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三角、指數、對數函數 導函數範例 電資一甲 組長：張適偉 組員：林子文 劉定有 邱賜軒 黃世育 三角函數的導函數 一. 二個極限公式 下述為推導三角函數的導函數所需的公式 (i)當 x 趨近於 0 時，同時會趨近於 0 的𝐬𝐢𝐧 𝐱與𝐱 愈近似，亦即， 𝐥𝐢𝐦𝐱→𝟎 𝐬𝐢𝐧 𝐗 𝐗 =𝟏 證明，暫略，以後再證；但可用計算器驗證，如課本亦可由圖 示知， 當 x→ 𝟎 時，X≈ 𝐬𝐢𝐧 𝐗 因而相比的極限趨近於 1，亦 即 𝐥𝐢𝐦𝐗→𝟎 如所求 𝐬𝐢𝐧 𝐗 𝐗 =𝟏 (ii) 當 X 趨近於 0 時，趨近於 0 的𝟏 − 𝐜𝐨𝐬 𝒙會遠小於亦趨近 0 的 x，亦即 𝐥𝐢𝐦𝑿→𝟎 𝟏−𝐜𝐨𝐬 𝑿 =𝟎 𝑿 <證> 首先，分子分母同乘以(𝟏 + 𝐜𝐨𝐬 𝑿)，並根據平方差以及 三角恆等式化簡，得 𝟏− 𝐜𝐨𝐬 𝑿 (𝟏−𝐜𝐨𝐬 𝑿)(𝟏+𝐜𝐨𝐬 𝑿) = 𝑿 𝑿 (𝟏+𝐜𝐨𝐬 𝑿) 𝟏−(𝐜𝐨𝐬 𝑿)𝟐 =𝑿 (𝟏+𝐜𝐨𝐬 𝑿) (𝐬𝐢𝐧 𝑿)𝟐 =𝑿(𝟏+𝐜𝐨𝐬 𝑿) = 𝐬𝐢𝐧 𝑿 𝑿 ∙ 𝐬𝐢𝐧 𝑿 𝟏+𝐜𝐨𝐬 𝑿 接著，因為𝐬𝐢𝐧 𝑿與𝐜𝐨𝐬 𝑿均是連續函數，並根據求極限的法則 以及(i)中的公式，由上式得 𝐥𝐢𝐦𝑿→𝟎 𝟏−𝐜𝐨𝐬 𝑿 𝑿 = 𝐥𝐢𝐦𝑿→𝟎 𝐬𝐢𝐧 𝑿 𝑿 𝐬𝐢𝐧 𝟎 = 1∙ 𝟏+𝐬𝐢𝐧 𝟎 =1∙ 𝟎 𝟏+𝟏 𝐬𝐢𝐧 𝑿 ∙ 𝐥𝐢𝐦𝑿→𝟎 𝟏+𝐜𝐨𝐬 𝑿 = 1∙ 𝟎=0 𝐝 (1) 𝐝𝐱 𝐬𝐢𝐧 𝑿 = 𝐜𝐨𝐬 𝑿 <證> 首先，根據導函數的定義 𝐝 𝐬𝐢𝐧 𝑿 = 𝐥𝐢𝐦∆𝑿→𝟎 𝐝𝐱 𝐬𝐢𝐧 𝑿+∆𝑿 −𝐬𝐢𝐧 𝑿 ∆𝑿 接著，根據三角函數的和角公式 𝐬𝐢𝐧 𝑿 ± 𝒀 = 𝐬𝐢𝐧 𝑿 𝐜𝐨𝐬 𝒀 ± 𝐜𝐨𝐬 𝑿 𝐬𝐢𝐧 𝒀 以及化簡整理，由上式得右邊分式 = 𝐬𝐢𝐧 𝑿 𝐜𝐨𝐬 ∆𝑿+𝐜𝐨𝐬 𝑿 𝐬𝐢𝐧 ∆𝑿−𝐬𝐢𝐧 𝑿 ∆𝑿 = 𝐜𝐨𝐬 𝑿 ∙ 𝐬𝐢𝐧 ∆𝑿 ∆𝑿 − 𝐬𝐢𝐧 𝑿 ∙ 𝟏−𝐜𝐨𝐬 ∆𝑿 ∆𝑿 最後，另∆𝐗 → 𝟎，取極限，並根據求極限的法則，以及 公式(i)與公式(ii)，由上式得 𝐝 𝐝𝐱 𝐬𝐢𝐧 𝑿 =𝐜𝐨𝐬 𝑿 ∙ 𝐥𝐢𝐦∆𝑿→𝟎 𝐬𝐢𝐧 ∆𝑿 ∆𝑿 =𝐜𝐨𝐬 𝒙 ∙ 𝟏 − 𝐬𝐢𝐧 𝒙 ∙ 𝟎 =𝐜𝐨𝐬 𝒙 得證 − 𝐬𝐢𝐧 𝑿 ∙ 𝐥𝐢𝐦∆𝑿→𝟎 𝟏−𝐜𝐨𝐬 ∆𝑿 ∆𝑿 (1) 𝐝 𝐝𝐱 𝐜𝐨𝐬 𝑿 =−𝐬𝐢𝐧 𝑿 <證> 首先，根據導函數的定義， 𝐝 𝐜𝐨𝐬 𝑿 =𝐥𝐢𝐦∆𝑿→𝟎 𝐝𝐱 𝐜𝐨𝐬 𝑿+∆𝑿 −𝐜𝐨𝐬 𝑿 ∆𝑿 接著，根據三角函數的和角公式 𝐜𝐨𝐬 𝑿 ± 𝒀 =𝐜𝐨𝐬 𝑿 𝐜𝐨𝐬 𝒀 ∓ 𝐬𝐢𝐧 𝑿 𝐬𝐢𝐧 𝑿 以及化簡整理，由上式得 右邊分式 = 𝐜𝐨𝐬 𝑿 𝐜𝐨𝐬 ∆𝑿−𝐬𝐢𝐧 𝑿 𝐬𝐢𝐧 ∆𝑿−𝐜𝐨𝐬 𝑿 =−𝐬𝐢𝐧 𝑿 ∙ ∆𝑿 𝐬𝐢𝐧 ∆𝑿 ∆𝑿 − 𝐜𝐨𝐬 𝑿 ∙ 𝟏−𝐜𝐨𝐬 ∆𝑿 ∆𝑿 最後，令∆X→0，取極限，並根據求極限的法則，以及公式(i) 與公式(ii)，由上式得 𝐝 𝐝𝐱 𝐜𝐨𝐬 𝑿 = −𝐬𝐢𝐧 𝑿 ∙ 𝐥𝐢𝐦∆𝑿→𝟎 𝐜𝐨𝐬 𝑿 ∙ 𝐥𝐢𝐦∆𝑿→𝟎 𝐬𝐢𝐧 ∆𝑿 𝟏−𝐜𝐨𝐬 ∆𝑿 ∆𝑿 =−𝐬𝐢𝐧 𝑿 ∙ − 𝐜𝐨𝐬 𝑿 ∙ 𝟎 =− 𝐬𝐢𝐧 𝑿 得證 ∆𝑿 − (𝟑) 𝐝 𝐝𝐱 𝐭𝐚𝐧 𝑿 =(𝐬𝐞𝐜 𝑿)𝟐 <證> 根據𝐭𝐚𝐧 𝑿的定義，微分的除法規則，以及上述求得的𝐬𝐢𝐧 𝑿與 𝐜𝐨𝐬 𝑿的導函數，並以三角恆等式化簡，且由𝐬𝐞𝐜 𝑿的定義，得 𝐝 𝐝𝐱 𝐝 𝐭𝐚𝐧 𝑿 = 𝐝𝐱 = = = = 得證 𝒅 𝒅𝒙 𝐬𝐢𝐧 𝑿 𝐜𝐨𝐬 𝑿 𝐬𝐢𝐧 𝑿 𝐜𝐨𝐬 𝑿 − 𝐬𝐢𝐧 𝑿 𝒅 𝒅𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝑿 𝐜𝐨𝐬 𝑿 𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝑿 𝐜𝐨𝐬 𝑿 − 𝐬𝐢𝐧 𝑿 − 𝐬𝐢𝐧 𝑿 𝐜𝐨𝐬 𝑿𝟐 (𝐜𝐨𝐬 𝑿)𝟐 +(𝐬𝐢𝐧 𝑿)𝟐 (𝐜𝐨𝐬 𝑿)𝟐 𝟏 𝐜𝐨𝐬 𝑿 𝟐 =(𝐬𝐞𝐜 𝐗)𝟐 指數導函數 一. 指數函數的導函數 設 u 為 x 的可微函數，則 (1) 對於自然指數函數， 𝐝 𝐝𝐱 𝐞𝐱 = 𝐞𝐱 亦即， 自然指數的導函數就是函數本身。 (2) 對於自然指數函數與可微函數的合成函數， 𝐝 𝐮 𝐝𝐮 𝐮 𝐞 =𝐞 ∗ = 𝐞𝐮 ∗ 𝐮′ 𝐝𝐱 𝐝𝐱 亦即， 自然指數合成函數的導函數為此合成函數乘以內部函 數的導函數。 例題： (a) 𝐟 𝐱 = 𝐞𝟐𝐱 (b) 𝐠 𝐱 = 𝐞 (c) h(x)=𝟔𝐞 −𝟑𝐱 𝟐 𝐱𝟑 (d) 𝐤 𝐱 = 𝐞−𝐱 <解> (a) 函數 f 為𝐞𝐱 與 2x 的合成函數，故根據連鎖法則以及指數函 數的導函數公式， 𝐝 𝐟 ′ 𝐱 = 𝐞𝟐𝐱 𝐝𝐱 𝟐𝐱 = 𝟐𝐞𝟐𝐱 <解> (b)因為 g 為𝐞𝐱 與−𝟑𝐱 𝟐 的合成函數，故 𝐠 ′ 𝐱 = 𝐞−𝟑𝐱 𝟐 𝐝 𝟐 −𝟑𝐱 𝟐 = −𝟔𝐱𝐞−𝟑𝐱 𝐝𝐱 <解> (c)同理，因為 h 含有𝐞𝐱 與𝐱 𝟑 的合成函數，得 ′ 𝐡 𝐱 = 𝟔𝐞 𝐱𝟑 𝐝 𝟑 (𝐱 ) 𝐝𝐱 𝟑 =𝟔𝐞𝐱 ∗ 𝟑𝐱 𝟐 = 𝟏𝟖𝐱 𝟐 𝐞𝐱 <解> (d)因為 k 為𝐞𝐱 與-x 的合成函數，得 𝐝 𝐤 ′ 𝐱 = 𝐞−𝐱 𝐝𝐱 (−𝐱) =𝐞−𝐱 ∗ −𝟏 = −𝐞−𝐱 𝟑 例題： (a) 𝐟 𝐱 = 𝐱 𝐞 (b) 𝐠 𝐱 = (c)h(x)= 𝐱 𝐞𝐱 −𝐞−𝐱 𝟐 𝐞𝐱 𝐱 <解>(a) 根據乘積法則及指數函數的導函數公式，得 𝐟(𝐱) = 𝐱 ′ 𝐞𝐱 + 𝐱 𝐞𝐱 ′ = 𝐞𝐱 + 𝐱𝐞𝐱 = 𝐞𝐱 (𝟏 + 𝐱) <解>(b)視除以 2 為乘以 0.5，則根據純量乘積法則，指數函數的導函 數公式，並逐項微分，得 𝟏 𝐠 ′ 𝐱 = 𝟐 [𝐞𝐱 − 𝐞−𝐱 (−𝟏)] 𝟏 = 𝟐 (𝐞𝐱 + 𝐞−𝐱 ) <解>(c) 根據分式法則以及指數函數的導函數公式，得 ′ 𝐡 𝐱 = (𝐞𝐱 )′𝐱−𝐞𝐱 (𝐱)′ 𝐱𝟐 𝐞𝐱 𝐱−𝐞𝐱 (𝟏) = = 𝐱𝟐 𝐱 𝐞 (𝐱−𝟏) 𝐱𝟐 例題 設需求函數 𝐩 = 𝟓𝟔𝐞−𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟏𝟐𝐱 試求可獲得最大收益的售價。 <解>根據題意，原問題乃相當於最大化收益 𝐑 = 𝐱𝐩 = 𝟓𝟔𝐞𝐱 −𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟏𝟐𝐱，𝐱 > 0 首先，經由微分並化簡，得 𝐝𝐑 𝐝𝐱 = [𝟓𝟔𝐱𝐞−𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟏𝟐𝐱 + −𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟏𝟐𝐱 ] =𝟓𝟔𝐞−𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟏𝟐𝐱(𝟏 − 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟏𝟐𝐱) 因為指數函數恆為正，故 𝐞−𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟏𝟐𝐱 > 𝟎 因而 𝐝𝐑 𝐝𝐱 =0 乃相當於 𝟏 − 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟏𝟐𝐗 = 𝟎 得第一臨界數 𝟏 𝐗 = 𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟏𝟐 ≈ 𝟖𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 無第二類臨界數，因為 𝐝𝐑 𝐝𝐱 恆定義 常態機率密度函數 常態機率密度函數定義為，對所有的−∞ < 𝒙 < ∞， 𝐟(𝐱) ≝ 𝛔 𝟏 − 𝐱−𝛍 𝐞 𝟐𝛑 𝟐 /(𝟐𝛔𝟐 ) 其中常數(參數)𝛍讀作 mu，為期望值乃表示此函數的 中心位置另一個參數𝛔讀作 sigma，為標準差 乃表示 此函數偏離中心位置的程度 常態機率密度函數的用途乃在於模型化鐘型的資料直 方圖。 