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工程數學 第1章 方程式理論及曲線配適 本章內容 • • • • • • • • • 1.1 多項式 1.2 零多項式 1.3 多項式的相等 1.4 完全及不完全多項式 1.5 多項式的零解 1.6 輾轉相除法 1.7 多項式方程 1.8 方程式的根 1.9 綜合除法 工程數學 第1章 第1頁 本章內容（續） • • • • • • • • • 1.10 代數基本定理 1.11 重根 1.12 根的增加及消減 1.13 單項移除 1.14 互反方程 1.15 根的整數次方和及對稱方程 1.16 對稱方程的根 1.17 正負號的笛卡兒法則 1.18 卡丹法 工程數學 第1章 第1頁 本章內容（續） • • • • • • • • • 1.19 卡丹解的不可約情形 1.20 笛卡兒法 1.21 雙二次方程的法拉利解 1.22 曲線配適 1.23 圖形法 1.24 群平均法 1.25 包含三個常數的方程 1.26 最小平方原理 1.27 力矩法 工程數學 第1章 第1頁 1.1 多項式 • 假設 n 是正整數而 a0, a1, a2,……, an 都是數系 F 中 的數，我們稱 a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 +……+ an-1x + an 為 x 在 F 的多項式。多項式通常用 f (x) 或 g (x) 等符號來表示。 • 我們稱係數都是實數的多項式為實多項式(real polynomial)。 • 若 a0 ≠ 0，則 a0 (最高次數項的係數) 是多項式的 首項係數(leading coefficient)，而 a0xn 是它的首項 (leading term)。 工程數學 第1章 第2頁 1.1 多項式（續） • 多項式 f (x) 中 x 最高次項的次數稱為這個多項式 的次方(degree of the polynomial)。 • 常數 c = cx0 稱為零次(degree zero) 多項式。 • 多項式 f (x) = ax + b, a ≠ 0的次方是一次(degree one)，稱為線性多項式(linear polynomial)。 • 多項式 f (x) = ax2 + bx + c, a ≠ 0的次方是二次 (degree two)，稱為二次多項式(quadratic polynomial)。 工程數學 第1章 第2頁 1.1 多項式（續） • 多項式 f (x) = ax3 + bx2 + cx + d, a ≠ 0的次方是三次 (degree three)，稱為三次多項式(cubic polynomial)。 • 多項式 f (x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e, a ≠ 0的次方 是四次(degree four)，稱為雙二次多項式 (biquadratic polynomial)。 工程數學 第1章 第2頁 1.2 零多項式 • 所有係數皆為零的多項式稱為零多項式。 工程數學 第1章 第2頁 1.3 多項式的相等 • 如果多項式 f (x) = a0 + a1x + a2x2 +…… + anxn 及 g (x) = b0 + b1x + b2x2 +…… + bmxm 的所有同次數的x 項都有相同的係數，我們就說 這二個多項式相等。 • 若m ≧ n，則在a0 = b0, a1 = b1 ,……, an = bm, bn+1 = bn+2 =……= bm = 0時 f (x) = g (x)。 • 若m ≦ n ，則在a0 = b0, a1 = b1 ,……, am = bm, am+1 = am+2 =……= an = 0時 f (x) = g (x)。 工程數學 第1章 第2頁 1.4 完全及不完全多項式 • 如果一個n 次多項式包含次方從0 到n 的所有項， 我們就稱它為完全多項式。反之，就稱為不完全 多項式。 • 例如，把不完全多項式2x5 + 7x3 - 5表示為 2x5 + 0x4 + 7x3 + 0x2 + 0x – 5 那它就變成一個完全多項式。 工程數學 第1章 第2-3頁 1.5 多項式的零解 • 任何一個數α是多項式 f (x) 的零解，若且唯若 f (α) = 0。 工程數學 第1章 第3頁 1.6 輾轉相除法 • 對任意二個非零多項式 f(x)及 g(x) ，可以找到唯 一的多項式q(x) 及r(x) 滿足 f(x) = q(x)‧ g(x) + r(x) ， 其中r(x) = 0 或r(x) 的次方< q(x) 的次方。 • 多項式q(x) 稱為商式(quotient)，而r(x) 則稱為餘式 (remainder)。 • 如果f(x) 可以被g(x) 整除，它們的次方會滿足 q(x) 的次方 = f(x) 的次方 － g(x)的次方 工程數學 第1章 第3頁 1.6 輾轉相除法（續） • 特殊情形：若g(x) = ax + b為線性多項式，則餘式 r(x) 為r(x) = 0 或r(x)的次方< g(x) 的次方= 1。也就 是說， r(x)的次方= 或r(x) 為常數。 工程數學 第1章 第3頁 1.7 多項式方程 • 如果 f(x)是多項式，我們就稱 f(x) = 0 為多項式方 程。 工程數學 第1章 第3頁 1.8 方程式的根 • 任何數α是方程式 f (x) = 0 的根，若且唯若 f (α) = 0 。 • 所以， α是方程式 f (x) = 0 的根=> f (α) = 0 。 • 反之， f (α) = 0 是方程式 f (x) = 0的根。 工程數學 第1章 第3頁 餘式定理 • 如果 f (x)是多項式，則f (x)除以x－h 的餘式為 f (h) 。 • Proof： 假設Ｑ(x) 是f (x)除以x－h的商式而R 是餘式。 則 f (x) = (x－h)Ｑ(x) + R 取x = h，會得到 f (h) = R，也就是說R = f (h) 工程數學 第1章 第3-4頁 因式定理 • 如果 h 是方程式f (x) = 0 的根，則(x－h)會是f (x) 的因式。反之也是對的。 工程數學 第1章 第4頁 因式定理--Proof • 假設Ｑ(x)是f (x)除以x－h 的商式而 R 是餘式。則 f (x) = (x－h)Ｑ(x) + R 代入x = h，會得到f (h) = R 但是f (h) = 0 ∵h 是f (x) = 0 的根 ∴ R = 0 ∴ f (x) = (x－h)Ｑ這表示x－h 是f (x)的因式 工程數學 第1章 第4頁 因式定理--Proof （續） • 反之，如果x－h是f (x)的因式，則h 必須是方程式 f (x) = 0 的根。 把f (x)用x－h除，如果到的商為Ｑ(x) ，則 f (x) = (x－h)Ｑ(x) 。 取x = h，會得到f (h) = 0，由此證明h 是方程式 f (x) = 0 的根。 工程數學 第1章 第4頁 1.9 綜合除法 • 假設多項式 f (x) = a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 +……+ an可 以被x－h 整除。 • 如果Ｑ(x) = b0xn-1 + b1xn-2 + b2xn-3 +……+ bn-1是商 式而餘式為R，則 f (x) ≡ (x－h)Ｑ(x) + R a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 +……+ an-1x + an ≡ (x－h)(b0xn-1 + b1xn-2 + b2xn-3 +……+ bn-1) + R ≡ b0xn + (b1－b0h) xn-1 + (b2－b1h) xn-2 +……+ (bn-1－bn-2h) x + (R－bn-1h) 工程數學 第1章 第5頁 1.9 綜合除法（續） • 等號兩邊同次方的項必須要有相同的係數 b0 = a0 b1－b0h = a1 或 b1 = b0h＋a1 b2－b1h = a2 或 b2 = b1h＋a2 ………………… ………………… bn-1－bn-2h = an-1 或 bn-1 = bn-2h＋an-1 R－ bn-1h = an 或 R = bn-1h＋an 工程數學 第1章 第5頁 1.9 綜合除法（續） • 求係數b0, b1, b2,……, bn-1及餘式R 的過程可以用以 下簡單的形式來表示： • 說明：最左邊角落中的h 稱為乘子或算子。如果 我們令x－h 為零，這個算子就等於x。 工程數學 第1章 第5頁 1.9 綜合除法（續） • 在第一列中列出的是完全多項式的係數。 • 第三列的第一項為b0 = a0，也就是第一列的第一 項。 • 第二列的第一項是把h 乘上b0 得到的。 • 把b0h 加到a1，會得到 b1(∵ b1 = b0h + a1 )，也就是 第三列的第二項。 工程數學 第1章 第5頁 1.9 綜合除法（續） • 接著把h 乘上b1，得到第二列a2 下方的項為b1h。 • 把b1h 加到a2，會得到b2 (∵ b2 = b1h + a2) • 如此下去，就可以求出商的所有係數，而最後一 項會等於餘式R。 • 註：對f (x)沒有寫出來的項，我們在第一列中都要 把它的係數設為0。 工程數學 第1章 第5頁 1.10 代數基本定理 • 定理 – 每一個次方至少為1 的多項式方程f x = 0 一定有根(實 數或複數)。 (a) n多項式方程恰好有n 個根。 (b) 對於係數為實數的多項式方程，它們的非實數根一定 是共軛成對出現的。也就是說，非實數根的共軛數也 是這個方程式的根。 工程數學 第1章 第7頁 1.10 代數基本定理（續） • 引理 – 每一個次方為奇數的實係數多項式方程至少有一個實 根。這是因為複數根一定是成對出現的。 (c) 有理係數多項式方程的無理根一定是共軛成對出現n (d) 方程式的係數與根之間的關係。 工程數學 第1章 第7頁 1.10 代數基本定理（續） • 假設n 次多項式方程為f(x) = a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 + ……+ an = 0 工程數學 第1章 第7頁 1.10 代數基本定理（續） • 若α1, α2, α3,……, αn,是這個方程式的n 個根，它們 會滿足 a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 +……+ an = a0 (x－α1) (x－α2) (x－α3)…… (x－αn) = a0 [xn－Σα1．xn-1 + Σα1α2．xn-2 －Σα1α2α3 ．xn-3 +…… + (－1) nα1α2α3……αn ] …(i) 其中 Σα1 = 所有根的和 Σα1α2 = 任意二個根的乘積的總和 Σα1α2α3 = 任意三個根的乘積的總和 工程數學 第1章 第7-8頁 1.10 代數基本定理（續） • 比較式(i) 兩邊各個次方的係數，會得到 註：Σα1α2……αr有時也表示為σr。 工程數學 第1章 第8頁 1.11 重根 (a) 把方程式的根都乘上m 倍後作為根的方程式。 假設給定的方程式為 f(x) = a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 + ……+ an-1x + an = 0 …(i) 如果x 表示式(i) 的根而 y 是想要構造的方程式的 y。 根，則y = mx或 x 工程數學 第1章 第13頁 m 1.11 重根（續） n n 1 n2 y y y y • 在式(i) 中取 x 會變成 a0 m a1 m a 2 m m ...... an 0 兩邊同乘mn，會得到 a0yn + ma1yn-1+ m2a2yn-2+……+ mnan =0 把變數改為x，方程式為 a0xn + ma1xn-1+ m2a2xn-2 + ……+ mnan = 0 。 • 規則：如果要把根變成原來的m 倍，就必須把完 全多項式形成的方程式的係數依序乘上m, m2, m3…。 工程數學 第1章 第13頁 1.11 重根（續） (b) 如果要把方程式的根變成倒數，要把原來方程式 1 中的x 改為 。 x 工程數學 第1章 第13頁 1.12 根的增加及消減 • 把方程式的所有根都減去一個數h 的方法。 假設給定的方程式為 f(x) = a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 +……+ an-1x + an = 0 …(i) 如果用y 表示新方程式的根，而x 是原來方程式的根， 它們的關係為 y = x－h, 或 x=y+h 代入式(i) 會得到 f(y + h) = a0(y + h)n + a1(y + h)n-1 + a2(y + h)n-2 +…… + an = 0 工程數學 第1章 第15頁 1.12 根的增加及消減（續） • 把每一項都做二項式展開，然後對y 用降冪表示， 會得到 f(y + h) = A0yn + A1yn-1 + A2yn-2 +……+ An-1y + An = 0 其中A0, A1, A2, ......, An 是尚未決定的係數。 工程數學 第1章 第15頁 1.12 根的增加及消減（續） • 令y= y + h, f(x) = A0(x－ h)n + A1(x－ h)n-1 + A2(x－h)n-2 +……+ An-1(x－h) + An = 0 …(ii) 式(i) 及式(ii) 是一樣的，而式(ii) 可以寫成 f(x) = (x－h)[A0(x－h)n-1 + A1(x－h)n-2 +……+ An-1] + An = 0 所以An其實是f(x)除以x－h 的餘式。 工程數學 第1章 第15頁 1.12 根的增加及消減（續） • 而它的商式為 Q1(x) = A0(x－h)n-1 + A1(x－h)n-2 +……+ An-2(x－h) + An-1 = (x－ h)[A0(x－h)n-2 + A1(x－h)n-3 +……+ An-2] + An-1 因此An-1是Q1(x) 除以x－h 的餘式。