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動差與動差母函數
1.動差(Moment)的定義
定義 5.12
隨機變數 X 對原點的 k 級動差定義為 E ( X k ) ，並
'
記為  (k
)。
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動差與動差母函數
定義 5.13
隨機變數 X 對平均數的 k 級動差，或 X 的 k 級中
央 動 差 (kth Central Moment) 定 義 為
E[( X   ) k ] ，而以  (k ) 表示。
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動差與動差母函數
2.動差母函數(Moment-Generating Function)
定義 5.14
隨 機 變 數 X 的 動 差 母 函 數 m (t ) 定 義 為
m ( t )  E (e tX ) 。若存在一正值的常數 b，使得在
t  b 時， m (t ) 為有限數，則稱 X 的動差母函數存
在。
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動差與動差母函數
3.動差母函數的性質
定理 5.12
若 m (t ) 存 在 ， 則 對 任 一 正 整 數 k ，
d k m (t ) d k m (t ) 
'
(k )


)
0
(
m


( k ) 。換言之，若
k
k
dt
dt
 t 0
令 t  0 ,則對 t 求 m (t ) 的 k
'
階導數，即可得到  (k ) 。
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動差與動差母函數
【範例 5.24】
試求平均數為  的卜瓦松(波氏)分配隨機變數的動
差母函數 m (t ) 。
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動差與動差母函數
【解】


x0
x 
x0
m (t )  E (e tX )   e tx p( x )   e tx
( e t ) e
 
x!
x0

 e 
 x e 
x!
( e t ) x
，又

x!
x 0

( e t ) x
e t
et
 e ，故將上式同時乘上並除以 e 之後，

x!
x 0

(e ) e
得 m (t )  e e

x!
x 0
 ( e t  1)
e
。

e t

t
x
 e t
e

e
e t
(1)
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動差與動差母函數
【範例 5.25】
利用【範例 5.24】所求出的動差母函數與定理
5.12，求出卜瓦松(波氏)隨機變數的期望值  與變異數
 2。
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動差與動差母函數
【解】
依 據 定 理
3.12
可 知 ，   1'  m(1) (0) 及
2'  m(2) (0) ，對 m ( t ) 求一階及二階導數後，得
d  ( e t 1)
 ( e t 1)
m ( t )  [e
] e
 et ，
dt
2
d
d  (e t 1)
( 2)
 ( e t 1)
m (t )  2 [e
]  [e
 e t ]
dt
dt
 ( e t 1)
t 2
 ( e t 1)
e
 (e )  e
 e t 。
(1)
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動差與動差母函數

  m (0)  e
(1)
 m
'
2
( 2)
 ( e t 1)

(0)  e
 et
 ( e t 1)

t 0
，
 ( e )  e
t 2
 ( e t 1)
 e t

t 0
 2   ，
 2  E(Y 2 )   2  2'   2   2    ( )2   。
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動差與動差母函數
【範例 5.26】
假 設 隨 機 變 數 Y 的 動 差 母 函 數 為
mY (t )  e
3.2( e t 1)
，則 Y 的分配為何？
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動差與動差母函數
【解】
由於平均數為  的卜瓦松分配之動差母函數為
 ( e t 1)
，對照隨機變數 Y 的動差母函數，可知 Y
m(t )  e
為平均數   3.2 的卜瓦松分配。
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