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觀光暨餐旅財務管理
老師 ：
製作
1-1
Chapter 4
貨幣的時間價值
The Time Value of Money
1-2
本章內容
內容：
1.了解單利與複利計算差異。
2. 學習貨幣現值與終值的計算。
3. 分析利率、期數與計息周期對現值與
值的影響。
4. 探討年金現值與年金終值的意義。
5. 分析期初與期末的差異。
終
1-3
終值(Future Value，簡寫為FV)
一般而言，計息方式有兩種：
(1)單利
只以單計利息，而不將前期產生的利息再滾入
下期的利息計算。
(2)複利
會將前期的利息當成「本金」，再滾出利息。
1-4
計算單利的終值
將100元存入銀行，年利率以10%計算，1年後
的本利和(終值)為110元，若存3年，以單利計算
現存100元之三年後的本利和(FV3)等於130元，
計算如下：
三年後的本利和(終值，可以FV3來表示)
=(本金)+(三年的利息)
= 本金+第1年利息+第2年利息+第3年利息
=100元+100元×10%+100元×10%+100元×10%
=100元+10元+10元+10元
=130(元)
1-5
單利各期現金
以圖各期現金情況來表示：
100
10
10
10
0
1
2
3
1-6
計算複利的終值
將100元存入銀行，年利率以10%計算，1年後的本
利和(終值)為110元，若存3年，以複利計算現存100
元之三年後的本利和(FV3)等於133.1元，計算如下：
三年後的本利和(終值，可以FV3來表示)
=(本金)+(三年的利息)
= 本金+第1年利息+第2年利息+第3年利息
=100+100(10%)1+100(10%)2+100(10%)3
=100+10+11+12.1
=133.1(元)
亦可以寫成： FV3  100  (1  10%) 3  133.1 (元)。
1-7
複利加計各期現金
以圖加計各期利息滾入之現金來表示：
100
10
11
12.1
0
1
2
3
由上述計算可以發現：單利與複利的差異在於「
利上加利」。
1-8
終值(Future Value，簡寫為FV)
由上述單利與複利的計算中了解，以複利計算
出來的本利和高於單利。不管用哪種方式，貨幣
在不同時點有其不同的價值，將上述複利的例子
以符號表示，可寫成：
FV  PV  (1  i)n (4-1)
其中，FV表「終值(Future Value)」、PV表「
現值(Present Value)」、i表「利率」、n表「期數
」。
1-9
利率水準對終值的影響
以 一 個 例 子 來 說 明 公 式 (4-1) ， 若 投 資 人 將
1,000,000元(PV)以定期存款的方式存入銀行，假
定1年期利率(i)分別為1%、2%與5%，經計算後
，一年後的終值(FV)分別為，計算如下：
FV1  1,000,000  (1  1%)1  1,010,000 (元)
FV1  1,000,000  (1  2%)1  1,020,000 (元)
1
(元)
FV  1,000,000  (1  5%)  1,050,000
1
由此可知：在相同的本金、期數之下，利率愈
高，終值愈大。
1-10
期數對終值的影響
若投資人將1,000,000元(PV)以定期存款的方式
存入銀行，倘若利率(i)皆為2%，一年後、五年後
、十年後的終值(FV)分為，計算如下：
(元)
FV1  1,000,000  (1  2%)1  1,020,000
(元)
FV5  1,000,000  (1  2%) 5  1,104,100
10
(元)
FV10  1,000,000  (1  2%)  1,219,000
由上述可以知道：在相同的本金、利率之下，
期數愈長，終值愈大。
1-11
終值利率因子
綜上所述，依不同的利率與期數，將 整理成表
後，即為「終值利率因子」FVIF(i, n)，以利於後
續計算使用，因此，公式(4-1)改寫成：
FVn  PV  FVIF (i, n)
(4-2)
1-12
不同週期效果的計算
若明月投資公司將10,000,000萬元存入華南銀行一年期
的定期存款，年利率 為8%、5年後，則5年後的終值為，
計算如下：
10,000,000  (1  8%) 5  14,693,281 (元)
若華南銀行年利率為8%，半年計息一次，明月投資公
司存5年，計息的期數為10期，則5年後的終值為，計算
如下：
8% 10
10,000,000  (1 
)  14,802,442 (元)
2
若華南銀行年利率為8%，每季計息一次，明月投資公
司存5年，計息的期數為20期，則5年後的終值為，計算
如下：
8% 20
10,000,000  (1 
)  14,859,474 (元)
4
1-13
不同計息週期之終值整理表
單位：新台幣
計息週期
年計息
半年計息
每季計息
本利和
14,693,281
14,802,442
14,859,474
這表示：計息週期愈短(即計息期數愈多)，複利
效果愈明顯，所形成的終值愈大。
1-14
終值(Future Value，簡寫為FV)-練習題
沃華公司透過多角化方式投資於日月潭風景區
，其所投資的項目包括住宿、運輸與商品銷售，
在過去的5年中，每年平均可以得到18%的報酬率
，沃華公司力邀明漾投資集團出資3億元，繼續
擴大沃華公司當前的投資規模。
1. 倘若以18%來計算，明漾投資集團投資5年，5
年後的本利和為多少？
2. 沃華公司為了加深明漾投資集團的興趣，前 3
年改以半年計息一次的方式付給明漾投資集團
，則明漾投資集團投資5年的本利和為多少？
1-15
現值( Present Value，簡寫為PV)
