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反矩陣
反矩陣定義
若A為一方陣且若存在矩陣B使得
AB=BA=I
則矩陣A稱為可逆(invertiable)且B稱為A的反矩陣，以B=A-1表
示。
例：若矩陣
試證
 2 5
A


1
3


3 5 
B

1
2


為矩陣A的反矩陣。
解：
 2 5 3 5  1
AB  




 1 3  1 2 0
3 5   2 5 1
BA  
  1 3   0
1
2


 
0
I

1
0
I
1 
性質：若B及C同為方陣A之反矩陣，則B=C
性質：若ad-bc≠0，則矩陣
a b 
A

c
d


為可逆的且其反矩陣為
d

1  d b   ad  bc
1
A 



c
ad  bc  c a  

 ad  bc
b 
ad  bc 

a

ad  bc 

例：試求矩陣A，若
 3 7 
 1 2 
1
(a) (7 A) 1  
(
b
)
(
I

2
A
)


 4 5
 1 2


解：
2
7
1  2 7 
1 1
(a)[(7 A) )] 
A 


1  1 3
1
 7

1

3
7 
1 
 9

 13 13 
1  5 2 
1 1
(b)[( I  2 A) ] 
A 

2
6
13  4 1

 
 13
13 
性質：設A與B為同階數之可逆矩陣，k為任意非零實數，則
(1) (kA)-1=k-1A-1
(2) (AB) -1=B-1A-1
(3 (AT) -1=(A-1)T
例：若矩陣
1 2 
 3 2
A
，B   2 2
1
3




試求(AB)-1？
解：
 1 1
3

2



A1  
，B 1  
3

 1

 1 1 
2

 1 1
 4
3

2



( AB) 1  B 1 A1  
 9
3


 1
  1 1   
2

 2
3
7 
2