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
Problem EMP210

Differential equation
y  2 y  y  2 x 2e x

Initial conditions
y 0  1
y0   1
1

Solution
m 2  2m  1  0
m  1,  1
yh  C1e x  C2 xe x
y1  e x , y2  xe x
2
e x
W
 e x
0
W1  2  x
2x e
e x
W2 
 e x
xe x
2 x

e
x  x  xe x
xe x
3 2 x


2
x
e
x
x
x  xe
0
2 2 x

2
x
e
2 x
2x e
3
W1  2 x 3e 2 x
3

u1 

 2 x
2 x
W
e
4
x
u1    2 x dx  
2
3
4
W2 2 x 2e 2 x
2

u2 
 2 x  2 x
W
e
2 3
u2   2 x dx  x
3
2
5
x 4  x 2 x3  x 1 4  x
y p  u1 y1  u2 y2   e 
xe  x e
2
3
6
1 4 x
y  yh  y p  C1e  C2 xe  x e
6
x
x
6
代入y 0   1得
C1  1
7
2 3 x 1 4 x
x
x
x

y  C1e  C2e  C2 xe  x e  x e
3
6
代入y0   1得
 C1  C2  1
C2  0
8
1 4 x
ye  x e
6
x

9