如果知道FV、利率(i)與期數(n)，即可計算現
值(PV)。
亦可將公式(4-1)移項改寫成：
(4-3)
1
PV  FV 
(1  i ) n
若一年後為1,020,000元，利率為2%，則現值
(PV)為：
1
1,000,000元(  1,020,000 
)。
1
(1  2%)
由此可知，在本金不變下，利率與期數是影響
現值(PV)的重要因子。
1-16
其數不同對現值的影響-1
若現在花蓮「天天藍民宿」其投資計劃，在投
資3年後可產生價值6,000萬元的資產總值，利率
5%的情況下，計算方式如下：
「天天藍民宿」投資計劃的現值：
PV  60,000,000  PVIF (5%,3)
 60,000,000  0.8638
 51,828,000
1-17
P
V
0
「天天藍民宿」的現值圖
PV
0
3
51,828,000
60,00,000
1-18
其數不同對現值的影響-2
另一家「藍天天民宿」其投資計劃，在投資6
年後能產生價值6,000萬元的資產總值，利率5%
的情況下，計算方式如下：
「藍天天民宿」投資計劃的現值：
PV  60,000,000  PVIF (5%,6)
 60,000,000  0.7462
 44,772,000
1-19
「藍天天民宿」的現值圖
PV
0
1
44,772,
000
2
3
4
5
6
60,000,000
由上述可以知道：在相同的本金、利率之下，期
數愈長，現值愈小。
1-20
利率不同對現值的例題
以美國棒球職業選手為例，費城人隊擬簽進一名小聯盟的
投手，簽約金為20萬元，一年後費城人隊再支付60萬予該名投
手。在利率5%、10%的情況下，這名投手的投資現值計算如
下：
當利率5%時，現值為：
PV  200,000  600,000  PVIF (5%,1)
 200,000  600,000  0.9524
 771,440
當利率10%時，現值為：
PV  200,000  600,000  PVIF (10%,1)
 200,000  600,000  0.9091
 745,460
由上述計算結果可以知道：在相同的本金、期數之下，利率愈
高，現值愈小。
1-21
現值利率因子
1
(1  i) n
依不同的利率與期數，將
整理成表後
，即為「現值利率因子」，PVIF(i, n)，以利於後
續計算使用。公式(4-3)改寫成公式(4-4)：
PV  FV  PVIF (i, n)
(4-4)
說明貨幣在不同時點有不同的價值，必須加計
「利息」的考量，是一種「折現」的概念，把利
息折現出來。
1-22
現值利率因子的例題
例如，一年後名目總額為800,000元的契約，考
量800,000元是在一年後才支付的情況，利率為
5%，契約的現值是771,440元。
1-23
現值( Present Value，簡寫為PV)-練習題
沃華公司透過多角化方式投資於日月潭風景區
，投資的項目包括住宿、運輸與商品銷售，經過
5年的投資後，此三種投資項目的價值分別為1.5
億元、6億元與2.4億元，利率以10%來計算，此
三種投資項目的投資現值應為？
1-24
年金終值(Future value of Annuity)
許多投資案每期都會產生現金流量，若每期都
有固定金額的收付，則每期定額收付的最終總值
，即為「多筆終值」的加總，又稱為「年金終值
」(Future value of Annuity,簡稱FVA)。以PMT表
定額收付，若定額收付發生在每期期末，這種年
金稱為「普通年金」。若定額收付發生於每期期
初，這種年金就稱為「期初年金」。
1-25
多筆現金流量圖
PMT
0
1
PMT PMT PMT
2
3
4
…
…
PMT
n
1-26
年金終值
「年金終值」(FVA)的公式為：
FVAn  PMT  (1  i) 0  PMT  (1  i ) 0  PMT  (1  i) 0  ...  PMT  (1  i) n1
 PMT  FVIFA(i, n)
(4-5)
(1  i ) n  1
其中， FVIFA(i, n) 
，即為年金終
I
值利率因子(Future Value Interest Factor for an
Annuity)。
1-27
期末支付(普通年金)終值
以一個例子來說明，假定每年底投資100,000
元於「平安遊艇公司」，連續投資2年，而「平
安遊艇公司」允諾年報酬率為8%，2年後的投資
價值(FVA2)為208,000元，計算如下：
FVA2  PMT  FVIFA(i, n)
 100,000  FVIFA(8%,2)
 100,000  2.080
 208,000
1-28
期末支付(普通年金)終值圖
1
0
2
100,000
FVA2=
100,000
+108,000
=208,000
1-29
期初支付終值
上述案例中，若改為年初投資100,000元，連
續 投 資 2 年 ， 年 報 酬 為 8% ， 2 年 後 投 資 的 價 值
(FVA2)為224,640元，計算如下：
FVA2  PMT  FVIFA(i, n)  (1  i )
 100,000  FVIFA(8%, 2)  (1  8%)
 100,000 * 2.080  (1  8%)
 224,640
1-30
期初支付終值圖
0
1
=
FVA2=
116,640
F
V
A
2
2
100000
100000
+108,000
=224,6400
1-31
年金終值(Future value of Annuity)-練習題
沃華公司允諾明漾投資集團每年底可以得到
500萬元的利益，在市場年利率為5%的情況下，
明漾投資集團8年後的總利益為多少?若每年初可
得500萬元，則明漾投資集團8年後的總利益為多
少?
