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Fakultät für Informatik - Technische Universität München
Lehrstuhl für Effiziente Algorithmen
us 
1 r1   2isk  k
exp x mod N
r k0  r 
Hauptseminar im WS 2002/03:
Quantencomputing
Shors Algorithmus und der
Algorithmus von Kitaev
Sebastian Pohle
Konzeption
• In letzten Vortrag bereits Shors Algorithmus vorgestellt
• Algorithmus von Kitaev ist eine Verallgemeinerung verschiedener
Quantenalgorithmen
• Basierend auf Quantenfouriertransformation
• Vorgehensweise: Von einfachen Verfahren zu komplizierteren
Algorithmen

Detaillierte Beschreibung

… Zwischenrufe während des Vortrages sind erbeten …
23.01.2003
Shors Algorithmus und der Algorithmus von Kitaev Hauptseminar Quantum Computing LEA TUM WS 02/03
2
Gliederung
•
1. Einführung

•
2. Einfache Quantenalgorithmen



•

DFT (Diskrete Fouriertransformation)
QFT (Quantenfouriertransformation)
4. Phasenabschätzung / Phasenmessung
5. Algorithmus von Kitaev




•
Deutschs XOR-Problem
Algorithmus von Deutsch und Jozsa
Algorithmus von Simon
3. Fouriertransformation

•
•
Rechenbasis und verwendete Notationen
Faktorisierung
Bestimmung der Ordnung
Finden versteckter Untergruppen
Abelian Stabilizer Problem (ASP)
6. Einige Verfahren


RSA
Kettenbruchzerlegung
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1. Einführung
Rechenbasis und verwendete Notationen
• Kontrollierter Unitärer Operator
U (C(U))
1
0

0

0
U
0
1
0
0
0 0
0 0

a b

c d
c t  c Uc t
• B = {0,1}
• als Qubits { |0>, |1> }
• Bn = { |0>, |1> }
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1. Einführung
Rechenbasis und verwendete Notationen
• Duale Basis { |0‘>, |1‘> }
0 
1
0  1 
2
• Hadamard-Operator
H
• Rechenoperationen in Bn
und
1 
H
1
2
1
0  1 
2
1 1 
1  1


x  y  ( x1  y1 ,, xn  yn )  B n
x  y  ( x1 y1    xn yn )  B
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2. Einfache Quantenalgorithmen
• Codierung als Quantenalgorithmus bringt folgende
Vorteile

Nur eine Befragung durchgeführt
 Alle Antworten wollen wir gleichzeitig bekommen

Aufgabe: Wir müssen alle Fragen gleichzeitig stellen…
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2. Einfache Quantenalgorithmen
•
Als Ausgangspunkt haben wir eine boolsche Funktion, die eine
boolsche Zeichenkette (= String) auf 0 oder 1 (einen boolschen Wert)
abbildet
f : {0,1}n  {0,1}

•
Wir wissen über f


•
als Black-Box betrachtet (bzw. als Orakel)
entweder ist f ausgewogen, liefert also genau in der Hälfte der möglichen
Fälle 0, in der anderen eine 1
oder konstant.
f darstellbar als unitäre Operation
U f : x1 x2  xn y 
 x1 x2  xn y  f ( x1 ,, xn
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2. Einfache Quantenalgorithmen
2.1 Deutschs XOR-Problem
• Sei zunächst n = 1. Also f : B  B.
• Wir legen an das Eingangsregister die Superposition
1
0  1 
2
• und erhalten
1
 0 0  1 0   1  0 0  0 1
2
2

• Es entstehen vier mögliche Ergebnisse. Dies schreiben wir in der
dualen Basis.
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2. Einfache Quantenalgorithmen
2.1 Deutschs XOR-Problem
• für eine konstante Funktion erhält man:


1
 0 f 0  1 f 1   
2


1
 0 0  1 0 
2
1
 0 1  1 1 
2
1
 0 0  0 1 
2
1
 0 0  0 1 
2
• für eine ausgewogene Funktion:


1
 0 f 0  1 f 1   
2


1
 0 0  1 1   1  0 0  1 1
2
2
1
 0 1  1 0   1  0 0  1 1
2
2


• messen 2. Qubit:


Fall y=0: alle Informationen sind verloren
Fall y=1: x enthät die Aussage ob f konstant oder ausgeglichen war
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2. Einfache Quantenalgorithmen
2.1 Deutschs XOR-Problem
• Algorithmus liefert nur in 50% der Fälle ein sinnvolles Ergebnis

