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極座標方程式及其圖形
第11組
極座標方程式
在平面上，直角座標系統是最重要且有用的座標
系統。但是有些時候，極座標系統能使問題簡化與
方便處理。
一個極座標系統須有一點稱為極心(pole)及由此
極心射出的一條輻射線稱為極軸(polar axis)。為了方
便與直角座標系統作比較，我們把直角座標系統的
原點作為極心，把右半條橫軸作為極軸。
廣義極座標
令P為平面上一點，其直角座標
為(x,y)。令r = 為 之長度，θ為
由極軸至 角度，
則稱(r,θ)p 為P點之極座標。應注
意到
(r,θ)p = (r,2nπ+θ)p，
n Z 也可以寫成
(-r,π+θ)p = (-r,(2n+1)π+θ)p，n Z
因此
P = (x,y) = (r,2nπ+θ)p =
(-r,(2n+1)π+θ)p
P點只有一組直角座標，卻有無窮多組極座標。
他們的主要關係是
x = r‧cosθ，y = r‧sinθ， =
以下是一些簡單函數或方程式的圖形
1. r = a，圖形為以極心為心半徑為 | a | 之圓，相對應於x2 + y2
= a 2.
2.θ=α，圖形為以α為斜角之過極心之直線，相對應y= tanα‧x
3. r‧cosθ= d，相對應於x= d.
r‧sinθ= d，相對應於y= d.
4. r = a‧cos nθ，n為奇數時，圖形為n瓣花；n為偶數時，圖形為
2n瓣花.
r = a‧sin nθ
5. r =θ，圖形為螺線.
6. r = a+ b‧cosθ，圖形為蚶線，| a | = | b | 時，稱為心臟線.
r = a+ b‧sinθ
圓錐面截線
幾乎所有的天體，例如：行星、彗星等，的運行軌
道都是橢圓、拋物線或雙曲線。這些曲線在光、音
的凝聚方面的設計，及導航定位問題等都有很重要
的應用。但早年希臘人已知這些曲線可經由(雙葉)圓
錐與平面交截而得。所以就稱這些曲線為圓錐面截
線(conic section)。
如果我們用極座標來導出圓錐面截線的方程式，更
可以一眼看出這些曲線的隱含意義。
令F為平面上任一點， 為平面上不經過F的任一直線及e >
0為一正數。則稱集合
{P R2： = e} …………………………………(1)
為一圓錐面截線，其中d(P, )為P點至 的距離。此時稱F為
焦點(focus)， 為準線(directrix)，而稱e為離心率(eccentricity)。
當e < 1時，截線稱為橢圓，e = 1時，截線稱為拋物線，而
e > 1時，截線稱為雙曲線。
準線 為d =–r cosθ。
令F = O為極心，l為與極軸之延長線 垂直且距離F為d之直
線。設P = (r,θ)p滿足(1)，則d(P, ) = d + r cosθ
令F = O為極心，l為與極軸
之延長 線垂直且距離F為d之
直線。設P = (r,θ)p
滿足(1)，則
d(P, ) = d + r cosθ
r
因此e = d  rcos
d
或得 r = 1  eecos
………………(2)

如果準線 為d = rcosθ在極心之右邊，則得
d
r = 1  eecos
 ………………(3)
如果準線 為d = rsinθ與極軸平行，則得
r = 1  eesind ………………(4)

我們稱(2)、(3)、(4)為圓錐面截線的極座標標準方程式。
組員名單＆資料來源
組長：黃聖詠 – 資料查詢
組員：蔡文政 – 資料查詢
顏上發 – 書面報告製作
王聲聞 – PTT製作
陳祈祐 – 口頭報告
資料來源：東吳大學數學系講義、維基百科