由此下去可以知 道，An, An-1,……, A0 其實是f (x)用x－h 一直除得到 的餘式。 工程數學 第1章 第15頁 1.12 根的增加及消減（續） • 引理 – 如果要把所有根都加上一數h，只要把每個根都減去 －h。 工程數學 第1章 第15頁 1.13 單項移除 • 給定方程式 f(x) = a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 +……+ an-1x + an = 0 …(i) 如果把它的根都減去h，並且用y 表示新的根，則 y = x－h 或 x=y+h 所以，以y 為根的新方程式為 a0(y + h)n + a1(y + h)n-1 + a2(y + h)n-2 +……+ an = 0 工程數學 第1章 第17頁 1.13 單項移除（續） • 用二項式定理展開 n 1 n 1 n2 nn 1 n 2 2 a0 yn ny h 2! y h ... a1 y n 1 y h ... n2 a2 y ... ... 0 把y 的項依降冪重新整理，會得到 ay 0 n 工程數學 第1章 第17頁 na h a y 0 1 n 1 nn 1 n2 2 a0h n 1 a1h a2 y ...... 0 2! 1.13 單項移除（續） • 如果要移除某一項，它的係數必須等於零。所以 這個係數為零得到的方程式具有的根 h 就是把原 方程式的某一項移除所需平移的量。 工程數學 第1章 第17頁 1.13 單項移除（續） • 例如， (i) 如果我們想要移除第二項，根的平移量h 必須 滿足 na0 h a1 0 或 a0 根的總數 a1 h na0 n 根的個數 (ii) 如果我們想要移除第三項，所需的h 滿足 nn 1 a0 h 2 n 1a1h a2 0 2! 這會得到二個可能的h 值。 工程數學 第1章 第17頁 1.14 互反方程 1 f 0 ，我們就 x • 如果方程式 f(x) = 0 也滿足 稱它為互反方程(reciprocal equation)。也就是說， 若α是方程式 f(x) = 0 的根，則 1也會是 f(x) = 0 的根。 工程數學 第1章 第21頁 1.14 互反方程（續） • 假設這個互反方程為 f x a0 x n a1 x n 1 a2 x n 2 ...... an 1 x an 0 則 工程數學 第1章 第21頁 1 f a n x n a n 1 x n 1 a n 2 x n 2 ...... a1 x a 0 0 x 1.14 互反方程（續） 1 • 但是 f x f x ∴ 或 a0 an a1 a2 ...... an an 1 an 2 a0 a02 an2 ; a12 an21 ; a22 an2 2 ,...... a0 an , a1 an1 , a2 an2 ,...... 必須分別考慮二種情形。 工程數學 第1章 第21-22頁 1.14 互反方程（續） • 情形(i) a0 an ; a1 an 1 ; a2 an 2 ,...... 這時，我們說這是係數的正負號相同的互反方程。 從第一項及從最後一項開始同樣位置的係數會一 樣。 • 情形(ii) a0 an ; a1 an 1 ; a2 an 2 ,...... 這時互反方程的係數有不同的正負號。從第一項 及從最後一項開始同樣位置的係數只差一個負號。 工程數學 第1章 第22頁 1.14 互反方程（續） • 標準型：接下來，我們用例子一一討論四種會發 生的標準型。 – – – – 工程數學 第1章 第22-24頁 第I 型：奇數次方係數正負號相同的互反方程。 第II 型：偶數次方係數正負號相同的互反方程。 第III 型：奇數次方係數正負號相反的互反方程。 第IV 型：偶數次方係數正負號相反的互反方程。 1.15 根的整數次方和及對稱方程 • 用牛頓法求方程式根之整數次方的和。 給定n 次多項式方程 f x a0 x n a1 x n 1 a2 x n 2 ...... an 1 x an 0 …(i) 若這個方程式的根為 a1 , a2 , a3 ,......, an ，也就是說 f x a0 x a1 x a2 x a3 ...x an 工程數學 第1章 第26-27頁 …(ii) 1.15 根的整數次方和及對稱方程（續） • 把式(ii) 兩邊同時取對數，會得到 log f x log a0 log x a1 log x a2 ...... log x an log mnp...... log m log n log p... 