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二項式機率分配
1.二項式實驗
定義 5.6
具有下列性質之實驗稱為二項式實驗 (Binomial
Experiment)：
(1)此實驗包含次數固定為 n 且完全相同的試驗
(Trials)；
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二項式機率分配
(2)每次試驗的結果為兩出相(Outcome)之一。其中
一種稱為“成功”，記為 S；另一種出相為“失
敗”，以 F 表示；
(3) 每 次 試 驗 成 功 的 機 率 為 p ， 失 敗 的 機 率 為
q=(1-p)，且此機率在每次試驗時均相同；
(4)每次試驗均互相獨立；
(5)所關心的隨機變數 X 代表 n 次試驗中所觀察到
的成功次數。
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二項式機率分配
【範例 5.6】
早期的飛機警戒偵測系統是由四個相同的雷達單
元組成，這些單元相互獨立操作，假設每一單元可以偵
測一架入侵的飛機之機率為 0.95。當一架飛機侵入時，
設隨機變數 X 表示無法偵測到該飛機的雷達單元數
目，則此為二項式實驗嗎？
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二項式機率分配
【解】
令隨機變數 X 表示無法偵測到該飛機的雷達數
目，檢查此試驗是否滿足二項式試驗的五個特性：
1.本實驗包括四次相同的試驗，每次試驗包含特定的雷
達是否偵測到飛機；
2.每次試驗結果有兩種出相，無法偵測到飛機以 S 表
示，可以偵測到飛機則以 F 表示；
3.每個雷達偵測到飛機的機率相同，故每次試驗成功的
機率皆相同，即 p  P ( S )  0.05 ；
4.因為各個雷達為獨立操作，故每次試驗為獨立；
5.隨機變數 X 表示四次試驗中，成功(S)的次數。
由以上五點可知，此為 n=4, p=0.05, q=1-0.05=0.95
的二項式實驗。
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二項式機率分配
【範例 5.7】
設有一群數量很大的選民，其中有 40%支持瓊斯
先生。今隨機抽樣 10 人 (n  10) 作為隨機樣本，令 X
表示這 10 人中支持瓊斯的人數，則此實驗是否為二項
式實驗？
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二項式機率分配
【解】
若支持瓊斯代表成功(S)，不支持瓊斯代表失敗，
檢查是否滿足二項式試驗的五個特性後，發現每次試驗
大致上為獨立。故此類的抽樣問題，大致可視為二項式
實驗。
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二項式機率分配
2. 二 項 式 機 率 分 配 (Binomial
Distribution)
Probability
定義 5.7
隨機變數 X 稱為試驗次數 n、成功機率為 p 的二項
式分配，若且唯若
 n  x n x
p( x )    p q , x  0, 1, 2,  , n 且 0  p  1 。
 x
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二項式機率分配
【範例 5.8】
設有一批電子式保險絲共有 5000 個，其中有 5%
為不良品。現由其中抽取五個加以檢驗，試求至少有一
個不良品的機率。
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二項式機率分配
【解】
因為每批產量夠大，可以使用二項式分配求解：
P(至少有一個不良品)  1  p(0)
5 0 5
 1  C0 p q
0
5
 1  1(0.05) (0.95)  1  0.774
 0.226 。
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二項式機率分配
【範例 5.9】
設感染某種疾病的病人有 30%的痊癒機會。某藥
廠發明了對抗此疾病的新疫苗，隨機抽出 10 位感染此
種疾病的病人注射該疫苗，其中有九位不久就痊癒了。
假設此種疫苗毫無效果，試問這 10 位注射疫苗的病
人，至少有九位可以痊癒的機率為何？
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二項式機率分配
【解】
令 X 表示痊癒的病人數，若疫苗無效，則任一位
病人可以痊癒的機率為 p  0.9 。故
P ( X  9)  p(9)  C 910 (0.3) 9 (0.7)  0.000138 、
10
P ( X  10)  p(10)  C10
(0.3)10 (0.7) 0  0.000006 。 因
此 ， 至 少 有 九 位 可 以 痊 癒 的 機 率 為
P ( X  9)  p(9)  p(10)  0.000144 。
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二項式機率分配
【範例 5.10】
在【範例 5.8】中的大批保險絲之中，假設包含有
5%的不良品。若隨機選出 n  20 個保險絲，試求至少
有四個不良品的機率。
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二項式機率分配
【解】
令 Y 表示不良品個數，則此為 n  20, p  0.05 的二
項 式 實 驗 ， 又 P (Y  4)  1  P (Y  3) 。 查 表 可 知 ：
3
P (Y  3)   p( y )  0.984 ，故
y 0
P (Y  4)  1  0.984  0.016 。
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二項式機率分配
3.二項式分配的平均值與變異數
定理 5.7
若 X 為試驗次數 n、成功機率為 p 的二項式分配，
則   E ( X )  np ，且
 2  V ( X )  np(1  p)  npq 。
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二項式機率分配
【範例 5.11】
假設調查一家大公司中的 20 位員工，詢問其是否
喜歡執行一項有關退休基金的新政策。若在樣本中共有
六人喜歡該新政策，試求所有員工喜歡新政策的比例 p
之估計值(Estimate)。此題為估計方法中，最大概似法
(The Method of Maximum Likelihood)的一個範例。
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二項式機率分配
【解】
令 Y 表示喜歡新政策的人數，則此為 n  20、成功
機率為 p 的二項式實驗，則
P (Y  6)  p(6)  C620 p6 (1  p)14 ，令
w  p 6 (1  p)14 ，可以使得 p (6) 為最大的值，同樣可以
使 得 w 為 最 大 。 將 w 兩 邊 取 對 數 後 ， 得
ln w  ln[ p6 (1  p)14 ]  6 ln p  14 ln(1  p) 。
1
 1 
d (ln w )
d (ln w )
 6    14 
 0 ，即
令
 0。
dp
dp
 p
1 p 
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二項式機率分配
6
求解後，得 p 
。
20
d 2 (ln w )
6
6
 0 ，故 p 
又當 p 
時，
時， p (6)
2
20
20
dp
為最大值。
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