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第九組 微分近似值與牛頓法 組長：4A12C037 史珮蓁 組員：4A12C011 蔡奕柔 、 4A12C017 黃鈺雅 4A12C031 吳和錡 、 49828030 林子鈺 微分近似值 所謂的微分就是把一塊任何面積形 狀的平面，可以用微積分正確的算出 他的面積大小，而不必侷限在固定的 幾何形狀上，可以利用線性或非線性 方程式找出複雜曲面的面積大小。 微分近似值： 可以利用導數的定義，可以做一些複雜函數的 近似計算 微分近似值： 可以利用導數的定義，可以做一些複雜函數的 近似計算 微分近似值： 可以利用導數的定義，可以做一些複雜函數的 近似計算 觀察圖中 和 若令 ， 則dy與△y之間的誤差會因 △x 愈小時愈趨近於0，即 dy之值將愈近似於△y。 微分近似值： 可以利用導數的定義，可以做一些複雜函數的 近似計算 此時 或 則 上式稱為 微分近似值。 的 微分近似值： 可以利用導數的定義，可以做一些複雜函數的 近似計算 其中 為 從 際增量， 而 為 從 似增量。 到 的實 到 的近 例題1. 若 y=x3，求當x=2 ，△x=0.1 時 △y之值為何？ 若令△x=dx 則 dy之值為何？ 又若 △x=0.01或△x=0.001 時又如何？ 例題1. 若 y=x3，求當x=2 ，△x=0.1 時 △y之值為何？ 若令△x=dx 則 dy之值為何？ 又若 △x=0.01或△x=0.001 時又如何？ 解: ， 又 ，故在 ，故 條件下， 例題1. 若 y=x3，求當x=2 ，△x=0.1 時 △y之值為何？ 若令△x=dx 則 dy之值為何？ 又若 △x=0.01或△x=0.001 時又如何？ 所以 x y dy y dy 0.1 1.261 1.2 0.061 0.01 0.12601 0.12 0.000601 0.001 0.012006 0.012 0.000006 由上表可得知，當 愈小時，dy之值就愈接近 。 例題2. 一圓球原設計半徑 r=12公分，容許誤差 △r=±0.06 公分，求體積之近似絕對誤差及百分比誤差。 例題2. 一圓球原設計半徑 r=12公分，容許誤差 △r=±0.06 公分，求體積之近似絕對誤差及百分比誤差。 解: 設體積 故絕對誤差 ，則 (近似絕對誤差) 立方公分 例題2. 一圓球原設計半徑 r=12公分，容許誤差 △r=±0.06 公分，求體積之近似絕對誤差及百分比誤差。 百分比誤差 (近似百分比誤差) 例題3. 若 xy2+x2+3y=4，求 及 。 例題3. 若 xy2+x2+3y=4，求 及 。 解: 且 。 牛頓法（Newton's method） 牛頓法（Newton's method） 牛頓法（Newton's method） 又稱為牛頓-拉弗森方法（NewtonRaphson method），它是一種在實數域 和複數域上近似求解方程的方法。方 法使用函數 f(x) 的泰勒級數的前面 幾項來尋找方程 的根。 由此能推得牛頓法公式: 例題1. 求方程式 x3+2x+1=0 的實根至小數點第三位？ 例題1. 求方程式 x3+2x+1=0 的實根至小數點第三位？ 解： 令 則 ， ， 選取 。 例題1. 求方程式 x3+2x+1=0 的實根至小數點第三位？ 解： 可得 n xn f ( xn ) 4 0.0 1.0 0.5 1.125 0.09091 0.8174 0.3128 0.3438 0.4627 0.02447 5 0.4534 0 1 2 3 f ( xn ) 2.0 2.75 2.0248 2.2935 2.6423 xn 1 0.5 0.09091 0.3128 0.4627 0.4534 1.085 104 由上表知近似解為 。 例題2. 求 的近似值至小數點第三位？ 例題2. 求 的近似值至小數點第三位？ 解：令 則 或 ， 利用牛頓法求方程式的近似根。 設 ，則 。 例題2. 求 的近似值至小數點第三位？ 解： 選取 n xn 2 1.0 1.2000 1.1529 3 1.1487 0 1 由上表知 f ( xn ) 1.0 0.4883 0.03685 1.4320 105 。 f ( xn ) 5.0 10.368 8.8336 xn 1 1.2000 1.1529 1.1487 參考資料: http://www.mcu.edu.tw/department/management/stat/ch_web/etea/ Calculus-3-net/04.pdf http://csm00.csu.edu.tw/0166/2005calculus/27.htm http://dufu.math.ncu.edu.tw/calculus/calculus_bus/node82.html http://mcheng007.pixnet.net/blog/post/29355053 http://www.cc.ntut.edu.tw/~jcjeng/Ch6_Root_open.pdf http://webcal.freetzi.com/newton.htm http://www.mcu.edu.tw/department/management/stat/ch_web/etea/ Calculus-3-net/08.pdf http://dufu.math.ncu.edu.tw/calculus/calculus_eng/node86.htm