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第三章
反矩陣與矩陣的基本列運算
3-1 反矩陣
設 A 為一個 n 階方陣，若存在另一個
n 階方陣 B 使得 AB = BA = In，則稱 B為 A
之逆矩陣或反矩陣（inverse matrix）。通
常以 A-1 表示 A 的反矩陣，此時，A 稱為
可逆矩陣（invertible matrix）或非奇異矩
陣（nonsingular matrix）。若 A 的反矩陣
不存在，則稱 A 為不可逆矩陣
（noninvertible matrix）或奇異矩陣（singular matrix）。
- 1 3 0 


A   1 0 - 2
- 2 1 3 
2 - 9 - 6


B  1  3 - 2
1 - 5 - 3
1 0 0


AB  BA  0 1 0  I3
0 0 1
 2
A
 2
w
令A  
y
-1
3
-1
，求A的逆矩陣A 。

4
x
 2
1
 AA  

z
 2
3 w


4  y
w   2
- 2w  3y  1
 2x  3z  0
x  3


得
2


 2w  4 y  0
 y  1
 2x  4z  1
z  1

x  1


z  0
0

1
 3
2
-1
故A   2 
- 1 1 


二階方陣的反矩陣公式
令
a b 
A

c
d


只要D = ad  bc  0，則A1存在且
1  d b 
A  
D  c a 
1
1
A
 1
4
-1
，求
A
的逆矩陣
A
。

3
 3  1
-1
A
，求
A
的逆矩陣
A
。

 2 2 
 3  1
-1
A
，求
A
的逆矩陣
A
。

 6 2 
•逆矩陣的唯一性
若 A 為可逆矩陣，則其
逆矩陣是唯一的。即若 B 和
C 均為 n 階方陣 A 之逆矩 陣，
則 B = C。
逆矩陣之性質
1.若 A 為可逆矩陣，則 A-1 亦為可逆矩陣
且(A-1) -1 = A。
2.若 A 為可逆矩陣，k ≠ 0，則 kA 亦為可逆矩陣，
1
且
(kA)  A
k
1
3.若 A 與 B 均為 n 階可逆矩陣，則 AB亦為可逆
矩陣且 (AB)-1 = B-1A-1。
4.若A1, A2 , … , Ak 均為 n 階可逆矩陣，則
A1A2…Ak 亦為可逆矩陣，且 (A1A2…Ak)-1= Ak1…A -1A -1 。
2
1
5.(AT)-1 = (A-1)T
6.A-k= (Ak)-1 = (A-1)k
- 1 3
-1
2
3
5
2
3
-5
設A  
，求 A , A , A , A , A , A 及A

 0 2

- 1
-1
A 
0

3
2
1

2
1
A 
0
2
3
4 
3

1


4
A -2  
1 
0

 4 
- 1
A 
0
3
9
8

-1

A -3  
0

9
8
1

8
- 1 33
A 

0
32


5

-1

A -5  
0

33 
32 
1

32 
利用逆矩陣求解
- 2 5 
 4 3
設A  
，B  
，若AC  B，求C。


 1 - 3
- 2 6
由AC  B  A AC  A B  IC  A B  C  A B。
-1
-1
-1
1 - 3 - 5 - 3 - 5
A 




6 - 5  - 1 - 2  - 1 - 2
-1
- 3 - 5  4 3 - 2 - 39
故C  A B  





- 1 - 2 - 2 6  0 - 15
-1
-1
1
 1

4
1
C

3
2
0
，求矩陣C。

1
3-2 矩陣的列運算
• 簡化列梯形矩陣
滿足下列三條件之矩陣稱之。
(1)任何一列的第一個不為零元素必須是 1，而且含
有此元素 1 的這一行，其他元素必須為零。
(2)每一列第一個不為零的元素，必須位於前一列第
一個不為零元素的右側。
(3)若有某列之元素全部為零，則此列必位於矩陣的
最下端。
1 3 0  1 3 0  0 1 0  0 1 0 
1 0 - 2 1 0 - 2 1 0 0 0 0 0

 
 
 

0 2 3  0 1 3  0 0 1 0 0 1
   
1 0 0 0 1 0 1 0 0 4  1
0
0 1 0  0 0 1  


 
 0 1 0 3  
0 0 1 0 0 0 0 0 1 2  0

 
0
0
1

0

0
• 對於一個矩陣，可用下列三種不同的列運算，稱
為基本列運算。
(1)交換矩陣中的第 r 列與第 s 列(以符號 Rr  Rs表之)。
(2)將矩陣中的第 r 列乘以一不為零的實數 c (以符號 cRr 表
之)。
(3)將矩陣中的第 r 列乘以一不為零的實數 c 後，再加到
第 s 列上(以符號 cRr + Rs 表之)。
• 若矩陣 A，經過一連串的基本列運算後變成矩陣
B，則稱矩陣 A 和 B 為列同義。可寫成 A ~ B。
2 5 7 R R 1 2 3 3R R 1 2 3 1R2 1 2 3 2R R 1 0 3 3R R 1 0 0
3 8 9 1 ~ 3 3 8 9 1 2 0 2 0 2 0 1 0 2 1 0 1 0 3 1 0 1 0



 2R~R 
 R~R 
 ~
 ~ 

1
3
2
3
1 2 3
2 5 7
0 1 1 0 1 1
0 0 1
0 0 1
• 若 A 為 m  n 矩陣，矩陣 C 為 A 經過一連串
基本列運算後所得之簡化列梯形矩陣，則 C
中基本行的個數，稱為矩陣 A 的秩(rank)，
以 r (A)表示。
1 0 0
A ~ 0 1 0  r(A)  3
0 0 1
1 0 0 4 
C ~ 0 1 0 3  r(C)  3
0 0 1 2 
0 1 0 
B ~ 0 0 1  r(B)  2
0 0 0
1
0
D~ 
0

0
0
1
  r(D)  2
0

0
矩陣列運算的應用
1.求反矩陣
2.解線性方程組
• 若 A 為一 n 階非奇異矩陣，則 A ~ In；反之，
若 A ~ In，則 A 必為非奇異矩陣。
(此為判斷A矩陣是否可逆的方法之一)
• 矩陣 A 與 A1 應滿足關係式[A  In] ~ [In  A1]
因此，我們若能利用基本列運算將矩陣
[A  In] 轉換成 [In  K] 的型式，則 K 必為 A 的
反矩陣。
(此為求出A1的方法之一)
2 5 71 0 0 R R 1 2 30 0 1
3 8 90 1 0 1 ~ 3 3 8 90 1 0




1 2 30 0 1
2 5 71 0 0
1 2 3  0

~ 0 1 0  0
0 1 1  1

1
R2
2

1 0 0
 3R 3 R1 
~ 0 1 0
0 0 1

1 2 30 0 1 
0 2 00 1  3
~ 

2R1 R3
0 1 11 0  2
3R1 R2


1 0 3  0  1 4
0
1

1
3  2R2 R1 
1
3
 
 
0 1 0  0
~
2
2
2 2
R2 R 3 
0  2
0 0 1  1  1  1 

2 2 
1 11 
 3
2 2
1 3
 0
 
2 2
1 1
 1  
2 2 
4
A
1
9
2 試利用矩陣列運算求A的反矩陣
4 91 0 3R2 R1 1 31  3
A  I  
 ~ 

1
2
0
1



1 20 1 
R1 R2
~
1 3  1  3
0  1 1 4 


3R2 R1
~
1 0 2 9 
0 1 1  4


1 31  3
~ 0 11  4
 R2
 2 9 
A  

 1  4
1
試利用矩陣列運算求A的反矩陣