Ergebnis ist jedoch immer korrekt
• Schaltkreis
0
H
x
x
H
0f(x)
H
Uf
0
0
• klassischer Algorithmus gleich schnell
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2. Einfache Quantenalgorithmen
2.2 Algorithmus von Deutsch und Jozsa
• Nun sei n beliebig und f : Bn  B
f 
1
2
  1
f x
x
xB n
• Als Ausgangszustand für y verwenden
wir den gemischten Zustand
1
0  1 
2
 x  0  1  wenn f  x   0
U f : x  0  1 

 x  0  1  wenn f x   1
• Das liefert
1
Uf :
2

xB
n
 0 1
x 
n
 2

 1


  n
 2

 1
xB n
f x
 0  1
x 
2





• Auffällig: das erste Qubit wird verändert
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2. Einfache Quantenalgorithmen
2.2 Algorithmus von Deutsch und Jozsa
• Wir müssen nun anhand der Messung von f unterscheiden, ob f
konstant oder ausgewogen war.

Führen wir nun wieder die Hadamard-Transformation durch
Hn : x 
1
2
  1
x y
n
H n : 0 0 
y
yB n
1
2
n

yB
y
n

letzterer Zustand steht für ein konstantes f (bis auf Vorzeichen)

nur der Zustand H n f  00
steht für eine konstante Funktion (Exponent=0)
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2. Einfache Quantenalgorithmen
2.2 Algorithmus von Deutsch und Jozsa
0  0
1 
n

x{0,1}
2  
x
1
x 0 1


2n  2 
(1)
Hn
0
Hn
x
Uf
1
x 0 1

2 
2n

x
H
y
0
yf(x)
1
2
(1) x z  f ( x ) z  0  1 
3  

2n
2 

z
x
U f : x, y  x, y  f ( x)
x z  x z
(

1
)

z ,, z

1 1
H
n
x1 ,, xn
1
n n
n
z1 ,, zn
2n
H n x
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3
f ( x)
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x z
(

1
)
z

z

2n
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2. Einfache Quantenalgorithmen
2.2 Algorithmus von Deutsch und Jozsa
•
Auswertung
1
2n

 0, ausgewogen
f ( x)
(

1
)


x
 1, konstant
Nur Nullen werden gemessen → Funktion war konstant
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2. Einfache Quantenalgorithmen
2.2 Algorithmus von Deutsch und Jozsa
• Klassischer Algorithmus

Sobald zwei verschiedene
Antworten kommen, wissen wir,
das die Funktion ausgewogen war

Nach 2n-1 + 1 gleichen Antworten
ist klar, dass die Funktion konstant
war

Außerdem
Irrtumswahrscheinlichkeit im 2.
Fall abschätzbar:
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 2n 1   2n 
 /    2 k
pk  
 k  k
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2. Einfache Quantenalgorithmen
2.3 Algorithmus von Simon
•
Nun haben wir als Ausgangspunkt
n
 Es gibt eine Periode 0  a  Z 2
so dass für
f : Z 2n  Z 2n
x y
f ( x)  f ( y )  x  y  a

Wiederum kann das Orakel als Block befragt werden
U f : x, y  x, y  f ( x)
•
auch 2-in-1-Funktion genannt
•
Aufgabe: Bestimmung der Periode a
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2. Einfache Quantenalgorithmen
2.3 Algorithmus von Simon
• Rechenschritte

Schritt 1. Wir beginnen mit dem Zustand 00
wenden die Hn darauf an und erhalten  x x

Schritt 2. Uf wird angewendet

Schritt 3. 2. Reg. messen, 1. Reg. beibehalten

Schritt 4. Hn auf das 1. Register anwenden
  1
x0  y
yB
 x    x f x
  1
 x0   y
y

n
x0  x0  

y
y: y  0
1 r1   2isk  k 1
 exp x mod N
r k 0  r 

Schritt 5. Werr für y finden, so dass

Schritt 6. Schritte wiederholen, bis ausreichens y da sind, um das
lineare Gleichungssystem
zu lösen O(n2)
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U us 
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2. Einfache Quantenalgorithmen
2.3 Algorithmus von Simon
• Quantenalgorithmus
0
0
23.01.2003
Hn
Hn
yf(x)
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2. Einfache Quantenalgorithmen
2.3 Algorithmus von Simon
•
Klassischer Algorithmus

