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卜瓦松(波氏)機率分配
若要求出某個十字路口在一週內發生車禍次數的
機率時，將一週的時間劃分成 n 個小區間，使得每個時
間區間內至多僅能發生一次意外事件，令在每一小區間
內發生一次車禍的機率為 p，則
P(在小區間內沒有車禍)  1  p 、
P(在小區間內發生一次車禍)  p 、以及
P(在小區間內發生一次以上的車禍)  0 。
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則在一週內發生的車禍總數就等於包含發生一次車禍
的小區間總數，若在每個區間內發生車輛的過程互為獨
立，則一週內總車禍數便為一二項式分配。
若 n 增加時，則 p 將減少。在 np 固定為一  值時，
則 n  , p  0 的二項式分配的極限情形將成為卜瓦
松(波氏)機率分配(Poisson Probability Distribution)。
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卜瓦松(波氏)機率分配
1.卜瓦松(波氏)機率分配
定義 5.11
隨 機 變 數 X 稱 為 卜 瓦 松 機 率 分 配 ，若 且 唯 若
p( x ) 
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x
x!
e

,
x  0, 1, 2,  ,   0 。
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【範例 5.19】
證明卜瓦松機率分配之機率滿足 0  p(x )  1 ，對
所有 x 均成立，以及  p( x )  1 。
x
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【解】
  0 ， 故 對 所 有 x  0, 1, 2, 而 言 ， 可 知
p(x )  0 。
 x
 x 
e  e  
 e   e   1 ， 其中
又  p( x )  
x0
x  0 x!
x  0 x!
 x

e 。

x 0 x!

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
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【範例 5.20】
某種隨機指派的巡邏系統將安排某位警察在半小
時的期間內，巡邏他的管區內的重要地點一次。令這位
巡警在半小時期間內巡視過某一地點之次數為
Y  0, 1, 2, 3,  ，假設 Y 近似於卜瓦松機率分配。試求
此巡警在半小時期間內會漏掉某一地點的機率，他將巡
過該地點一次的機率為何？巡過兩次的機率為何？巡
過至少一次的機率為何？
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【解】
在 半 小 時 的 期 間 內 ， 平 均 值  1 ， 即
(1) y e 1 e 1
, y  0, 1, 2,

p( y ) 
y!
y!
；故
e 1
 e 1  0.368 。同理，
P (Y  0)  p(0) 
0!
1
1
e
e
e 1
 0.184 。

 e 1  0.368 、 p(2) 
p(1) 
2
2!
1!
又巡過至少一次的機率為

P (Y  1)   p( y )  1  p(0)  1  e 1  0.632 。
y 1
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【範例 5.21】
某種類型的樹苗隨機散佈在一大區域內，樹苗的密
度為每平方碼約為五株。若有位森林學家隨機設置十個
一平方碼的抽樣區域，試求這些區域均不含樹苗之機
率。
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【解】
令隨機變數 X 表示每一個平方碼內的樹苗數目，
故 X 為   5 的 Poisson 分配。故任一平方碼內不含樹
苗的機率為
0 e  
5
P ( X  0)  p(0) 
 e  0.006738 。
0!
而十個一平方碼的區域均不含樹苗的機率為
(e 5 )10  (0.006738)10  0
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【範例 5.22】
假設 X 為具有 n  20 及 p  0.1 的二項式分配，利
用二項式機率表，計算 P ( X  3) 的精確機率。利用卜
瓦松機率表求其近似機率，並比較 P ( X  3) 的精確機
率與近似機率。
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【解】
查二項機率分配表，得 P ( X  3)  0.8670 。利用卜
瓦 松 分 配 時 ，   np  20(0.1)  2 ， 查 表 時 可 得
P ( X  3)  0.857 ，兩者誤差僅 0.01，故卜瓦松分配為
二項式分配的良好近似。
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2.卜瓦松分配的平均數與變異數
定理 5.11
若 X 是參數  的卜瓦松分配之隨機變數，則
  E (X )   ，且  2  V ( X )   。
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【範例 5.23】
某特定製造工廠的工安事故為每個月平均三件，過
去兩個月有十件事故發生。若  仍然等於 3，此數目是
否難以置信？其是否意味平均數  的增加？
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【解】
令隨機變數 Y 表示兩個月所發生的事故件數，故 Y
為   2(3)  6 的 Poisson 分配。故
6 y e 6
P (Y  10)  
 1  P (Y  9)  1  0.916  0.084
y!
y 10
，此機率值並未達到難以置信的程度。
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