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第3章
粒子的波特性
Wave Properties of Particles
McGraw-Hill Education
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©The McGraw-Hill Companies, Inc., 2004
內容單元
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3.1 德布羅依波
3.2 什麼波？
3.3 描述一個波
3.4 相速度與群速度
3.5 粒子繞射
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3.6 箱子中的粒子
3.7 測不準原理一
3.8 測不準原理二
3.9 測不準原理應用
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3.1 德布羅依波 De Broglie Waves
一個移動中的物體表現出似乎具有波動特性的行為
• 德布羅依推論式 (3.1) 為一個普遍的公式，能應用於所有
物質粒子及光子。質量為m且速度為之粒子動量為，故其
對應的德布羅依波長為粒子的動量越大，波長越短。在式
(3.2) 中，為相對論因子如同電磁波的狀況一樣，運動中
物體的波動和粒子特性無法同時觀察到。因此我們不能問
哪一個是正確的描述。
– 光子波長
h

p
– 德布羅依波長
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(3.1)
h

g m
(3.2)
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範例3.1
• 求出(a) 46 g且速度為30 m/s的球；和(b) 以速度107 m/s運動之電子的
德布羅依波長。
答
– (a) 因為 
 c ，我們假設 g  1，因此
h
6.63  1034 J  s


 4.8  1034 m
m (0.046 kg)(30 m / s)
– 高爾夫球的波長和其大小相比非常地小，故我們無法預期能找到波的特
性。
– (b) 同樣地因為   c ，且質量m為 9.11  10 31 kg ，我們得到
h
6.63  1034 J  s
11



7.3

10
m
m (9.11  1031 kg)(107 m / s)
– 原子大小和波長可互相比較――舉例來說，氫原子的半徑為，因此運動
中電子的波動特性可做為瞭解原子結構和行為的關鍵並不足為奇。
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範例3.2
• 求出德布羅依波長為 1.000 fm  1.000  1015 m 的質子動能，此波長大
約為質子的直徑。
答
– 對於質子而言，除非pc遠比質子靜止能量 E0  0.938 GeV 小，否則我們
需要相對論計算，為求出其動能，我們使用式 (3.2) 來決定pc值：
(4.136  1015 eV  s)(2.998  108 m / s)
pc  (g m )c 

 1.240  109 eV
15

1.000  10 m
hc
 1.2410 GeV
– 因為，故需要用相對論計算，從式 (1.24) 中得知光子的總能量為
E  E02  p2 c2  (0.938 GeV)2  (1.2340 GeV)2  1.555 GeV
– 所對應之動能為
KE  E  E0  (1.555  0.938) GeV  0.617 GeV  617 MeV
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3.2 什麼波？ Waves of What?
•
•
•
•
機率波
在水波中，週期性變化的數值為水平面的高度；在聲波中
為壓力；在光波中為電磁場的變化。
組成物質波變化的數值稱為波函數(wave function)，符號為
（希臘字母psi），運動物體在空間中x, y, z且在時間t的波函
數值與在當時發現該物體存在的機率有關。
在實驗上藉由波函數來描述該物體位於x, y, z和時間t時的機
2
率正比於時間t時 的值。
Y
x射線繞射的先驅布拉格(W. L. Bragg)下了一個寬鬆但很有活
力的解釋：「在物質和輻射的波及粒子特性間的分隔線為
『現在時刻』，在目前的時刻中，經過時間的穩定發展，它
將會凝結未來的波動成為過去的粒子……，每件發生在未來
的事都是波動，每件發生在過去的事都是粒子。」
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3.3 描述一個波 Describing a Wave
波的一般公式
– 德布羅依波速度
 g mc 2  h  c 2
 p  n  


 h   g m  
y  A cos 2 nt
(3.3)
(3.4)
• 將式 (3.4) 中的t以 t  x  p 取代，我們得到以x和t來表示y
的公式為：

x
– 波動公式 y  A cos 2 n  t 
 p



(3.5)
• 波速度可由  p  n 求得，我們得到
– 波動公式
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x

y  A cos 2  n t  


(3.6)
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3.3 描述一個波 Describing a Wave(續)
• 最常被用來描述波是式 (3.5) 的另一個形式，角頻
率(angular frequency)和波數k(wave number)
可以下列方程式定義
  2 n
– 角頻率
– 波數
k
2