Falls zwei Antworten gleich, so ist
die Lösung a gefunden

Ansonsten muss weiter probiert
werden

Erfolgswahrscheinlichkeit
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pk  k 2 / 2n
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3. Fouriertransformation
3.1 Diskrete Fouriertransformation
• Fouriertransformation ist eine unitäre Operation
• Beweis für die DFT
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3. Fouriertransformation
3.2 Quantenfouriertransformation
• direkte Übertragung der DFT auf Quantenzustände
1
yk 
N
N 1
x e 
2 ijk / N
j 0
1
j 
N
j1 , , jn
0

j
N 1
e 
k
 e 2i 0. jn 1
 0
2 ijk / N
j 0
 
 e 2i 0. jn1 jn 1  0  e 2i 0. j1 j2  jn 1

2n / 2
• realisierbar mit Hadamard und Rotationsoperatoren
1
H
2
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1 1 
1  1


0 
1
Rk  
2i / 2 k 
0
e


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3. Fouriertransformation
3.2 Quantenfouriertransformation
•
Rechnung mit Quantenschaltkreis



erstes Qubit
nächstes Qubit…
1
21/ 2
1
21/ 2
1
22 / 2
1
22 / 2
insgesamt:
1
2
23.01.2003
n/2


 0  e 2i 0. j1 1 j2  jn



 0
 e 2i 0. j 2 1 j3  jn

 0
 e 2i 0. j2  jn 1 j3  jn

 0
 e 2i 0. j2  jn 1  0  e 2i 0. jn 1
 0  e 2i 0. j1 j2  jn 1 j2  jn
 0  e 2i 0. j1 j2  jn 1
 0  e 2i 0. j1 j2  jn 1
 0  e 2i 0. j1 j2  jn 1


 
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
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3. Fouriertransformation
3.2 Quantenfouriertransformation
• 3-Qubit Quantenfouriertransformation
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4. Phasenabschätzung / Phasenmessung
•
Quantenschaltkreis für Phasenabschätzung
•
zuerst Hadamard-Transformation
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4. Phasenabschätzung / Phasenmessung
•
Ergebnis in Fouriertbasis
1
2
n/2

 0  e 2i 0. t 1
 0
 
 e 2i 0. t 1 t 1  0  e 2i 0.1 2  t 1

 Rücktransformation
•
Quantenschaltkreis für Phasenabschätzung
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5. Algorithmus von Kitaev
• Allgemeines Problem:

Finden der Periode einer Funktion

entspricht einer Untergruppenstruktur

Modul N für allgemeine abelsche Gruppen wählbar
• Beispiel: Natürliche Zahlen modulo N
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5. Algorithmus von Kitaev
5.1 Eigenwertbestimmung
•
Ordnungsbestimmung (hier am Beispiel von Shors Algorithmus

Sei xr = 1 (mod N)
U y  xy(mod N )
 2is 
 exp 
us

 r 
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5. Algorithmus von Kitaev
5.1 Eigenwertbestimmung
•
Quantenschaltkreis für Shors Algorithmus
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5. Algorithmus von Kitaev
5.2 Anwendugnen
• Weitere Quantenalgorithmen:

Auffinden versteckter Untergruppen
 Diskreter Logarithmus
 Abelian Stabilizer Problem
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6. Einige Verfahren
6.1 RSA
• Vorbereitung:






Wähle zwei große Primzahlen, p und q
Berechne Produkt n=pq
Wähle eine kleine zufällige ungerade Zahl e, die relativ prim zu φ(n)=(p1)(q-1) ist
Berechne d, die multiplikative Inverse zu e modulo φ(n)
Öffentlicher Schlüssel: P=(e,n)
Privater Schlüssel S=(d,n)
• Verschlüsselung:

E(M)=Me (mod n)
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6. Einige Verfahren
6.1 RSA
• Entschlüsselung:
E(M) → D(E(M)) = E(M)d (mod n)
 D(E(M)) = E(M)d (mod n)
= Med (mod n)
= M1+kφ(n) (mod n)
= M Mkφ(n) (mod n)
= M (mod n)

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Vorschlag für Abschlussveranstaltung
• NMR-Quantencomputer

Faktorisierung der Zahl 15
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Literatur und weitere Quellen
• Nielsen, Chuang - Quantum Computation and Quantum Information
• Werner: Quantencomputer – die neue Generation von
Supercomputern
• Jozsa: Quantum Algorithms
• Bornemann: Vorlesung Quantencomputer

Simulator unter www-m3.ma.tum.de/m3/teaching/QCOMP0102/
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Vielen Dank für Ihre
Aufmerksamkeit.