Transcript 下載/瀏覽

數學趣事與漫談
控晶一甲
第5組
趙家賢
陳昱豪
林冠毅
費馬最後定理
數學家費馬在畢氏定理 (a2 + b2 = c2)論證記下：
任何立方數不能分成兩立方數的和，任何四次方數不
能分成兩四次方數的和，任何五次方數也不能分成兩
五次方數的和，以此類推。
設 n 是大於 2 的正整數，則方程式 xn+yn=zn，
沒有正整數解。
根據當時尚未成熟的數學歸納法，推斷這
命題對任意n>2皆成立。
巴斯卡三角形
巴斯卡討論 (a+b)ⁿ 展開之係數，此事可見其著作《算術 三角論》
巴斯卡三角形定理。他先在紙上寫出一行和一列的「１」，然後
在各個位置中填入數字，每一個數字是它上面一個數和左邊一個
數的和。填完後右轉 45°，巴斯卡三角形就成型了。
1 1 1 1 1 1
1
1 2 3 4 5
1
1 3 6 10
1 4 10
1 5
1
1
1
→
1
3
4
5
2
1
3
6
10 10
1
4
1
5
1
(a+b)ⁿ展開後的係數，只要查一下巴斯卡
三角形的第 n 列
(a+b) ⁰
1
1
(a+b) ¹
a+b
1 1
(a+b) ²
a²+2ab+b²
1 2 1
(a+b) ³
a³+3a³b+3ab³ +b³
1 3 3 1
(a+b) ⁴
a+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴
1 4 6 4 1
(a+b) ⁵
a⁵+5a⁴b+10a³b² +10a²b³+5ab⁴+b⁵
1 5 10 10 5 1
(a+b) ⁶
a⁶+6a⁵b+15a⁴b² +20a³b³+15a²b⁴+6ab⁵ +b⁶
1 6 15 20 15 6 1
趣味故事 1
吳國的孫權送給魏國領袖曹操一隻大象，長久居住在中
原的曹操從來沒有看過這種龐然大物，想知道這個大象
的體重到底有多重？有人回家搬出特製的秤，但大象實
在太大了，一站上去，就把秤踩扁了；有人提議把大象
一塊一塊地切下分開秤，再算算看加起來有多重，可是
在場的人覺得太殘忍了。就在大家束手無策正想要放棄
的時候，曹操七歲的兒子曹沖，突然開口說：「我知道
怎麼秤了！」
趣味故事 1
他請大家把大象趕到一艘船上，看船身沈
入多少，在船身上做了一個記號，之後把
一筐筐的石頭搬上船去，直到船下沈到剛
剛畫的那一條線上為止。接著，把在船上
的石頭逐一稱過，全部加起來就是大象的
重量了！
趣味故事 2
國王請金匠用純金打造了一頂王冠，做好了以
後，國王懷疑金匠不老實，可能造假摻了「銀」
在裡面，但是又不能把王冠毀壞來鑑定。怎樣
才能檢驗王冠是不是純金的呢？阿基米德想的
好久，一直沒有好方法。有一天，他在洗澡的
時候發現~~
趣味故事 2
當他坐進浴盆裡時有許多水溢出來，這使
得他想到溢出來的水的體積正好應該等於
他身體的體積，所以只要拿與王冠等重量
的金子，放到水裡，測出它的體積，看看
它的體積是否與王冠的體積相同，如果王
冠體積更大，表示其中造了假，摻了銀。
經過證明之後，王冠中確實含有其他雜質，
阿基米德成功的揭穿了金匠的詭計。
碎形
通常被定義為「一個粗糙或零碎的幾何形狀，
可以分成數個部分，且每一部分近似整體縮小
後的形狀」。
17世紀時，數學家兼哲學家萊布尼茨思考過遞
迴的自相似，碎形的數學從那時開始漸漸地成
形（雖然他誤認只有直線會自相似）。
特徵
碎形一般有以下特質：
 在任意小的尺度上都能有精細的結構
 太不規則，難以用傳統歐氏幾何來描述
 具有自相似形式
 一般地，其「碎形維數」會大於拓樸維
數
 在多數情況下有著簡單的遞迴定義
造法
 逃逸時間碎形：於空間中每一點遞迴關係式
所定義
 疊代函數系統：這些碎形都有著固定的幾何
替代規則
 隨機碎形：由隨機而無確定過程產生
 奇異吸引子：以一個映射的疊代或一套會顯
出混沌的初值微分方程所產生