p
(3.7)
(3.8)
• 以ω和k來表示式 (3.5) 如下
– 波動公式
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y  A cos ( t  kx)
(3.9)
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圖3.1 (a) 在某個時刻下被拉伸繩索的波動表現；(b) 繩上某點的位移隨時
間變化的狀況。
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圖3.2 波的傳遞。
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3.4 相速度與群速度 Phase and Group Velocities
組合而成的一群波，其速度未必會等於波個別的速度
• 對應於運動物體的德布羅依波振幅可反映出物體
在特定時間和地點出現的機率。
• 一個波群如何發生的熟悉例子為節拍(beat)，當兩
個相同振幅而頻率稍異的聲波同時產生時，我們
聽到的頻率為兩個頻率的平均值，而振幅會週期
性地增減，振幅變化的頻率等於兩個初始頻率之
間的差異。如果初始聲波頻率為440和442 Hz時，
我們將會聽到一個具有兩個大小強度並且以頻率
441 Hz振動的聲波，我們稱之為節拍(beat)，節拍
的產生如圖3.4所示。
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3.4 相速度與群速度
Phase and Group Velocities(續)
– 節拍
– 相速度
k
 
y  2 A cos ( t  k x) cos 
t
2
 2
p 

x

(3.10)

k
(3.11)

k
(3.12)
• 波群的速度  g 為
– 群速度
g 
• 當ω和k有連續分布而非先前討論的單一數值時，群速度
將等於
– 群速度
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g 
d
dk
(3.13)
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3.4 相速度與群速度
Phase and Group Velocities(續)
• 對應於質量為m且以速度行進的物體而言，其德
布羅依波的角頻率和波數的關係為ω和k皆為物體
速度υ的函數。

– 德布羅依波的角頻率
– 德布羅依波的波數

– 德布羅依波群速度
– 德布羅依波相速度  p 
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2 mc 2
h 1 c
2
(3.14)
2
2 m
(3.15)
h 1   2 c2
g  

k

c2

(3.16)
(3.3)
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圖3.3 一個波群。
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圖3.4 由兩個不同頻率的波疊加所產生的節拍。
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範例3.3
• 一個電子的德布羅依波長為 2.00 pm  2.00  1012 m ，求出其
動能和德布羅依波的相速度與群速度。
答
– (a) 第一個步驟為計算電子的pc
(4.136  1015 eV  s)(3.00  108 m / s)
5
pc 


6.20

10
eV
12

2.00  10 m
hc
 620 keV
– 電子的靜止能量為 E0  511 keV，所以
KE  E  E0  E02  ( pc)2  E0  (511 keV)2  (620 keV)2  511 keV
 803 keV  511 keV  292 keV
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範例3.3(續)
– (b) 電子速度可由下列方程式得到
E
E0
1   2 c2
– 故
2
E02
 511 keV 
  c 1 2  c 1 
  0.771c
E
 803 keV 
– 因此相速度和群速度分別為
c2
c2
p  
 1.30c
 0.771c
 g    0.771c
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電子顯微鏡
• 運動電子的波動特性為電子顯微鏡的基礎，第一
部電子顯微鏡於1932年被製作出來。
• x射線也有短波長特性，但無法適當地聚焦（目前
為止？）。
• 在一個電子顯微鏡中，攜帶電流的線圈產生做為
將電子束聚焦至樣本的磁場，故可在螢光幕或是
感光片上產生放大影像（圖3.5）。
• 為了預防光線散射以致於影像模糊，必須使用薄
樣本且整體系統必須保持在真空中。
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圖3.5 因為在電子顯微鏡中的快電子波長比光學顯微鏡中的光波還短，電子顯微
鏡可以產生更大的倍率且更細微的影像，而電子顯微鏡中的電子束由磁場來聚焦。
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3.5 粒子繞射 Particle Diffraction
• 一個驗證德布羅依波的實驗
• 無法在牛頓力學中做類比的波動效應為繞射現象
(diffraction)。1927年美國的戴文生(Clinton Davisson)、
基瑪(Lester Germer)和英國的湯姆森(G. P. Thomson)，
分別利用電子束被晶體的規則原子序列散射所產生的繞射
線，證明了德布羅依波的存在【這三個人都幫湯姆森（J.
J. Thomson，G. P. 湯姆森的父親，且在稍早因為確認了
電子的粒子特性：波和粒子的二元性似乎是他們的家族事
業，而獲得了諾貝爾獎）工作，最後也都獲得了諾貝爾
獎】。
• 古典物理預測了散射電子將會發散於各個方向，而其強度
與散射角度有關，但和主要電子的能量較無關。
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圖3.6 戴文生－基瑪實驗。
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圖3.7 戴文生－基瑪實驗的結果，顯示出散射電子的數量如何隨入射光及晶體表
面的角度而變化。晶體中原子的布拉格平面和晶體表面並不平行，故相對於平面
族的入射和散射角度皆為（參見圖3.8）。
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圖3.8 被靶繞射的德布羅依波說明了戴文生和基瑪實驗的結果。
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3.6 箱子中的粒子 Particle in a Box
為何一個被捕捉的粒子之能量會被量化
• 當運動粒子被限制於某些區域而非自由移動時，其波特性
會導致相當重要的結果。
• 從波的觀點來看，一個陷於箱中的粒子正如同在箱壁間拉
伸繩索中的駐波一樣，在這兩個狀況中（繩索的橫向位移
及運動物體的波函數），波函數在壁上必須為0，因為波
會在壁上停止。
– 補陷粒子的德布羅依波長
– 箱中的粒子
n2 h2
En 
8mL2