再把兩邊同時對x 微分， f ' x 1 1 1 0 ...... f x x 1 x 2 x n ∴ 工程數學 第1章 第27頁 f x f x f x f ' x ... x 1 x 2 x 1 …(iii) 1.15 根的整數次方和及對稱方程（續） • 如果微分式(i) 會得到 f ' x na0 x n 1 n 1a1 x n 2 n 2a2 x n 3 ... an 1 • 把這個f’(x)的值代入式(iii) 會變成 na0 x n 1 n 1a1 x n 2 n 2a2 x n 3 ... an 1 f x f x f x ... x 1 x 2 x n 工程數學 第1章 第27頁 ...(iv) 1.15 根的整數次方和及對稱方程（續） f x • 接著用綜合除法求 的值， x 1 ∴ f x x 1 a0 x n 1 n2 2 n 3 a01 a1 x a01 a11 a2 x ... a01n 1 a11n 2 ... _ an 1 工程數學 第1章 第27頁 1.15 根的整數次方和及對稱方程（續） • 同樣的方法可以得到 工程數學 第1章 第27頁 1.15 根的整數次方和及對稱方程（續） • 把這些項加起來會變成 f x f x f x f x ... x 1 x 2 x 3 x n na0 x n 1 a0 s1 na1 x n 2 a0 s2 a1s1 na2 x n 3 ... a0 sn1 a1sn2 ...... nan1 …(v) 3 r 2 其中 sr 1 , s1 1 , s2 1 , s3 1 , 由此下去。 工程數學 第1章 第27-28頁 1.15 根的整數次方和及對稱方程（續） • 比較兩邊各項的係數 由式(I) 可以得到s1 的值，然後代入式(II) 可以求 出s2。如此下去，可以算出所有r < n的sr 值。 工程數學 第1章 第28頁 1.15 根的整數次方和及對稱方程（續） • r n 的情形可以用以下的方法處理。 把式(i) 乘上 xr－n，會得到 α0xr +α1xr-1 +α2xr-2 +……+αn-1xr-n+1 + αnxr-n =0 …(IV) 工程數學 第1章 第28頁 1.15 根的整數次方和及對稱方程（續） • 令 a0 sr a1sr 1 a2 sr 2 ...... an1sr n1 an sr n 0 全部加起來會得到 工程數學 第1章 第28頁 1.15 根的整數次方和及對稱方程（續） • 令r = n, n+1, n+2等，則 a0 sn a1sn1 a2 sn2 ...... an1s1 nan 0 s0 10 20 ... n0 n a0 sn1 a1sn a2 sn1 ...... an1s2 an s1 0 a0 sn 2 a1sn1 a2 sn ...... an1s3 an s2 0 如此下去。 由此可以算出Sn, Sn+1, Sn+2……的值。 工程數學 第1章 第28頁 1.16 對稱方程的根 • 定義 – 如果一個函數的變數是某一個方程式的根，而且每一 個根出現的形式都一樣，我們就稱這個函數為這些根 的對稱方程。交換任意兩個根，並不會改變這個函數。 例如，αβ+βγ+γα是三次方程式之根α,β,γ的對稱方 程。為了方便起見，我們常常用加總符號Σ來表示。 所以， Σ αβ=αβ+βγ+γα 規則是找出對稱方程式的項數。 工程數學 第1章 第31頁 1.16 對稱方程的根 • 令 n = 方程式根的個數， r = 對稱方程中出現的根的個數， k = 具有同樣足標(次方) 的根之個數， n! 則對稱方程的項數 n r !k! 工程數學 第1章 第31頁 1.16 對稱方程的根 • 例如， (1) 如果α, β, γ表示三次方程式的根，則 3! 2 Σα β,的項數為 6; 2 2 3 2!0! 3! 的項數是 3。 3 3!2! (2) 如果α, β, γ, δ表示三次方程式的根，則 4! 2 Σα βγ的項數為 12; 1 4 3!2! 4! 的項數是 12。 4 2!0! 工程數學 第1章 第31頁 1.17 正負號的笛卡兒法則 • 方程式f (x) = 0的正根個數不會多於 f (x) 中係數的 正負號改變的次數，而負根的個數則不會超過 f (－x)的正負號改變的次數。 • 虛根的存在性：假設一個 n 次方程式的正根不超 過 p 個，而負根不超過 q 個，則它的虛根至少有 n－( p + q )個。 工程數學 第1章 第33頁 1.18 卡丹法 • 用卡丹法解三次方程x3 + qx + r = 0 x3 + qx + r = 0 …(i) 假設x = u + v為式(i) 的根，取立方會得到 x3 = u3 + v3 + 3uv(u + v) = u3 + v3 + 3 uvx 或 x3－3uvx－(u3 + v3 ) = 0 …(ii) 比較式(i) 及式(ii) 可知或及－3uv = q 1 1 3 3 3 uv q或u v q 及 u3 + v3 = －r 3 27 ∴方程式的根為u3 及v3 工程數學 第1章 第34頁 1.18 卡丹法 1 3 t u v t u v 0或t rt q 0 …(iii) 3 27 2 3 3 3 3 • 解式(iii) 可得 t r 2 r 2 4q 27 2 3 3 4 q 4 q 2 2 r r r r 27 ; v 3 27 令 u3 2 2 若ω及ω2是1 的虛立方根，則u3 的立方根為u, uω, uω2而v3 的立方根是v, vω, vω2。 