當𝛍 = 𝟎且𝛔 = 𝟏時，得標準常態機率密度函數 𝐟 𝐱 = 𝟏 −𝐱 𝐞 𝐱 𝟐 𝟐 為何如此?根據指數函數的導函數公式，對 x 微分，得 𝐟′ 𝐱 = 因為𝐞−𝐱 𝟐 𝟐 𝟏 −𝐱 𝐞 𝟐𝛑 𝟐 𝟐 (−𝐱) > 𝟎，故𝐟 ′ = 𝟎乃相當於 −𝐱 = 𝟎 得第一類臨界數 𝐱=𝟎 無第二類臨界數，因為𝐟′恆定義 對數導函數 對數函數的導函數 因為𝐞 𝐱 與 lnx 互為反函數,故對於 x>0,𝐞𝐥𝐧𝐱 =x 將兩邊對x微分,得 𝐝 𝐝 [𝐞𝐥𝐧𝐱 ]=𝐝𝐱 [x]..........(1) 𝐝𝐱 接著,根據自然指數函數的導函數公式 𝐝 𝐝𝐱 [𝐞𝐮 ] =𝐞𝐮 * 𝐝𝐮 𝐝𝐱 由(1)式,得 𝐝 𝐞𝐥𝐧𝐱 *𝐝𝐱 [lnx]= 1 亦相當於 x* 𝐝 𝐝𝐱 [lnx] = 1 故,兩邊同除 x,得 𝐝 𝐝𝐱 𝟏 [lnx] = 𝐱 .......................(2) (1) 對於自然對數函數 𝐝 [lnx]= 𝐝𝐱 𝟏 𝐱 亦即 , 自然對數的導函數就是自變數的倒數, (2) 對於自然對數函數與可微函數的合成函數, 𝐝 𝟏 [lnu] = 𝐮 * 𝐝𝐱 𝐝𝐮 𝐝𝐱 𝟏 = 𝐮 * u' 亦即, 自然對數合成函數的導函數就是內部函數的倒 數乘以內部函數的導函數. 例 1. 試求下列各函數的導函數. (a) f(x) = ln(2x^2+ 4) <解> 因為 f 為自然對數函數的合成函數, 故根據上述結論(2)的公式,得 𝟏 f'(x)=𝟐𝐱 𝟐 +𝟒*(2𝐱 𝟐 +4) ' (a) h(x) = ln√(3x+ 1) <解> 首先,根據對數律將 h 改寫為 𝟏 𝟏 h(x)=ln(𝟑𝐱 + 𝟏)𝟐 = 𝐥𝐧 (𝟑𝐱 + 𝟏) 𝟐 如此可避免直接微分時,會用到較複雜的廣義冪次法則以及化簡過程 接著,根據純量乘積法則以及自然對數合成函數的導數 公式,得 𝟏 𝟏 𝟐 𝟑𝐱+𝟏 h '(x)= * = *(3x+1) ' 𝟑 𝟐(𝟑𝐱+𝟏) 註.根據例 1 (c)小題的經驗,在處理自然對數合成函數 的微分時,若可行,則有必要先根據對數律化簡,再微分, 切記. (b) f(x) =𝐥𝐨𝐠 𝟓 (𝐱 𝟐 + 6x) <解> 因為 f 是底數為 5 的對數合成函數,故根據一般對數函數的導函 數公式 𝟏 𝟏 f ' (x)=(𝐥𝐧𝟓)𝐱 𝟐 +𝟔𝐱(𝐱 𝟐 +6x) ' =( 𝟏 𝟐𝐱+𝟔 ) 𝐥𝐧𝟓 𝐱 𝟐 +𝟔𝐱 參考資料：中大數學系于振華