1-32
年金現值
常面對到連續支付與連續收入，為了便於一致
性的評估，以連續支付與收入的現值來比較。
年金現值的公式:
1 1
1 2
1 3
PVAn  PMT  (
)  PMT  (
)  PMT  (
)  ...
1 i
1 i
1 i
1 n
 PMT  (
)
1 i
 n 1 
 PMT  
 PMT  PVIFA(i, n)

(4-6)
 t 1 1  i 
(1  i) n  1 1
1
 
其中， PVIFA(i, n) 
i
i i(1  i) n
，即為「年金現值利率因子」。
1-33
普通年金現值-1
費用的支付多半以「期初」支付，而連續的投資所得
多半是「期末」所得。
以美國職業棒球隊為例：小熊隊的小聯盟選手名叫費
南德茲，簽約金為50萬美元，小熊隊以年薪30萬美元，
簽5年的長約，唯一條件就是每年底才付薪水，在市場年
利率6%的情況下，這只5年長約的現值為：
PVA5  PMT  PVIFA(i, n)
 300,000  PVIFA(6%,5)
 300,000  4.2124
 1,263,720
若加計簽約金，則為$1,763,720元。
1-34
普通年金現值圖-1
0
1
283,020
+267,000
+251,880
+237,630
+224,190
300,000
2
300,000
3
300,000
4
300,000
5
300,000
=1,263,720
1-35
普通年金現值-2
另一例子，若明漾投資集團在偶然機會下，發
現一位專業經理人符合公司拓展業務需要，開出
年薪台幣1,500,000元並簽約2年，企圖吸引該經
理人。
已知當時的年利率為12%，這只合約的現值為
：
PVA2  PMT  PVIFA(i, n)
 1,500,000  PVIFA(12%,2)
 1,500,000 1.6901
 2,535,150
1-36
普通年金現值圖-2
1
FVA2=
P
V
A
2
=
1,500,000
2
1,500,000
1,339,350
+1,195,800
=2,535,150
1-37
期初年金現值
1. 以期初支付。
2. 以期末支付。
3. 期初與期末比較。
1-38
以期初支付保險費
每年初支付10,000元，連續支付20年，年利率
為5%的情況下，所支付保險費的總現值為多少?
把這20次的保險金支付，逐一「折現」後再加總
，但第一筆的10,000元是不需折現的。
此「年金現值」(PVA)爲：
PVA19  10,000  10,000  PVIFA(5%,19)
 10,000  10,000 12.0853
 130,853
1-39
以期末支付保險費
此「年金現值」(PVA)爲：
PVA20  10,000  PVIFA(5%,20)
 10,000 12.4622
 124,622
而124,622×(1+5%)=130,853元，這表示「期初
年金現值」等於「普通年金現值」乘上(1+i)。
1-40
期初與期末比較
這兩種差異即在第0期與最後1期的折現值差，
顯然地，以年初支付計算的現值為130,853元，高
於期末的現值124,622元，在其他條件不變的情況
下，對於付款方而言，愈晚支付費用能多得到一
期的利息好處。
1-41
年金現值(Present Value of Annuity)-練習題
以一名順利四年畢業的大學生來說，假定他以
期初繳交學費50,000元，一年繳兩次學費，在利
率為6%的情況下，其四年繳交學費的總現值為多
少?與期末方式繳學費差異有多少?
1-42
永續年金(Perpetuity)
一項沒有時間限制的連續年金支付，其公式為
：
PMT
PV 
i
(4-7)
例如，國民年金可以年領60,000元，利率為3%
情況下，則國民年金的現值為：
PMT 60,000
PV 

 2,000,000 (元)
i
3%
1-43