工程數學 第1章 第34-35頁 1.18 卡丹法 1 • 由於x = u + v而是 uv q 實數，為了算出x 的 3 3 3 值，我們必須取u 的一個立方根及v 的一個立方 根使得它們的乘積為實數。 ∴x 的三個值為 u v, u v 2 , u 2 v。 ∣∵ω3 = 1 工程數學 第1章 第35頁 1.19 卡丹解的不可約情形 • 若 ，u3 及v3 會是共軛複數。目前並沒 有固定的算術方法可以求複數的立方根，但是我 們可以用三角幾何上的棣美弗定理解決這個問題。 考慮方程式 …(1) 令 ，取立方會得到 …(2) 工程數學 第1章 第39頁 1.19 卡丹解的不可約情形 • 比較式(1) 及式(2) 可知 ∴u3 及v3 是方程式 的根 ∴ 因為 • 若 取 工程數學 第1章 第39頁 ，所以u3 及v3 是共軛複數。 ，則 及 使得 或 1.19 卡丹解的不可約情形 ∴ 其中k = 0, 1, 2 工程數學 第1章 第40頁 1.19 卡丹解的不可約情形 • 同樣地， 其中k = 0, 1, 2 ∴ 其中k = 0, 1, 2 工程數學 第1章 第40頁 1.19 卡丹解的不可約情形 • 也就是說 • 其中 工程數學 第1章 第40頁 而 。 1.20 笛卡兒法 • 用笛卡兒法解四次方程x4 + qx2 + rx + s = 0。 考慮方程式 …(i) 假設四次方程式(i) 可以因式分解成兩個二次項 及 。則 工程數學 第1章 第41頁 1.20 笛卡兒法 • 比較兩邊的係數， …(ii) …(iii) …(iv) 因為 ∴ 或 工程數學 第1章 第41頁 …(v) 1.20 笛卡兒法 • 這是以l2 為變數的三次方程式。把l2 代入整數嘗 試解式(v) ，m 及n 就可以由式(ii) 及式(iii) 得到。 所以這個四次方程式會變成兩個二次方程式： 這樣就可以找到四個x 的值。 • 註：p2 可以試著代入完全平方數p2 = 12, 22, 32, 42 等解。 工程數學 第1章 第41頁 1.21 雙二次方程的法拉利解 • 考慮雙二次方程 …(1) 這一節討論的方法，是把雙二次方程表示成平方 差的形式，然後由此得到兩個二次方程的因式分 解。 • 把式(1) 兩邊同乘a0，會得到 或 工程數學 第1章 第44頁 1.21 雙二次方程的法拉利解 • 兩邊都加上使得左邊變成完全平方項 或 …(2) 工程數學 第1章 第44頁 1.21 雙二次方程的法拉利解 • 接著引入一個新的變數，讓式(2) 兩邊都變成完全 平方 • 0 [由(2)] …(3) 工程數學 第1章 第44頁 1.21 雙二次方程的法拉利解 • 式(3) 右邊為完全平方的條件為判別式等於零 或 或 或 工程數學 第1章 第44-45頁 1.21 雙二次方程的法拉利解 • 除以 …(4) 這是以λ為變數的三次方程式，稱為預解式 (resolvent)。 工程數學 第1章 第45頁 1.21 雙二次方程的法拉利解 • 把由式(4) 找出的λ代入式(3)，兩邊都會是完全平 方，所以式(3) 就變成 或 ∴原方程式的根可以解下列二次方程式得到 註：在實際的問題中，通常會先把根都乘上a0， 使得方程式的x4 項變成1。 工程數學 第1章 第45頁 1.22 曲線配適 • 在工程或科學的許多領域，常常會想要把觀察得 到的數據用某種關係式來描述。為了達到這個目 的，首先要把數據用數對(xi, yi), i = 1, 2, ……, n表 示，並標示在座標平面上。接著畫出一條通過這 些點的光滑曲線，這樣的曲線稱為近似曲線 (approximating curve)。曲線的方程式就可以看成 是x 及y 之間的近似關係，稱為經驗方程(empirical equation)。這個尋找與數據相契合的曲線之過程 稱為曲線配適(curve fitting)。近似曲線的方程式中 出現的常數，可以用很多不同的方法求。 工程數學 第1章 第46頁 1.22 曲線配適 • 例如(i) 圖形法(the graphical method) (ii) 群平均法 (the method of group averages)(iii) 最小平方法(the least square method) (iv) 力矩法(the method of moments)。