2L
n
n  1, 2, 3,
n  1, 2, 3,
(3.17)
(3.18)
• 每個允許的能量被稱為能階(energy level)，而決定能階
En的整數n被稱為量子數(quantum number)。
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圖3.9 一粒子被限制於寬為L的箱中，粒子被假設在箱壁之間以直線來回地運動。
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圖 3.10
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被捕陷在寬L的箱中的粒子的波函數。
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圖3.11 被限制於寬0.1 eV箱中的電子能階。
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範例3.4
• 一個在寬為0.10 nm箱中的電子，這個箱子大小和原子尺
寸相當，求出允許的能量。
答
– 在此 m  9.1  1031 kg 且 L  0.1 nm  1.0  1010 m ，故允許電子能量
為
(n 2 )(6.63  1034 J  s) 2
18 2
En 

6.0

10
n J
31
10
2
(8)(9.1  10 kg)(1.0  10 m)
 38n2 eV
– 電子的最小能量為38 eV，對應的n為1。能階序列為 E2  152 eV
、 E3  342 eV、 E4  608 eV，依此類推（圖3.11）。如果這樣的箱
子存在，捕陷電子能量的量子化將是系統的特徵之一（能量量化
也的確是原子電子中最顯著的特色之一）。
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範例3.5
• 一個10 g的彈珠位於10 cm寬的箱中，求出其允許能量。
答
– m  10 g  1.0  102 kg 且 ， L  10 cm  1.0  101 m
(n 2 )(6.63  1034 J  s) 2
En 
(8)(1.0  102 kg)(1.0  101 m)2
 5.5 1064 n2 J
– 彈珠的最小能量為 5.5  1064 J，對應的n為1。具有此動能的彈珠
速度為 3.3  1031 m/s，因此並無法由實驗分辨它和靜止彈珠的差異。
1
彈珠合理的速度可能為 m/s―─對應能階的量子數為
n  1030
3
！允許的能階態非常接近，故沒有方法能決定彈珠是否位於式
(3.18) 所預測的能階或是別的能階。因此在我們日常生活經驗中，
量子效應是無法被察覺到的，這也解釋了牛頓力學在日常生活中
之所以成功的原因。
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3.7 測不準原理一 Uncertainty Principle 1
• 我們不能預知未來，因為我們不知道現在
• 測不準原理：
–不可能同時知道一個物體的正確位置和正確動量。
– 這個原理於1927年被海森堡發現，並且為物理定律的
重要發現之一。
– 在特定時間t時，波群函數Y(x)可以傅利葉積分來表示

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
Y( x)   g (k ) cos k x dk
0
(3.19)
 x  k  12
(3.20)
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圖3.13 一個獨立波群為無限多個不同波長的波疊加組成。波群越窄，波長的範圍
越廣。因此一個窄德布羅依波意味著清楚定義的位置（較小）但其波長並不明確，
且波群會顯示出粒子動量具有大的不準量。一個寬的波群則意味著較精確的動量，
但其位置較不明確。
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圖3.14 (a) 脈衝；(b) 波群；(c) 波序列；(d) 高斯分布的波函數與傅利葉轉換。一個
短時間微擾比長時間微擾需要更寬的頻率範圍才得以描述。高斯函數的傅利葉轉換
也是高斯函數。
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高斯函數
•標準差
•高斯函數

f ( x) 
•測不準原理
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1 N
( xi  x0 )2

