La relazione tra campo e potenziale che
abbiamo espresso in forma integrale, può
essere anche espressa in forma differenziale
dV E dl E x dx E y dy E z dz
V
V
V
dV
dx
dy
dz
x
y
z
V
Ek
k 1,2,3
xk
Relazione tra campo e potenziale
• Ovvero, in forma differenziale:
V
E Ek eˆk
eˆk V
k
k xk
• Questa formula ci può anche essere utile per
trovare il campo elettrico, calcolando prima il
potenziale
• Dobbiamo calcolare un solo integrale invece di
tre, e poi dobbiamo fare tre derivate parziali
Rotazione di un gradiente
• Partiamo
dall’equazione
• Facciamo il rotore di
entrambi i membri
• Studiamo una qlq.
componente del
secondo membro
• Ne segue che la
rotazione di un
gradiente è
identicamente nulla
A
A
x
y z z y
2 2
0
yz zy
0
Rotazione del campo elettrico
(statico)
• Poiche’ il campo elettrico si
puo` scrivere come il gradiente
del potenziale
• Per quanto appena visto sulla
rotazione, ne segue che la
rotazione del campo elettrico
(statico) e` nulla
E V
E 0
Superfici equipotenziali
• Sono superfici perpendicolari al
campo elettrico
• Equipotenziale significa infatti
che V è costante sulla
superficie, quindi dV=0
• Dalla relazione tra campo e
potenziale segue che il campo
elettrico è perpendicolare a
qualunque vettore che giace su
una tale superficie
dV E dl