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The state equation of a third order system is shown below
x1  2 x1  3 x2  2 x3
x2  2 x1  3 x2  2u
x3  2 x1  2 x2  2u
y  7 x1  6 x2  4 x3
Use the similarity transformation to decouple the state model and
explain the observability and controllability for each of the
subsystem .
解
2 3 2 1





令 x    2  3 0  x    2 u
 2  2  4  2 
y  7 6 4x
∆
=
Ax  Bu
∆ Cx
=
2







   det   A    1   2
則特性方程式為
1 .2 .3 .  1,2,2
(1) 1  1 (單根),求其相對應的特徵向量
 3  3  2  x11 
 
2
2
0
  x12   0

 2
2
3   x13 
x1 : 由 1  Ax1  0
x11 : x12 : x13  4 : 4 : 0
取
0
1
x1   1
 0 
x2 : 由 2   Ax2  0
(2) 2  2 (重根),求其相對應的特徵向量
x21 : x22 : x23  2 : 4 : 2  1 : 2 : 1
 4  3  2  x21 
 2 1 0 x   0
 1 

  22 
取 x 2   2 只有一個線性獨立解


 2 2 2   x 23 
 1 

(3)利用

x 2求廣義特徵向量 x :    Ax
 4  3  2  x31   1 
2
  x     2
1
0

  32   
 2
2
2   x33   1 
3
3
3
 1 
x3   0 
 1.5
  x2
所以
1
1 
1
p   1  2
0 
 0
1  1.5
4
B  P 1 B    1
 2
0
 1 0
A  P 1 AP   0  2 1 
 0
0  2
C  CP  1  1 1
A 矩陣具有兩個喬登方塊，但兩個喬登方塊的特徵值均相異又
B 對應於每個喬登方塊最後一列為4,  2 不全為零,故系統為
完全狀態可控制
C 對應於每個喬登方塊第一行為 1,  1 不全為零,
故系統為完全狀態可觀察
93機械高考 已知一系統狀態方程式(Dynamic equation)為:
1
0

x   0

0
 0
y  c1
0
2
0
0
0
c2
0
0
3
0
0
c3
0
0
0
4
0
c4
0
 b1 
b 
0 
 2
0  x  b3 u

 
0
b4 
5  b5 
c5 x
(一)是列出系統為可控制(Completely controllable) 所需 1 , 2 , b1 , b2 , b3 , b4 , b5
的限制
(二)試列出系統為可觀察(Completely observable) 所需 1 , 2 , b1 , b2 , b3 , b4 , b5
的限制
解
(一)
1  2 : 可控條件 , b2 , b3 , b4 , b5 都不為零向量
且 b2 ,b3 彼此線性獨立 

輸入至少需要兩個……..
u1 ,u2
彼此線性獨立

且 b4 ,b5

1  2 : 可控條件 b2 , b3 , b4 , b5 都不為零向量
且 b2 , b3 , b4 , b5 彼此線性獨立
輸入至少需要4個 u1 , u 2 , u 3 , u 4
(二)
1  2 : 可觀察條件
c1 , c3 , c 4 , c5 都不為零向量
且
c1 , c3 彼此線性獨立
且
c 4 , c5
彼此線性獨立
1  2 : 可觀察條件
且
c1 , c3 , c 4 , c5
都不為零向量
c1 , c3 , c 4 , c5 彼此線性獨立
討論:
(1):若每個喬登方塊的特徵值均相異,則只要判斷 B 對
應於喬登方塊最後一列是否不全為零,以及C 對應喬登
方塊第一行是否不全為零,即可知系統是否為完全狀態,
可控制與可觀察。
(2)若某此喬登方塊的特徵值發生相同時,除了要判斷 B
對應於喬登方塊最後一列是否不全為零,以及C 對應於
喬登方塊圖的第一行是否不全為零外,還必須進一步 B
對應於相同特徵值的喬登方塊最後一列,以及C 對應於
相同特徵值的喬登方塊第一行是否線性獨立,由以上範
例可知,若相同特徵值的喬登方塊共有 n 個,則系統的輸
入與輸出也必須至少有 n 個,才有機會史的控制系統維
持控制性與觀察性。