N i 1
1
 2
 x p 
e
 ( x  x0 )2 2 2
h
4
(3.21)
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圖3.15 高斯分布。發現x值的機率由高斯函數所給定。x的平均值為，曲線最大
值一半的總寬度為2.35，為分布的標準差。在一個標準差之間求得x的機率等於顏
色較暗的區域為68.3%。
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H-Bar
• 2/hπ這個量常在近代物理中出現，因為它剛好是
角動量的基本單位。因此為了方便起見將2/hπ簡
寫成ħ(「h-bar」)
–測不準原理
 x p 
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2
(3.22)
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範例3.6
• 某次對質子的位置測量準確度為+1.00 × 10-11 m。求出一秒
後質子位置的測不準量。假設υ= c。
答
– 設時間 t  0 時，質子位置的測不準量為  x0 。此時它的動量測
不準量可從式 (3.22) 求出，
p
2 x0
– 因為  c，動量的測不準量為  p  (m )  m  ，所以質子速度
的測不準量為
p
 

m
2m x0
– 在t時間內質子出現範圍的準確度不可能超過
 x  t  
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t
2m x0
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範例3.6(續)
– 因此  x會反比於  x0：我們對於 t  0 的質子位置知道的越清楚，
x
我們就會對於
時
的值為
t 的位置知道的越少。在
0
t s1.00
(1.054  1034 J  s)(1.00 s)
x
(2)(1.672  1027 kg)(1.00  1011 m)
 3.15 103 m
– 答案是3.15 km——接近2 mi！原本的波群竟然散布到這麼寬的範
圍（圖3.16）。發生的原因在於組合波的相位速度隨波數而改變，
而原本狹窄的波群需要很大範圍的波數才得以表達出來。見圖
3.14。
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圖3.16 對應到一個運動波包的波包由許多個別的波組成，如圖3.13所示。相速度
隨個別波的波長而改變。結果是，當粒子運動時，波包在空間中散開。原始波包
越窄——也就是我們對當時它的位置知道的越精準——它就會分散地越開，因為
它是由大量不同相位速度的波所組成。
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3.8 測不準原理二 Uncertainty Principle II
由粒子方法得到相同結果
• 測不準原理不但可以從粒子的波動特性導出，也
可以從波的粒子特性推導出。
p
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h

(3.23)
x
(3.24)
 x p  h
(3.25)
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圖3.17 電子無法在不改變動量的情況下被測量。
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3.9 測不準原理應用
Applying the Uncertainty Principle
• 一個有用的工具，而非只是一個負面的陳述
• 能量與時間
–能量與時間的測不準量
E t 
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2
(3.26)
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範例3.7
• 一個典型原子核的半徑約為 5.0  10 5 m 。利用測不準原理求出電子
為原子核的一部分時所需要的最低能量。
答
– 令  x  5.0  105 m 則得到
1.054  1034 J  s
20
p


1.1

10
kg  m / s
15
2 x (2)(5.0  10 m)
– 如果這是核電子動量的測不準量，則動量p本身必須具有與其相當的強度。
一個有這樣動量的電子動能KE比它的靜止能量
大了好幾倍。從式
mc2
(1.24) 中我們看到可以假設
KE  ，準確度不會差太多。因此
pc
KE  pc  (1.1  1020 kg  m / s)(3.0  108 m / s)  3.3  10 12 J
– 因為 1 eV  1.6  1019 J ，在核中的電子動能必須超過20 MeV。實驗證明
由某些不穩定核中所射出的電子不可能超過這個能量的一個非常小的比
例，從這裡我們可以得到結論就是原子核不可能含有電子。不穩定核所
發射的電子是因為那時原子核衰變所造成（見11.3和12.5節）。
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範例3.8
• 一個氦原子的半徑為 5.3  1011 m 。運用測不準原理估算在
原子中電子所需具備的最小能量。
答
– 這裡我們發現  x  5.3  1011 m 。
p
 9.9  1025 kg  m / s
2 x
– 具有這種強度等級動量的電子表現和古典的粒子相似，它的動能
為
p 2 (9.9  1025 kg  m / s) 2
19
KE 


5.4

10
J
31
2m
(2)(9.1  10 kg)
– 也就是3.4 eV。在氦原子最低能階的電子動能實際上是13.6 eV。
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範例3.9
• 一個「激發的」原子將多餘的能量用於發射出某個特徵頻率的光子，
如第4章所述。平均一個原子從激發至輻射所花的時間約為 1.0  108 s
。求光子頻率中的測不準量。
答
– 光子能量的測不準量為
1.054  1034 J  s
27
E 


5.3

10
J
8
2t
2(1.0  10 s)
– 對應光頻率的測不準量為
n 
E
 8  106 Hz
h
– 這就是用來決定原子所發射之輻射頻率的準確度一定不可減少的限制。
如結果所示，從一群激發的原子不會以準確的頻率 n 出現。假設一個光
8
子的頻率為 5.0  1014 Hz ， n n  1.6  10 。實際上其他現象如都卜勒效應
對於譜線變寬的貢獻遠大於前者。
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