在介紹這些方法之前，我們先討論最 基本的線性關係以及其他可以簡化成線性關係的 情形。 工程數學 第1章 第46-47頁 1.22 曲線配適 • 線性關係：y = ax + b 可以化為線性關係的情形： 如此下去。 工程數學 第1章 第47頁 1.23 圖形法 • 當數據給出的曲線是直線y = ax + b時，我們用下 列的方式處理： (i) 取適當的度量，將數據描繪在製圖紙上。 (ii) 畫出一條通過所有描繪點的直線。 (iii) 取線上的兩點(x1, y1)及(x2, y2)，然後用這兩點 求斜率a，接著再算出y 軸的交點b。 工程數學 第1章 第47頁 1.24 群平均法 • 假設直線 y = ax + b 與n 個觀察的結果非常相近。 工程數學 第1章 第48頁 …(1) 1.24 群平均法 • 從圖形可以知道，當x = x1時的觀察值為 y = y1 = P1M1，而用式(1) 得到的預測值是 y = ax + bx1 = L1M1。 所以 d1 = L1 的觀察值－L1 的預測值 = y－(a + bx1) = P1M1－L1M1= P1L1 我們稱d1 為x1 的殘數(residual) 或誤差(error)。 工程數學 第1章 第49頁 1.24 群平均法 • 同樣的，剩下的觀察值的誤差為di = yi－(a + bxi) = PiLi ；i = 2, 3,……, n。從圖形可以知道，有些誤 差是正的，而有些是負的。在使用群平均法時， 我們假設所有誤差的總和為零，也就是說 。 工程數學 第1章 第49頁 1.24 群平均法 • 為了要求式(1) 中的常數a 及b，我們需要二個它 們之間的關係式。所以我們把這些數據分成二組： (i) 第一組包含k 個觀察值(x1, y1), (x2, y2),……, (xk, yk)而(ii) 第二組包含剩下的n－k個觀察值 (xk+1, yk+1), (xk+2, yk+2),……, (xn, yn) 。 工程數學 第1章 第49頁 1.24 群平均法 • 假設這二組觀察值的誤差總和都是零，也就是說 或 工程數學 第1章 第49頁 1.24 群平均法 • 化簡後會得到 …(2) …(3) 及 其中 是第一組數據的x 及y 之平均數，而 是第二組數據的x 及y 之平均數。 工程數學 第1章 第49頁 1.24 群平均法 • 也就是說，把這二組數據之x 及y 的平均數代入式 (1) 的x 及y，就會得到式(2) 及式(3)。解式(2) 及式 (3) 就可以求出a 及b 的值，或者是式(1)。 註：由於有許多把觀察值分成二組的不同方法， 所以a 及b 的值並不是唯一的。這是這個方法最大 的缺點。為了避免這個問題，在分組時都會盡量 讓二組數據的個數差不多。 工程數學 第1章 第49頁 1.25 包含三個常數的方程 • 有時候我們會把觀察到的數據用 及 等曲線來近似， 這時會需要三個未知的常數a, b 及c。在這些情形 下，如果能把常數的個數減為二個，就可以把關 係式約化為線性方程。接下來我們就要討論如何 處理上面提到的這幾種情形。 工程數學 第1章 第51頁 1.25 包含三個常數的方程 • (i) 曲線為 y = a + bx + cx2 令(x1, y1)為這些數據中在曲線上的一點。則 或 其中 或 …(1) ，而 式(1) 是X 及Y 的線性方程，所以可以很容易得到。 工程數學 第1章 第51頁 1.25 包含三個常數的方程 • (ii) 曲線為y = axb + c 這個關係式也可以表示為 或 其中， 而 注意到式(2) 是X 及Y 的線性方程。 工程數學 第1章 第52頁 …(1) …(2) 。 1.25 包含三個常數的方程 • 令 個點使得 及 表示曲線(1) 上的三 成等比級數，也就是說 。 ∴ ∴ 化簡後會得到 及 。 由此可以求出Y 的值以及想要的曲線。 工程數學 第1章 第52頁 1.25 包含三個常數的方程 • (iii) 曲線為y = aebx + c 這個關係式也可以表示為 …(1) 或寫成線性方程Y = A + Bx 其中 工程數學 第1章 第53頁 而 1.25 包含三個常數的方程 • 令 及 表示曲線(1) 上的三 個點使得x1, x2及x3成等比級數，也就是說 。 ∴ 及 ∴ 工程數學 第1章 第53頁 1.25 包含三個常數的方程 • 化簡後會得 。 由此可以求出Y 的值以及想要的曲線。 註：同樣的方法略為修改，也可以解 y = abx + c曲 線。 工程數學 第1章 第53-54頁 1.26 最小平方原理 • 到目前為止，我們已經討論過用(i) 圖形法(ii) 群 平均法對給定數據找近似的曲線。在第一個方法 中，曲線的常數和開始選取的特殊點有關。而在 第二種方法中，曲線中的常數決定於分組的方式。 