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5.3訊號與系統簡介
5.3.1 系統特性
1.線性
一個線性系統須符合下列二個準則：
(1)可加性(additivity)：若 x1 t   y1 t  且 x t   y t ，則x t   x t   y t   y t 
(2)同質性(homogeneity)：若 xt   yt  則 axt   ayt  其中a為常數。
2
2
1
2
1
2
1
圖5.5
f(t)
f(t)
t
0
t
0
(b)
(a)
f(t)
f(t)
t
0
(c)
t
0
(d)
(a)連續時間連續振幅訊號；(b)連續時間振幅訊號；
(c)離散時間連續振幅訊號；(d) 離散時間離散振幅訊號
2
2.因果性：
因果系統(causal system)的定義為 t 0 時間的輸出僅依賴 t  t 0
( t 0時間以前)的輸入來產生，因此所謂的因果系統即為不可預測的
系統(nonanticipatory system)，所有物理系統皆為因果系統。
3.穩定性
我們採用的穩定性定義是有界輸入-有界輸出(bounded-input
bounded-output, BIBO))的定義，也就是說任一有界輸入會
使輸出亦為有界的，則此系統稱為穩定系統。根據此定義，對於一
個有界的輸入訊號 xt ，若存在一個數值N使得所有時間的 xt 皆小
於或等於N，亦即 xt   N ， t。因此，若為穩定系統則表示存在
一個數值M，使所有時間的輸出 yt  皆小於或等於M，亦即 y t   M
，t 。
xt 
3
4.非時變性
一個非時變的系統指的是如果其輸入訊號有一個時間位移，則會
導致其輸出訊號有相同的時間位移，亦即若 xt   yt  ，
則 xt  t   yt  t  ， t 。我們可根據下來檢驗系統是否具非時變性：
0
0
0
yt  t t t0  yt  x t xt t0 
(5-3)
4
5.3.2 摺積
• 對一個線性非時變系統 (linear time-invariant system,
LTI system)，其系統輸出其實就是系統輸入與系統脈
衝響應 (impulse response) 的摺積 (convolution) 結果。
xt 
假設輸入訊號為要 ，系統脈衝響應訊號為
，ht 
則其輸出結果 yt  為


y(t )   x( )h(t   )d   x(t   )h( )d


 x(t )  h(t )  h(t )  x(t )
(5-4)
上式稱為摺疊積分(convolution integral)，簡稱摺積，
以為符號，這是在訊號處理上常用的運算，尤其是在濾
波器的運用上。
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如果訊號為離散時間信號，xn 與 hn，且其長度
分別為N1與N2，則在離散時間的摺積運算可
表示為：
其中 M = N1 + N2 – 1
(5-5)
6
5.3.3 取樣定理
取樣定理就是如果待取樣的原始訊號其最高
頻譜分量頻率為 f ，則取樣頻率最少須為 2 f
此取樣後的訊號方能完整的描述原始訊號的
特性與訊息。亦即取樣頻率 f s 須為：
max
max
(5-6)
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圖5.6 週期性取樣類比訊號的例子
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