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工程數學 第12章 積分變換 本章內容 • • • • • • • • 12.1 積分變換 12.2 傅立葉積分定理 12.3 傅立葉正弦及餘弦定理 12.4 複數形式的傅立葉積分 12.5 傅立葉變換的反演公式 12.6 拉普拉斯變換的反演公式 12.7 導數的傅立葉變換 12.8 傅立葉變換在邊界值問題上的應用 工程數學 第12章 第606頁 12.1 積分變換 • 函數f(x)的積分變換 定義為 其中K(s, x)是給定 s 及 x 的函數，稱為這個變換的 核(kernel)；s 是這個變換的參數(parameter) ，而 f(x)是 的逆變換(inverse transform) 。 工程數學 第12章 第607頁 12.1 積分變換 • 以下列出的是一些常見的變換： (i)拉普拉斯變換。K(s, x) = e-sx (ii)複數形式傅立葉變換 (iii)傅立葉正弦變換 工程數學 第12章 第606頁 12.1 積分變換 (iv)傅立葉餘弦變換 (v)漢克變換。K(s, x) = x Jn(sx) 其中Jn(sx)是n階第一型貝式函數。 工程數學 第12章 第606頁 12.1 積分變換 (vi)梅林變換。K(s, x) = xs-1 • 我們已經討論過拉普拉斯變換及它在常微分方程 上的應用。在這一章中，我們要討論其他的變換 以及它們在偏微分方程上的應用。 • 把一個積分變換作用到偏微分方程上，會產生一 個新的獨立變數。依邊界條件及方程式本身性質 的不同，如果選取適當的變換，可以把 轉換 回f(x) 。 工程數學 第12章 第606頁 12.2 傅立葉積分定理 • 假設函數f(x)在任何區問(－c, c)上都滿足狄利克雷 條件，則 …(1) 其中 及 工程數學 第12章 第607頁 12.2 傅立葉積分定理 • 把a0, an 及bn的值代入式(1)，會得到 …(2) • 如果積分 工程數學 第12章 第607頁 會收斂，則 12.2 傅立葉積分定理 • 令 ，式(2)第二項變成 它的形式為 得到 工程數學 第12章 第607頁 ，而且在λ→0時會 。 12.2 傅立葉積分定理 • 所以當c→0時，式(2)會變成 ...(3) 這就是f(x)的傳立葉積分(Fourier integral ) 。 • 式(3)在函數連續的點會成立，而在不連續點上， 等式右邊的積分值為 工程數學 第12章 第607頁 12.3 傅立葉正弦及餘弦定理 • 因為cosλ(t－x) = cosλt cosλx + sinλt sinλx ∴f(x)的傅立葉積分可以表示為 …(4) 工程數學 第12章 第607頁 12.3 傅立葉正弦及餘弦定理 • 如果f(x)是奇函數，f(t)cosλt也會是奇函數而 f(t)sinλt是偶函數。所以式(4)的第一個積分值為零 而 …(5) 這個積分稱為傅立葉正弦積分(Fourier integral) 。 工程數學 第12章 第607頁 12.3 傅立葉正弦及餘弦定理 • 當f(x)是偶函數時，f(t)cosλt也是偶函數而f(t)sinλt 是奇函數。式(4)的第二個積分成零而 …(6) 這個積分稱為傅立葉餘弦積分(Fourier cosine integral) 。 工程數學 第12章 第607-608頁 12.4 複數形式的傅立葉積分 • 因為λ(t－x)是λ的偶函數，由式(3)可以得到 …(7) [∴當f(x)式偶函數時， ] λ(t－x)是λ的偶函數，所以 …(8) [∴當f(x)式奇函數時， 工程數學 第12章 第608頁 ] 12.4 複數形式的傅立葉積分 • 把式(8)乘以i再加上式(7)，會得到 這就是複數形式的傅立葉積分 工程數學 第12章 第608頁 12.5 傅立葉變換的反演公式 (i)傅立葉正弦變換及其反演公式 傅立葉正弦積分為 把λ用s代入，會得到 工程數學 第12章 第609頁 12.5 傅立葉變換的反演公式 • 用 表示內部積分的值，則 …(1) 其中 式(2)式函數f(x)的傅立葉正弦變換，而決定f(x)的 式(1)就是傅立葉正弦變換的反演公式。 工程數學 第12章 第609頁 12.5 傅立葉變換的反演公式 (ii)傅立葉餘弦變換及其反演公式 傅立葉餘弦積分為 把λ用s代入，會得到 工程數學 第12章 第609頁 12.5 傅立葉變換的反演公式 • 用 表示內部積分的值，則 …(3) 其中 式(4)式函數f(x)的傅立葉餘弦變換，而決定f(x)的 式(3)就是傅立葉餘弦變換的反演公式。 工程數學 第12章 第609頁 12.5 傅立葉變換的反演公式 (iii)複數形式的傅立葉變換及其反演公式 複數形式的傅立葉積分為 把λ用s代入，會得到 工程數學 第12章 第609頁 12.5 傅立葉變換的反演公式 • 用 表示內部積分的值，則 …(5) 其中 式(6)式函數f(x)的複數形式傅立葉變換，而決定f(x) 的式(5)就是複數形式傅立葉變換的反演公式 工程數學 第12章 第609-610頁 12.6 拉普拉斯變換的反演公式 • 如果 是f(x)的拉普拉斯變換，則 …(1) 工程數學 第12章 第614頁 12.6 拉普拉斯變換的反演公式 • 兩邊同乘exs，然後對s從a－ib積到a + ib，結果為 [令s = a－iu] 其中 工程數學 第12章 第614頁 當 當 12.6 拉普拉斯變換的反演公式 • 取極限b→∞，會得到 若x>0 所以 這是拉普拉斯變換的反演公式。 工程數學 第12章 第614-615頁 (x > 0) …(2) 12.6 拉普拉斯變換的反演公式 • 式(2)中的這個積分的積分路徑AB式一條平行於虛 軸的直線，而且 的所以有奇異點都在這條線 的左邊。 工程數學 第12章 第615頁 12.6 拉普拉斯變換的反演公式 • 假設C是線段AB及半圓C(也就是BDA)形成的周 線。由式(2)可以知道 …(3) 工程數學 第12章 第615頁 12.6 拉普拉斯變換的反演公式 • 如果可以找到正數K及k使得C上的美一點都滿足 ，則 ∴在上述條件成立時，式(3)中的第二個積分在 b→∞時會趨近於零。 • 所以 = 函數exs 工程數學 第12章 第615頁 在f(s)的極點的殘數和 (由殘數定理) 12.7 導數的傅立葉變換 • 如果 工程數學 第12章 第616頁 是函數u(x, t)的傅立葉變換，則 12.7 導數的傅立葉變換 • 假設u及 變換為 工程數學 第12章 第616頁 在x→±∞都會變成零。 的傅立葉 12.7 導數的傅立葉變換 • 如果用 及 及餘弦變換，則 而 工程數學 第12章 第616頁 表示u(x, t)的傅立葉正弦 12.7 導數的傅立葉變換 • 工程數學 第12章 第616頁 的傅立葉正弦變換為 12.7 導數的傅立葉變換 • 同樣地， 工程數學 第12章 第616頁 12.8 傅立葉變換在邊界值問題上的 應用 • 這一節我們直接用實際的例子來說明。 工程數學 第12章 第616頁