由於這兩種方法都不能找到唯一的最佳曲線，我 們希望會有其他方法可以求出最好的結果。最小 平方原理可以得到唯一的答案，所以可能是找到 觀察值最佳估計曲線的正確方法。 工程數學 第1章 第55頁 1.26 最小平方原理 工程數學 第1章 第56頁 1.26 最小平方原理 • 令 表示n 個觀察值，而 …(1) 為x 與y 之間的關係。 當x = xi時，yi 的觀察值為 。 而預測值 。 ∴在x = xi的誤差為 這些誤差ei 可能是正的或負的。為了要讓它們的 重要性一樣，考慮 …(2) 工程數學 第1章 第56頁 1.26 最小平方原理 • E 愈小時，得到的近似曲線就愈能代表這些觀察 值。因此最佳的近似曲線是誤差的平方 • 總和最小的那條。當 E = 0 時 ，也就 是說，所有的觀察點都落在這條曲線上。用這個 方法可以求出下列的近似曲線： (i) 用直線 y = ax + b 近似。 (ii) 用拋物線y = ax2 + bx + c近似。 (iii)用指數曲線y = aebx近似。 (iv) 用冪函數y = axb近似。 工程數學 第1章 第56頁 1.26 最小平方原理 • (i) 用直線近似。假設 為n 個觀察值而 y = ax + b 為用來近似的直線。在 x = xi 時的誤差為 ∴ 工程數學 第1章 第56頁 …(1) 1.26 最小平方原理 • 根據最小平方原理，要把E 取到為小值 ∴ 或 ∴ 或 工程數學 第1章 第56頁 1.26 最小平方原理 • 而 或 ∴ 而 工程數學 第1章 第57頁 …(2) …(3) 1.26 最小平方原理 • xi 及yi 都是已知的，所以式(2) 及式(3) 是二條a 與 b 的方程式。解出會得到a 及b的最佳值，可以求 出式(1)。 註：(1) 如果省略足標，可以把式(2) 及式(3) 表示 為Σxy = aΣx2 + bΣx 而Σy=aΣx+nb。這稱為曲線y = a + b 的正規方程。 (2) 如果數據中的數字很大，可以用變數變換 改變原點及度量單位。這 樣在計算時會比較簡潔及方便。 工程數學 第1章 第57頁 1.26 最小平方原理 • (ii) 用拋物線近似。假設拋物線y = ax2 + bx + c…(1) 為估計觀察值 的最佳曲 線。在x = xi時的誤差為 工程數學 第1章 第58頁 1.26 最小平方原理 • 根據最小平方原理，要把E 取到為小值以得到最 好的a, b 及c 值 ∴ 也就是說 及 工程數學 第1章 第58頁 及 1.26 最小平方原理 • 如果省略足標，就變成 及 其中 。這些方程式稱為拋物線(1) 的正規方 程。解出來會得到最好的a, b 及c 值以及最佳近似 曲線(1)。 工程數學 第1章 第58頁 1.26 最小平方原理 • (iii) 用指數曲線近似。 y = aebx 兩邊同時取對數，會得到 即 Y = A + Bx 其中 而 式(1) 的正規方程為 解出來會得到A 及B 的值。 則 而 工程數學 第1章 第60頁 …(1) 。 及 。 1.26 最小平方原理 • (iv) 用冪函數近似。 y = axb 兩邊同時取對數，會得到 即 Y = A + Bx 其中 而 式(1) 的正規方程為 解出來會得到A 及b 的值，而 工程數學 第1章 第60頁 …(1) 。 及 。 1.27 力矩法 • 假設 同之資料。也就是說 為n 個x 的間距相 (令) 觀察值y 的力矩定義如下： 第一力矩 第二力矩 第三力矩 依此類推。 工程數學 第1章 第63頁 1.27 力矩法 • 同樣的可以定義任何階的定矩。如果y = f (x) 是這 些數據的一條近似曲線，則y 的預測值的力矩為： 第一力矩 第二力矩 第三力矩 工程數學 第1章 第63頁 依此類推。 1.27 力矩法 • 在使用力矩法時，我們假設觀察值的力矩以及預 測值的力矩是一樣的。也就是說， …(1) 工程數學 第1章 第63-64頁 1.27 力矩法 • 工程數學 第1章 第64頁 可以用表中的x 及y 值得到，而的計算方法如下： 1.27 力矩法 • 如圖所示，點 的縱座標取為區間 中點的y 座標。同樣地，點 的縱座標取為區間 中點的y 座標。 工程數學 第1章 第64頁 1.27 力矩法 • 假設OX 上的點A 及B 滿足 。 所以會得到 以及其他力矩的值。 工程數學 第1章 第64頁 及 1.27 力矩法 • 接著用式(1) (稱為觀察值方程式) 可以解出f (x) 中 變數的值。 註：曲線為y = ax + b的情形只有兩個未知數。這 時的觀察值方程式為μ1=γ1及μ2=γ2。而對於拋物線 y = a + bx + cx2 ，因為有三個未知數，所以觀察值 方程式為μ1=γ1, μ2=γ2及μ3=γ3。一般來說，未知數 個數= 觀察值方程式個數。 工程數學 第1章 第64頁