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導數的定義
設I=(a,b)為一開區間，f為定義在I上的實數值
函數，求通過點P(x0,f(x0))且與函數f之圖形相
切的切線(tangent line) 。
P(x0,f(x0))
設I=(a,b)為一開區間，f為定義在I上的實數值
函數，若P(x0,f(x0))與Q(x,f(x))為函數f之圖形上
的相異兩點，則連接P與Q兩點之割線斜率為
m PQ
f ( x )  f ( x0 )

x  x0
Q(x,f(x))
P(x0,f(x0))
若令x逼近x0，則Q點會沿著f的圖形逼近P點，
在此同時通過P與Q兩點的割線，也相同會逼
近切線T，於是我們知道當函數f之圖形在點
P(x0,f(x0))之切線T存在，則當x逼近x0時，割線
斜率 m P Q 將逼近切線T的斜率mT，所以我們
可得
mT  lim m PQ
Q P
f  x   f  x0 
 lim
x  x0
x  x0
定義：導數(Derivative)
設f:(a,b)→R為一函數且x0(a,b)，若極限
f  x   f  x0 
lim
x  x0
x  x0
存在，則稱此極值為函數f(x)在x0點的導數
(derivative)且記為 f ( x0 ) ，既
f  x   f  x0 
f   x0   lim
x  x0
x  x0
f  x   f  x0 
f   x0   lim
x  x0
x  x0
另一方面，若令x=h+x0則上式，又可改寫為
f  x0  h   f  x 0 
f ( x0 )  lim
h 0
h
註：
若函數f在x0點的導數存在，則我們稱函數f在
x0點可微(differentiable)。反之，則函數f在x0
點不可微。
若函數f在開區間(a,b)上的每一點都可微，則我
們稱函數f為可微函數且記為 f ¢(x )，既對x(a,b)
f  x  h  f  x 
f   x   lim
h 0
h
註：一般函數f(x)在點的導數符號，可用下列
任一種符號表示之
df
f '(x 0 ) =
dx
x = x0
= D x f (x ) x = x 0 = f ¢(x ) x = x 0
註：一般函數f(x) 的導函數符號，可用下列任
一種符號表示之
df
dy
f ¢(x ) =
=
= D x f (x )
dx
dx
註：導數的幾何意義
導數在幾何上可以解釋為通過點P(x0,f(x0))且與
曲線y=f(x)相切的切線斜率。
若函數y=f(x)在P(x0,f(x0))點的切線斜率
mT  f ( x0 )
存在，則利用直線之點斜式知切線方程式為
y  f ( x0 )  f ( x0 )( x  x0 )
例題1.設f(x)=x2，求(a) f '(1) (b) f '(x)
解：
f (1 + h ) - f (1 )
f ¢(1 ) = lim
h® 0
h
(1 + h )2 - 12
= lim
h® 0
h
1 + 2h + h 2 - 1
= lim
h® 0
h
= lim (2 + h )
h® 0
= 2
例題1.設f(x)=x2，求(a) f'(1) (b) f'(x)
解：
(x + h ) - f (x )
f
f ¢(x ) = lim
h® 0
h
(x + h )2 - x 2
= lim
h® 0
h
2
2
2
x + 2xh + h - x
= lim
h® 0
h
= lim (2x + h )
h® 0
= 2x
例題2.若函數f(x)=|x|，討論f '(0)是否存在。
解：
若f '(0)存在，則
f (x ) - f (0)
|x |
f ¢(0) = lim
= lim
x® 0
x® 0 x
x- 0
必須存在，但是
|x |
x
lim+
= lim+ = 1
x® 0
x® 0 x
x
|x |
-x
lim= lim= - 1
x® 0
x® 0 x
x
故f '(0)不存在。
一般我們所遇到的不可微分之點有三類：（1）
尖點（含折角）
（2）具有垂直切線的點
（3）不連續點
例題3. 試證 f (x ) = x
證明：因為
1
3
在點x=0不可微分。
1
f (x ) - f ( 0 )
x 3
lim
=
lim
x® 0
x® 0 x
x- 0
= lim x
- 23
x® 0
= lim x
- 23
x® 0
= ¥
因此f(x)在點x=0不可微分。
例題4. 設函數f定義如下：
ìï - 2x + 4, x < 1
f (x ) = ïí
ïï x + 2, x ³ 1
î
試證f(x)在點x=1不可微分。
解：
若f(x)在點x=1可微分，則極限
f (x ) - f (1 )
f ¢(1 ) = lim
x® 1
x- 1
存在，但是
x + 2- 3
x- 1
f (x ) - f (1 )
= lim+
= lim+
lim+
x® 1
x® 1 x - 1
x® 1
x- 1
x- 1
= 1
- 2x + 4 - 3
f (x ) - f (1 )
= limlimx® 1
x® 1
x- 1
x- 1
- 2x + 1
= lim= ¥
x® 1
x- 1
f (x ) - f (1)
lim
不存在
x® 1
x- 1
ìï - 2x + 4, x < 1
即f(x)在點x=1不可微分。
f (x ) = ïí
ïï x + 2, x ³ 1
î
定理
若函數f(x)在c點可微分，則f(x)在c點連續。
f (x ) = f (c )
證：我們只需證明 lim
x®c
或 lim [f (x ) - f (c ) ] = 0 即可，因為
x®c
é
f (x ) - f (c ) ù
lim [f (x ) - f (c ) ]= lim ê(x - c )
ú
x®c
x®c ê
x- c
ú
ë
û
f (x ) - f (c )
= lim(x - c ) ×lim
x®c
x®c
x- c
= 0 ×f ¢(c )
= 0
故得證f(x)在c點連續。
定理
若函數f(x)在c點可微分，則f(x)在c點連續。
定理的等價命題：
若f(x)在c點不連續則f(x)在c點不可微。
例題5. 求f(x)=x2在(2,4)點的切線方程式？
解：
f '(x)=2x
所以在(2,4)點的切線斜率為mT=f '(2)=4
故切線方程式為
y-4=4(x-2)