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相對效率
指兩個不偏估計式中，具有較小變異數的估計式較
有效，估計式的相對效率(Relative Efficiency)定義如
下：
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相對效率
定義 9.4
若 ˆ1 與 ˆ2 為參數  的兩個不偏估計式，其變異數分
別為 V (ˆ ) 與 V (ˆ ) 。則 ˆ 相對於 ˆ 的效率定義為
1
2
1
2
ˆ )
V
(

2
下列的比率： eff (ˆ1 ,ˆ2 ) 
。
V (ˆ )
1
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若 V (ˆ2 )  V (ˆ1 ) 時，ˆ1 相對於 ˆ2 的效率大於 1，在
此情形 ˆ 比 ˆ 為較佳的不偏估計式。
1
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2
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相對效率
【範例 9.2】
令 Y1 , Y2 ,, Yn 為抽自平均值  、變異數為  2 之隨
機樣本，考慮下列三個  的估計式：
Y2    Yn 1 1
1
1
ˆ1  Y1  Y2  、 ˆ 2  Y1 
 Yn 、
2
4
2( n  2 )
4
̂ 3  Y 。
a.試證明三個估計式皆為不偏估計式；
b.求 ̂ 3 相對於 ̂1 與 ̂ 2 的效率。
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【解】
1
1
ˆ
a. E ( 1 )  [ E (Y1 )  E (Y2 )]  (    )   ，同理
2
2
1
(n  2)
1
E (ˆ 2 )   
 ，
4 2(n  2) 4
1
E ( ˆ 3 )  (n )   。故三者皆為不偏估計式。
n
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1 2
1 2
2
(   )   ，同理可得
4
2
1 2
(n  2)
1 2
2
V ( ˆ 2 )   
  
2
16
16
4(n  2)
1 2
1
  
2，
8
4(n  2)
1
1 2
2
V ( ˆ 3 )  2 (n )   。故
n
n
n
n2
eff ( ˆ 3 , ˆ 1 )  、 eff ( ˆ 3 , ˆ 2 ) 
。
2
8(n  2)
b. V ( ˆ1 ) 
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